Bernoulli-Gleichung und Staudruck
Wie Strömungsgeschwindigkeit und Druck nach Bernoulli zusammenhängen und was daraus für Rohrverengungen, Saugeffekte und das Ausströmen folgt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Bernoulli-Gleichung beschreibt die Energieerhaltung in reibungsfreien Strömungen: Der Gesamtdruck \(p_0 = p + \frac{1}{2}\rho v^2\) (plus \(\rho g h\)) bleibt konstant.
- Im strömenden Fluid ist der statische Druck um den Staudruck \(\frac{1}{2}\rho v^2\) kleiner als im ruhenden; der Staudruck wächst mit der Dichte und quadratisch mit \(v\), nicht mit dem Volumen.
- In einer Rohrverengung sind Geschwindigkeit und Staudruck größer, der statische Druck und die Steighöhe im Manometer kleiner; dahinter steigt der Druck wieder.
- Bunsenbrenner, Wasserstrahlpumpe und Zerstäuber saugen über den Unterdruck eines schnellen Strahls an, der Tropfenzähler nicht.
- Torricelli: \(v = \sqrt{2gh}\) hängt von Füllhöhe und \(g\) ab, nicht vom Öffnungsradius; der Ausströmüberdruck einer Spritze ist der Staudruck.
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Worum es geht
Die Bernoulli-Gleichung beschreibt, wie sich in einer Strömung Druck und Geschwindigkeit gegenseitig bedingen. Sie erklärt, warum der Druck an einer Rohrengstelle sinkt, wie Wasserstrahlpumpe und Bunsenbrenner Luft ansaugen und wie schnell Flüssigkeit aus einem Gefäß oder einer Spritze austritt.
Gesamtdruck und Staudruck
Der Energieerhaltungssatz gilt auch für strömende Fluide. Für eine reibungsfreie, inkompressible Strömung führt er zur Bernoulli-Gleichung. Statischer Druck, Staudruck und Schweredruck \(\rho g h\) ergeben zusammen einen konstanten Gesamtdruck. Jeder Term ist eine Energie pro Volumen. In einem horizontalen Rohr ändert sich \(h\) nicht, der Schweredruck fällt aus der Bilanz.
\[p_0 = p + \frac{1}{2}\rho v^2\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(p_0\) | Gesamtdruck, gleich dem Druck im ruhenden Fluid | Pa |
| \(p\) | statischer Druck im strömenden Fluid | Pa |
| \(\rho\) | Dichte des Fluids | kg/m³ |
| \(v\) | Strömungsgeschwindigkeit | m/s |
Der statische Druck wirkt senkrecht zur Strömung auf die Wand. Ihn zeigt ein seitlich angeschlossenes Manometer. Der Staudruck \(\frac{1}{2}\rho v^2\) ist die kinetische Energie pro Volumen. Beginnt das Fluid zu strömen, bleibt der Gesamtdruck gleich. Der statische Druck sinkt also gegenüber dem ruhenden Fluid genau um den Staudruck. Man kann sich den Gesamtdruck wie ein festes Budget vorstellen: Was in die Bewegung geht, fehlt dem Druck auf die Wand.
Der Staudruck wächst mit der Dichte und quadratisch mit der Geschwindigkeit. Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfachen Staudruck. Vom Volumen der Flüssigkeit hängt er nicht ab, denn er ist schon auf das Volumen bezogen.
- Gegeben: Wasser (\(\rho = 1000\) kg/m³) ruht in einer Leitung bei \(p_0 = 200\) kPa und strömt dann mit \(v = 4\) m/s.
- Staudruck: \(\frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 4^2\) Pa \(= 8000\) Pa \(= 8\) kPa.
- Statischer Druck: \(p = p_0 - \frac{1}{2}\rho v^2 = 200\) kPa \(- 8\) kPa \(= 192\) kPa.
Typische Fehler sind der vergessene Faktor \(\frac{1}{2}\), ein nicht quadriertes \(v\) und die Dichte in g/cm³. Umrechnen: 1 g/cm³ entspricht 1000 kg/m³.
Druck in Rohrverengungen
Die Geschwindigkeit an jeder Stelle liefert die Kontinuitätsgleichung \(A_1 v_1 = A_2 v_2\). Halbiert sich der Radius, sinkt die Fläche auf ein Viertel, und die Geschwindigkeit vervierfacht sich. Der Staudruck ist deshalb im Rohr nicht überall gleich. Er nimmt mit abnehmendem Radius zu und ist in der Engstelle am größten.
Weil der Gesamtdruck konstant bleibt, ist der statische Druck in der Engstelle kleiner. Genau dieses Druckgefälle beschleunigt die Flüssigkeit beim Eintritt: Von hinten drückt der höhere Druck stärker als von vorn der niedrigere. Hinter der Verengung wird die Strömung wieder langsamer, und der statische Druck steigt wieder an.
Ein Rohrschema deutest du so:
- Kontinuität: Wo der Querschnitt kleiner ist, ist \(v\) größer.
- Bernoulli: Größeres \(v\) bedeutet größeren Staudruck und kleineren statischen Druck.
- Steighöhe: Die Säule im Steigrohrmanometer spiegelt den statischen Druck. Über der Engstelle steht sie am niedrigsten.
Im reibungsfreien Fall stehen die Säulen vor und hinter der Engstelle gleich hoch. Auch Luftblasen zeigen den Druck an. Sie dehnen sich im verengten Teil aus, weil der Druck dort geringer ist, und schrumpfen danach wieder.
Technische Anwendungen
Wird ein Fluid in einer Düse stark beschleunigt, kann sein statischer Druck unter den Umgebungsdruck fallen. Dieser Unterdruck saugt ein zweites Fluid an. Beim Bunsenbrenner tritt das Gas schnell aus einer engen Düse aus. Am Düsenaustritt ist der statische Druck kleiner als in der Gaszuleitung und kleiner als der Luftdruck. Umgebungsluft strömt durch die seitlichen Löcher ein und mischt sich mit dem Gas.
Dasselbe Prinzip nutzen:
- Wasserstrahlpumpe: Ein schneller Wasserstrahl in einer Engstelle erzeugt Unterdruck und saugt Luft aus einer angeschlossenen Apparatur.
- Zerstäuber: Ein schneller Luftstrom über einem Steigröhrchen saugt Flüssigkeit hoch und reißt sie in feine Tröpfchen.
Anders der Tropfenzähler: Er beruht nicht auf dem Bernoulli-Effekt, denn in ihm strömt nichts schnell. Wann sich ein Tropfen ablöst, bestimmen Schwerkraft und Oberflächenspannung.
Ausströmen
Fließt Flüssigkeit aus einer Bodenöffnung, wird Lageenergie zu Bewegungsenergie. Am Spiegel und an der Öffnung herrscht derselbe Luftdruck. Bei großem Gefäß sinkt der Spiegel kaum. Aus \(\frac{1}{2}mv^2 = mgh\) folgt das Torricelli-Gesetz:
\[v = \sqrt{2gh}\]
Dabei ist \(v\) die Ausflussgeschwindigkeit in m/s, \(g = 9{,}81\) m/s² die Fallbeschleunigung und \(h\) die Höhe des Spiegels über der Austrittsstelle in m. Die Masse kürzt sich heraus. Die Flüssigkeit tritt so schnell aus, als wäre sie frei aus der Höhe \(h\) gefallen. Vierfache Füllhöhe ergibt doppelte Geschwindigkeit.
Die kinetische Energie je Kilogramm hängt damit von \(h\) und \(g\) ab. Hängt am Gefäß ein senkrechter Schlauch, zählt die Höhe vom Spiegel bis zum Schlauchende. Ein längerer Schlauch vergrößert also die Fallhöhe und die Austrittsgeschwindigkeit.
Ein größeres Loch oder ein weiterer Schlauch erhöht nur den Volumenstrom. Geschwindigkeit und kinetische Energie je Kilogramm bleiben gleich, denn in \(v = \sqrt{2gh}\) steht kein Querschnitt.
- Gegeben: Spiegel eines Vorratsgefäßes 0,8 m über der Öffnung, reibungsfrei.
- Einsetzen: \(v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}8}\) m/s \(= \sqrt{15{,}7}\) m/s.
- Ergebnis: \(v \approx 4{,}0\) m/s.
Bei einer Spritze fragt man umgekehrt nach dem nötigen Überdruck. Der Stempel muss genau den Staudruck \(p = \frac{1}{2}\rho v^2\) aufbringen. Für eine wässrige Lösung (\(\rho = 1000\) kg/m³) und \(v = 10\) m/s ergibt sich \(p = 50\,000\) Pa, also 0,5 bar. Real braucht man mehr, weil die Viskosität Reibung erzeugt.
Quiz
Aussage 1
Hängt man an eine Bodenöffnung einen längeren senkrechten Schlauch, tritt das Wasser reibungsfrei schneller aus.
Maßgeblich ist die Höhe vom Spiegel bis zum Schlauchende, ein längerer Schlauch vergrößert \(h\) in \(v = \sqrt{2gh}\).
Aussage 2
Luftblasen in einer durchströmten Rohrverengung dehnen sich im engen Teil aus.
Im engen Teil ist der statische Druck geringer, die Blasen expandieren.
Aussage 3
In einem durchströmten horizontalen Rohr mit Verengung steht die Manometersäule über der Engstelle am höchsten.
An der Engstelle ist \(v\) am größten und der statische Druck am kleinsten, die Säule steht dort am niedrigsten.
Aussage 4
Am Düsenaustritt eines Bunsenbrenners ist der statische Druck größer als der äußere Luftdruck.
Er ist kleiner als der Luftdruck und kleiner als in der Zuleitung, deshalb wird Luft angesaugt.
Aussage 5
Ein größeres Volumen der strömenden Flüssigkeit erhöht ihren Staudruck.
Der Staudruck ist bereits eine Energie pro Volumen und hängt nur von Dichte und Geschwindigkeit ab.
Aussage 6
Verdoppelt sich die Strömungsgeschwindigkeit, vervierfacht sich der Staudruck.
Der Staudruck \(\frac{1}{2}\rho v^2\) hängt quadratisch von \(v\) ab.
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