Strömungswiderstand und Leitwert von Rohren
Wie Länge, Radius und Viskosität den Strömungswiderstand eines Rohres bestimmen und wie man Rohrabschnitte wie elektrische Widerstände kombiniert.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Strömungswiderstand \(R = \Delta p/\dot V\) beschreibt, welche Druckdifferenz ein Rohr für einen bestimmten Volumenstrom braucht; bei laminarer Strömung gilt \(R = 8\eta l/(\pi r^4)\).
- \(R\) ist proportional zu Länge und Viskosität und umgekehrt proportional zu \(r^4\): halber Radius, 16-facher Widerstand.
- Der Strömungsleitwert \(G = 1/R\) wächst mit \(r^4\), sinkt mit steigender Viskosität und ist von der Druckdifferenz unabhängig.
- Im R-r-Diagramm fällt die Kurve sehr steil ab, im G-r-Diagramm beginnt sie waagerecht im Ursprung und steigt immer steiler an.
- In Serie addieren sich die Widerstände, parallel die Leitwerte; Druckdifferenz entspricht Spannung, Volumenstrom entspricht Strom.
- Bei gestuften Rohren dominiert der enge Abschnitt den Gesamtwiderstand.
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Worum es geht
Der Strömungswiderstand fasst zusammen, wie stark ein Rohr eine Flüssigkeit bremst. Er folgt direkt aus dem Hagen-Poiseuille-Gesetz und erklärt, warum eine etwas engere Kanüle oder Kapillare den Durchfluss drastisch senkt. Mit ihm lassen sich auch verzweigte und gestufte Leitungen berechnen.
Widerstand und Leitwert
Der Strömungswiderstand \(R\) ist definiert wie ein elektrischer Widerstand. Er gibt an, welche Druckdifferenz nötig ist, um einen bestimmten Volumenstrom durch das Rohr zu treiben. Für laminare Strömung einer Newton’schen Flüssigkeit liefert das Hagen-Poiseuille-Gesetz direkt seinen Wert.
\[R = \frac{\Delta p}{\dot V} = \frac{8\,\eta\,l}{\pi\,r^4}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(R\) | Strömungswiderstand | Pa·s/m³ |
| \(\Delta p\) | Druckdifferenz zwischen den Rohrenden | Pa |
| \(\dot V\) | Volumenstrom | m³/s |
| \(\eta\) | dynamische Viskosität | Pa·s |
| \(l\) | Rohrlänge | m |
| \(r\) | Innenradius | m |
Die Proportionalitäten liest man direkt ab. Doppelte Länge bedeutet doppelten Widerstand, denn die Flüssigkeit reibt auf der doppelten Strecke. Eine zähere Flüssigkeit erhöht den Widerstand im selben Maß wie ihre Viskosität. Entscheidend ist aber der Radius in der vierten Potenz. Eine größere lichte Weite senkt den Widerstand also sehr stark.
Der Zusammenhang \(R \propto \eta l/r^4\) wird im Examen gerne gefragt. Halbiert man den Radius, steigt der Widerstand auf das 16-fache, während Länge und Viskosität nur linear eingehen.
Der Strömungsleitwert \(G\) ist der Kehrwert des Widerstands. Er sagt, wie viel Volumenstrom je Pascal Druckdifferenz fließt.
\[G = \frac{1}{R} = \frac{\dot V}{\Delta p} = \frac{\pi\,r^4}{8\,\eta\,l}\]
Seine Einheit ist m³/(Pa·s). \(G\) wächst mit \(r^4\) und sinkt, wenn der Durchmesser kleiner oder die Viskosität größer wird. Die Druckdifferenz taucht in der rechten Seite nicht auf. Leitwert und Widerstand hängen also nur von Rohrgeometrie und Flüssigkeit ab, nicht vom angelegten Druck. Verdoppelt man \(\Delta p\), verdoppelt sich lediglich \(\dot V\).
In Diagrammen erkennt man die Potenzen an der Kurvenform. Im R-r-Diagramm fällt der Widerstand bei kleinen Radien extrem steil ab und läuft dann flach gegen null, deutlich steiler als eine \(1/r\)-Hyperbel. Im G-r-Diagramm beginnt die Kurve im Ursprung waagerecht und steigt dann immer steiler an, stärker als eine Gerade oder Parabel.
Rechenbeispiel: zwei Kapillaren
Zwei gleich lange Kapillaren werden von derselben Flüssigkeit durchströmt. Kapillare A hat 0,6 mm Innenradius, Kapillare B nur 0,2 mm. Wie verhalten sich die Widerstände?
- Gleiches kürzen: \(l\) und \(\eta\) sind gleich, also gilt \(R \propto r^{-4}\).
- Verhältnis bilden: \(\frac{R_B}{R_A} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^4 = \left(\frac{0{,}6}{0{,}2}\right)^4 = 3^4\).
- Ergebnis: \(R_B = 81\,R_A\). Bei gleicher Druckdifferenz fließt durch B nur 1/81 des Volumenstroms.
Drei Fehler kommen häufig vor. Man vergisst beim Leitwert den Kehrwert und lässt ihn mit \(r\) fallen statt steigen. Man setzt den Durchmesser statt des Radius in die Formel ein und liegt absolut um den Faktor 16 daneben. Oder man rechnet Millimeter nicht in Meter um.
Rohrschaltungen und elektrische Analogie
Die Definition \(R = \Delta p/\dot V\) entspricht dem Ohm’schen Gesetz \(R = U/I\). Die Druckdifferenz übernimmt die Rolle der Spannung, der Volumenstrom die des elektrischen Stroms. Deshalb gelten für Rohrnetze dieselben Regeln wie für Widerstandsschaltungen.
Durch alle Abschnitte fließt derselbe Volumenstrom. Die Druckabfälle addieren sich, also auch die Widerstände: \(R_{ges} = R_1 + R_2\).
An allen Zweigen liegt dieselbe Druckdifferenz. Die Volumenströme addieren sich, also auch die Leitwerte: \(G_{ges} = G_1 + G_2\).
Ein gestuftes Rohr ist eine Serienschaltung. Jeder Abschnitt trägt nach \(R \propto l/r^4\) bei. Man kann sich das wie einen Stau vor einer Engstelle vorstellen: Der enge Teil bestimmt fast allein, wie viel durchkommt.
Rechenbeispiel: gestuftes Rohr
Ein Rohr hat im ersten Viertel seiner Länge den Radius \(r\), danach den Radius \(2r\). Ein durchgehend enges Rohr gleicher Länge hätte den Widerstand \(R_0\).
- Enger Abschnitt: Ein Viertel der Länge bei gleichem Radius ergibt \(R_1 = \frac{1}{4}R_0\).
- Weiter Abschnitt: Drei Viertel der Länge, aber doppelter Radius. Das ergibt \(R_2 = \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2^4}R_0 = \frac{3}{64}R_0\).
- Addieren: \(R_{ges} = \frac{16}{64}R_0 + \frac{3}{64}R_0 = \frac{19}{64}R_0 \approx 0{,}3\,R_0\).
Der kurze enge Abschnitt liefert also gut 80 % des Gesamtwiderstands. Für Abschätzungen genügt es oft, nur die engste Stelle zu berechnen.
Auch der elektrische Widerstand eines homogenen zylindrischen Drahtes ist proportional zu seiner Länge \(l\). Insofern trägt die Analogie bis in die Geometrie.
Beim Draht gilt \(R = \rho l/A\), der Widerstand sinkt also nur mit \(r^2\). Beim Rohr sinkt er mit \(r^4\), weil die Flüssigkeit an der Wand haftet und ein Geschwindigkeitsprofil ausbildet.
Quiz
Aussage 1
Bei parallel geschalteten Rohren addieren sich die Strömungswiderstände.
Parallel liegt an allen Zweigen dieselbe Druckdifferenz, die Volumenströme addieren sich. Daher addieren sich die Leitwerte.
Aussage 2
Wird der Innenradius eines Rohres bei sonst gleichen Bedingungen halbiert, steigt der Strömungswiderstand auf das 16-Fache.
Wegen \(R \propto r^{-4}\) gilt \(2^4 = 16\).
Aussage 3
Der Strömungsleitwert eines Rohres steigt, wenn man die anliegende Druckdifferenz erhöht.
Der Leitwert hängt nur von Radius, Länge und Viskosität ab. Eine höhere Druckdifferenz erhöht den Volumenstrom, nicht den Leitwert.
Aussage 4
Im G-r-Diagramm erscheint der Zusammenhang \(G \propto r^4\) als Gerade durch den Ursprung.
Die Kurve beginnt im Ursprung waagerecht und wird zunehmend steiler, stärker als eine Gerade oder Parabel.
Aussage 5
Bei hintereinandergeschalteten Rohrabschnitten ergibt sich der Gesamtwiderstand als Summe der Einzelwiderstände.
Alle Abschnitte führen denselben Volumenstrom, die Druckabfälle und damit die Widerstände addieren sich.
Aussage 6
Eine Flüssigkeit mit höherer dynamischer Viskosität verringert den Strömungsleitwert eines gegebenen Rohres.
\(G = \pi r^4/(8\eta l)\) ist umgekehrt proportional zu \(\eta\).
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