Eigenfrequenz von Federpendel und Schwingkreis
Wie Federkonstante und Masse beim Federpendel und Induktivität und Kapazität beim LC-Schwingkreis die Eigenfrequenz und die Schwingungsdauer festlegen.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Eigenfrequenz ist die Frequenz, mit der ein System nach einmaliger Auslenkung von selbst schwingt. Sie hängt nur von seinem Aufbau ab.
- Federpendel: \(\omega_0 = \sqrt{D/m}\), \(f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{D/m}\) und \(T = 2\pi\sqrt{m/D}\).
- Die Frequenz steigt mit \(\sqrt{D}\) und fällt mit \(1/\sqrt{m}\): Erst die vierfache Masse halbiert die Frequenz und verdoppelt die Schwingungsdauer.
- Eine größere Federkonstante verkürzt die Schwingungsdauer, eine kleinere Masse erhöht die Frequenz.
- LC-Schwingkreis (Thomson): \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\), \(f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\). Die abgestrahlte Welle hat die Wellenlänge \(\lambda = 2\pi c_0\sqrt{LC}\).
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Worum es geht
Jedes schwingungsfähige System hat eine eigene, durch seinen Aufbau festgelegte Frequenz. Für das Federpendel und den elektrischen Schwingkreis lässt sie sich mit einer kurzen Formel berechnen. Diese Formeln braucht man für Schwingungs- und Resonanzaufgaben und später für Wellen, etwa in der Spektroskopie.
Schwingungsfähige Systeme
Lenkt man ein schwingungsfähiges System einmal aus und lässt es dann los, schwingt es mit einer ganz bestimmten Frequenz. Diese Eigenfrequenz \(f_0\) hängt nur vom Aufbau des Systems ab. Die Größe der Auslenkung ändert sie nicht. Ihr Gegenstück ist die Eigenkreisfrequenz \(\omega_0 = 2\pi f_0\). Wie Kreisfrequenz und Periodendauer zusammenhängen, steht bei den harmonischen Schwingungen.
Zwei Modellsysteme decken fast alle Aufgaben ab. Beim Federpendel schwingt eine Masse \(m\) an einer Feder mit der Federkonstante \(D\). Beim LC-Schwingkreis pendelt Ladung zwischen einem Kondensator mit der Kapazität \(C\) und einer Spule mit der Induktivität \(L\) hin und her.
Beide Systeme gehorchen derselben Mathematik. Die Masse macht das Pendel träge, die Spule macht den Strom träge. Die Feder treibt die Masse zur Ruhelage zurück, der geladene Kondensator treibt die Ladung zurück. Eine steife Feder entspricht dabei einem kleinen Kondensator.
Mit der Zuordnung \(m \leftrightarrow L\) und \(D \leftrightarrow 1/C\) muss man sich nur eine Formel wirklich merken. Die zweite folgt durch Einsetzen.
Eigenfrequenz des Federpendels
Die Feder übt nach dem Hooke’schen Gesetz eine Rückstellkraft \(F = -D\,x\) aus. Diese Kraft wächst linear mit der Auslenkung. Daraus folgt eine harmonische Schwingung mit festen Kenngrößen:
\[\omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}} \qquad f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}} \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\omega_0\) | Eigenkreisfrequenz | 1/s |
| \(f_0\) (auch \(\nu\)) | Eigenfrequenz | Hz = 1/s |
| \(T\) | Schwingungsdauer (Periodendauer) | s |
| \(D\) | Federkonstante | N/m = kg/s² |
| \(m\) | schwingende Masse | kg |
Eine steife Feder zieht kräftig zurück. Die Masse kehrt schnell um, die Frequenz steigt. Eine große Masse ist träge und braucht für jede Periode länger. Die Frequenz sinkt, die Schwingungsdauer wächst. Ein voll beladenes Auto wippt deshalb auf seinen Federn langsamer nach als ein leeres.
Beim hängenden Pendel dehnt die Gewichtskraft die Feder zusätzlich um \(mg/D\). Das verschiebt nur die Ruhelage nach unten. Um diese neue Ruhelage schwingt die Masse mit derselben Eigenfrequenz.
Wurzelabhängigkeiten
Die Frequenz steigt mit \(\sqrt{D}\) und fällt mit \(1/\sqrt{m}\). Für die Schwingungsdauer gilt das Umgekehrte: \(T \propto \sqrt{m}\), und eine größere Federkonstante verkürzt sie. Eine kleinere Masse erhöht also die Frequenz.
| Änderung | Frequenz \(f\) | Schwingungsdauer \(T\) |
|---|---|---|
| Masse × 4 | \(f/2\) | \(2T\) |
| Masse × 9 | \(f/3\) | \(3T\) |
| Masse ÷ 4 | \(2f\) | \(T/2\) |
| Federkonstante × 4 | \(2f\) | \(T/2\) |
| Federkonstante × 9 | \(3f\) | \(T/3\) |
Umgekehrt gerechnet: Soll sich die Schwingungsdauer verdoppeln, muss die Masse auf das Vierfache steigen. Man hängt also das Dreifache der ursprünglichen Masse zusätzlich an.
Wird im Examen gerne gefragt: \(f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{D/m}\), die Frequenz ändert sich also mit der Wurzel. Erst die vierfache Masse halbiert die Frequenz, die doppelte Masse senkt sie nur um den Faktor \(\sqrt{2}\).
Rechenbeispiel
Eine Kraft von 3 N dehnt eine Feder um 6 cm. Danach hängt man eine Masse von 0,5 kg an und lässt sie schwingen.
- Federkonstante: \(D = F/s = 3\,\mathrm{N}/0{,}06\,\mathrm{m} = 50\) N/m.
- Kreisfrequenz: \(\omega_0 = \sqrt{D/m} = \sqrt{100\,\mathrm{s^{-2}}} = 10\,\mathrm{s^{-1}}\). In einem Schritt: \(\omega_0 = \sqrt{F/(s\,m)}\).
- Frequenz und Dauer: \(f_0 = \omega_0/2\pi \approx 1{,}59\) Hz, also \(T = 1/f_0 \approx 0{,}63\) s.
- Masse vervierfacht auf 2 kg: Die Frequenz halbiert sich auf etwa 0,80 Hz, die Schwingungsdauer verdoppelt sich auf etwa 1,26 s.
Zwischen \(\omega_0\) und \(f_0\) liegt der Faktor \(2\pi\), und \(T\) ist der Kehrwert von \(f_0\), nicht von \(\omega_0\). Massen gehören in kg und Dehnungen in m, bevor man sie einsetzt.
LC-Schwingkreis
Für den elektrischen Schwingkreis gilt die Thomson’sche Schwingungsgleichung. Mit der Analogie erhält man sie sofort: Man ersetzt in \(\sqrt{D/m}\) die Masse durch \(L\) und die Federkonstante durch \(1/C\).
\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \qquad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]
Dieselbe Formel liefert die Resonanzkreisfrequenz eines Serienschwingkreises. Größere Kapazität oder größere Induktivität senken die Frequenz. Auch hier wirkt die Wurzel: Vervierfacht man \(L\) oder \(C\), halbiert sich \(f_0\). Die Einheiten passen, denn \(\sqrt{\mathrm{H \cdot F}}\) ergibt Sekunden.
Ein Schwingkreis kann als Sender eine elektromagnetische Welle mit seiner Eigenfrequenz abstrahlen. Ihre Vakuumwellenlänge folgt aus \(\lambda = c_0/f_0\) mit \(c_0 \approx 3 \cdot 10^8\) m/s, wie bei den Wellengrößen beschrieben. Setzt man die Thomson-Formel ein, ergibt sich \(\lambda = 2\pi c_0\sqrt{LC}\).
Rechenbeispiel
Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit 10 µH und einem Kondensator mit 1 nF.
- Produkt bilden: \(LC = 10^{-5}\,\mathrm{H} \cdot 10^{-9}\,\mathrm{F} = 10^{-14}\,\mathrm{s^2}\), also \(\sqrt{LC} = 10^{-7}\) s.
- Kreisfrequenz: \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 10^{7}\,\mathrm{s^{-1}}\).
- Frequenz: \(f_0 = \omega_0/2\pi \approx 1{,}59 \cdot 10^{6}\) Hz = 1,59 MHz.
- Wellenlänge: \(\lambda = 2\pi c_0\sqrt{LC} = 2\pi \cdot 3 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s} \cdot 10^{-7}\,\mathrm{s} \approx 188\) m.
Die Vorsilben entscheiden über das Ergebnis. Mikro steht für \(10^{-6}\), Nano für \(10^{-9}\), Piko für \(10^{-12}\).
Quiz
Aussage 1
Um die Schwingungsdauer eines Federpendels zu verdoppeln, genügt es, die Masse zu verdoppeln.
Da \(T \propto \sqrt{m}\) gilt, braucht man die vierfache Masse. Die doppelte Masse verlängert \(T\) nur um den Faktor \(\sqrt{2}\).
Aussage 2
Hängt man an ein Federpendel die vierfache Masse, sinkt seine Eigenfrequenz auf die Hälfte.
Es gilt \(f \propto 1/\sqrt{m}\). Der Faktor 4 unter der Wurzel ergibt den Faktor 2.
Aussage 3
Verdoppelt man die Kapazität eines LC-Schwingkreises, verdoppelt sich seine Eigenfrequenz.
Wegen \(f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) sinkt die Frequenz bei größerer Kapazität, und zwar um den Faktor \(\sqrt{2}\).
Aussage 4
Eine Feder mit größerer Federkonstante verlängert bei gleicher Masse die Schwingungsdauer eines Federpendels.
Wegen \(T = 2\pi\sqrt{m/D}\) verkürzt eine größere Federkonstante die Schwingungsdauer. Die steifere Feder zieht stärker zurück.
Aussage 5
Die Eigenkreisfrequenz eines LC-Schwingkreises beträgt \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
Das ist die Thomson’sche Schwingungsgleichung. Sie folgt aus \(\sqrt{D/m}\) mit \(m \to L\) und \(D \to 1/C\).
Aussage 6
Ein Federpendel mit \(D = 50\) N/m und \(m = 0{,}5\) kg hat die Eigenkreisfrequenz \(\omega_0 = 10\,\mathrm{s^{-1}}\).
\(\omega_0 = \sqrt{D/m} = \sqrt{100\,\mathrm{s^{-2}}} = 10\,\mathrm{s^{-1}}\).
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