Skalare und vektorielle physikalische Größen
Welche Größen aus Mechanik und Elektrizitätslehre nur einen Betrag haben und welche zusätzlich eine Richtung brauchen, und woran man das erkennt.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Skalar ist durch Zahlenwert und Einheit vollständig beschrieben, ein Vektor braucht zusätzlich eine Richtung und wird als Pfeil dargestellt.
- Geschwindigkeit, Beschleunigung, Radialbeschleunigung (zum Kreismittelpunkt), Kraft, Gewichtskraft und Impuls sind Vektoren.
- Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls und Drehmoment liegen als Vektoren auf der Drehachse (Rechte-Hand-Regel), Trägheitsmoment und Rotationsenergie sind Skalare.
- Masse, Zeit, Volumen, Dichte, Druck, alle Energieformen und die Leistung sind Skalare.
- Elektrische Feldstärke \(\vec{E}\), magnetische Feldstärke \(\vec{H}\) und Flussdichte \(\vec{B}\) sind Vektoren, Ladung, Spannung, Stromstärke, Kapazität und Leitfähigkeit sind Skalare.
Worum es geht
Manche physikalischen Größen sind mit Zahlenwert und Einheit vollständig beschrieben, andere brauchen zusätzlich eine Richtung. Diese Unterscheidung entscheidet, wie man Größen addiert und Formeln liest. Sie zieht sich durch Mechanik und Elektrizitätslehre bis zum Feld im Kondensator.
Skalar und Vektor
Eine skalare Größe (kurz Skalar) ist durch Zahlenwert und Einheit vollständig festgelegt. „2 kg“ oder „30 s“ sagen alles, was man wissen muss. Wie sich eine Größe aus Zahlenwert und Einheit zusammensetzt, steht unter Physikalische Größe als Zahlenwert mal Einheit.
Eine vektorielle Größe (kurz Vektor) hat zusätzlich eine Richtung. Man zeichnet sie als Pfeil. Seine Länge steht für den Betrag, seine Spitze zeigt die Richtung. Im Formelzeichen kennzeichnet ein Pfeil den Vektor, etwa \(\vec{F}\). Schreibt man nur \(F\) oder \(|\vec{F}|\), meint man den Betrag allein.
Der Unterschied zeigt sich beim Addieren. Massen von 2 kg und 3 kg ergeben immer 5 kg. Kräfte von 3 N und 4 N ergeben dagegen je nach Winkel zwischen 1 N und 7 N. Stehen sie senkrecht aufeinander, liefert der Satz des Pythagoras \(\sqrt{3^2+4^2}\,\mathrm{N} = 5\,\mathrm{N}\). Wie man Kräfte zeichnerisch addiert und zerlegt, zeigt Kräfte addieren und zerlegen.
Auch Skalare können ein Vorzeichen tragen, etwa die elektrische Ladung oder die potentielle Energie. Ein Minus ist aber keine Richtung im Raum. Es sagt nur, ob ein Wert über oder unter einem Bezugspunkt liegt.
Prüffrage: Ändert sich die Wirkung, wenn bei gleichem Betrag nur die Richtung wechselt? Dann ist die Größe ein Vektor. Klingt die Richtungsangabe sinnlos, wie „2 kg nach Osten“, ist sie ein Skalar.
Vektoren der Mechanik
Die Bewegung eines Körpers beschreibt man mit Vektoren. Die Geschwindigkeit \(\vec{v}\) ist das einfachste Beispiel: 50 km/h nach Norden ist eine andere Bewegung als 50 km/h nach Süden. Die Beschleunigung \(\vec{a} = \Delta\vec{v}/\Delta t\) ist eine Geschwindigkeitsänderung pro Zeit. Eine vektorielle Änderung geteilt durch die skalare Zeit bleibt ein Vektor.
Beschleunigung bedeutet nicht nur schneller oder langsamer werden. Auch eine reine Richtungsänderung ist eine Beschleunigung. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung bleibt der Betrag von \(\vec{v}\) konstant, die Richtung dreht sich aber ständig. Daraus folgt die Radialbeschleunigung \(\vec{a}_r\). Sie zeigt immer zum Kreismittelpunkt und hat den Betrag \(a_r = v^2/r\). Mehr dazu unter Zentripetalkraft und Kreisbahnen.
In der Dynamik geht es um die Ursache von Bewegungsänderungen. Die Kraft \(\vec{F} = m \cdot \vec{a}\) ist ein Vektor. Die skalare Masse verändert nur die Länge des Pfeils, die Richtung gibt \(\vec{a}\) vor. Das gilt auch für die Gewichtskraft \(\vec{F}_G = m \cdot \vec{g}\). Sie zeigt lotrecht nach unten zum Erdmittelpunkt, siehe Gewichtskraft, Masse und Gravitation. Der Impuls \(\vec{p} = m \cdot \vec{v}\) zeigt in Bewegungsrichtung. Zwei gleich schwere Kugeln, die gleich schnell aufeinander zurollen, haben deshalb zusammen den Impuls null.
Examensklassiker: Geschwindigkeit, Beschleunigung samt Radialbeschleunigung, Kraft, Gewichtskraft und Impuls sind Vektoren. Achte auf Gewichtskraft und Impuls: Sie enthalten die skalare Masse, sind aber selbst vektoriell.
Auch Drehbewegungen haben Vektorgrößen. Ihr Pfeil liegt auf der Drehachse. Die Richtung bestimmt die Rechte-Hand-Regel: Die gekrümmten Finger folgen dem Drehsinn, der Daumen zeigt die Richtung des Vektors. So erhalten die Winkelgeschwindigkeit \(\vec{\omega}\), der Drehimpuls \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) und das Drehmoment \(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\) ihre Richtung. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren liefert wieder einen Vektor. Das Drehmoment wird unter Drehmoment und Hebelarm ausführlich behandelt.
| Größe | Zeichen | Richtung |
|---|---|---|
| Geschwindigkeit | \(\vec{v}\) | Bewegungsrichtung, bei Kreisbahn tangential |
| Beschleunigung | \(\vec{a}\) | Richtung der Geschwindigkeitsänderung |
| Radialbeschleunigung | \(\vec{a}_r\) | zum Kreismittelpunkt |
| Kraft | \(\vec{F}\) | Wirkrichtung |
| Gewichtskraft | \(\vec{F}_G\) | lotrecht nach unten |
| Impuls | \(\vec{p}\) | wie \(\vec{v}\) |
| Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls, Drehmoment | \(\vec{\omega}\), \(\vec{L}\), \(\vec{M}\) | entlang der Drehachse |
Skalare der Mechanik
Die Basisgrößen Masse und Zeit sind Skalare. Eine Masse hat keine Richtung, ebenso wenig eine Zeitspanne. Welche weiteren Basisgrößen es gibt, steht unter SI-Basisgrößen. Auch das Volumen ist ein Skalar. Damit ist die Dichte oder Massendichte \(\rho = m/V\) als Quotient zweier Skalare ebenfalls skalar.
Beim Druck \(p = F/A\) überrascht das zunächst, weil eine Kraft darin steckt. In einer Flüssigkeit wirkt der Druck an einer Stelle aber in alle Richtungen gleich. Eine gerichtete Kraft entsteht erst, wenn eine Fläche mit bestimmter Lage hinzukommt. Der Druck selbst ist daher ein Skalar.
Energie ist in allen Formen skalar. Die kinetische Energie \(E_{kin} = \tfrac{1}{2} m v^2\) hängt zwar von der Geschwindigkeit ab. Durch das Quadrieren geht die Richtung aber verloren: Ein Körper hat bei 10 m/s nach links dieselbe Bewegungsenergie wie nach rechts. Die potentielle Energie \(E_{pot} = m g h\) enthält nur Beträge und die Höhe. Ebenso skalar ist die Leistung \(P = W/t\), also Energie pro Zeit. Das gilt auch für die elektrische Leistung \(P = U \cdot I\). Ihre Einheiten Joule und Watt behandelt Einheiten von Energie und Leistung.
Bei der Drehbewegung sind nicht alle Größen Vektoren. Das Trägheitsmoment \(J = \sum m_i r_i^2\) summiert Massen mal quadrierte Abstände zur Achse. Es beschreibt, wie träge ein Körper gegen Drehung ist, und hat keine eigene Richtung. Die Rotationsenergie \(E_{rot} = \tfrac{1}{2} J \omega^2\) ist wie jede Energie ein Skalar.
Skalar mal oder durch Skalar ergibt einen Skalar, Skalar mal Vektor einen Vektor. Wird ein Vektor quadriert oder skalar mit einem Vektor multipliziert, entsteht ein Skalar. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren bleibt ein Vektor.
Elektrische und magnetische Größen
Felder beschreiben, welche Kraft an jedem Punkt im Raum wirkt. Deshalb sind ihre Kenngrößen Vektoren. Die elektrische Feldstärke \(\vec{E} = \vec{F}/q\) ist die Kraft pro Ladung. Sie zeigt in die Richtung, in die eine positive Probeladung gezogen wird. Mehr dazu unter Elektrisches Feld, Feldlinien und Potential.
Im Magnetfeld sind die magnetische Feldstärke \(\vec{H}\) und die magnetische Flussdichte \(\vec{B}\) Vektoren. Beide zeigen in Richtung der Feldlinien, also dorthin, wohin der Nordpol einer Kompassnadel weist. Feldlinienbilder von Leitern und Spulen zeigt Magnetfelder von Leitern, Spulen und Stabmagneten. Diese drei Feldgrößen sind ein Dauerbrenner im Examen: \(\vec{E}\), \(\vec{H}\) und \(\vec{B}\) sind vektoriell, die Größen der Stromkreise dagegen skalar.
Die elektrische Ladung \(Q\) ist ein Skalar. Sie kann positiv oder negativ sein, aber das Vorzeichen ist keine Richtung. Die Spannung \(U\) ist eine Potentialdifferenz, also Energie pro Ladung, und damit skalar. Die Kapazität \(C = Q/U\) eines Kondensators ist als Quotient zweier Skalare ebenfalls ein Skalar.
Bei der Stromstärke \(I = \Delta Q/\Delta t\) liegt der Gedanke an einen Vektor nahe, weil Strom „fließt“. Sie ist aber ein Skalar, denn ein Leiter gibt den Weg vor, nicht eine Richtung im Raum. An einem Knoten addieren sich Ströme wie Zahlen, egal unter welchem Winkel die Drähte abzweigen. Auch die elektrische Leitfähigkeit \(\sigma\) ist keine vektorielle Größe. Sie ist eine Materialeigenschaft wie die Dichte.
\(p\) steht für den Impuls (Vektor) und für den Druck (Skalar). \(E\) steht für die elektrische Feldstärke (Vektor) und für die Energie (Skalar). Erst der Pfeil über dem Zeichen oder der Zusammenhang zeigt, was gemeint ist.
Die Übersicht fasst alle Größen dieser Einheit zusammen.
Quiz
Aussage 1
Das Trägheitsmoment ist wie der Drehimpuls ein Vektor auf der Drehachse.
Das Trägheitsmoment \(J = \sum m_i r_i^2\) ist keine vektorielle Größe. Vektoren der Drehbewegung sind Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls und Drehmoment.
Aussage 2
Die kinetische Energie ist eine vektorielle Größe, weil sie von der Geschwindigkeit abhängt.
Die kinetische Energie ist ein Skalar. In \(E_{kin} = \tfrac{1}{2} m v^2\) geht die Geschwindigkeit quadriert ein, dabei geht die Richtung verloren.
Aussage 3
Die magnetische Flussdichte \(B\) ist eine vektorielle Größe.
Wie die elektrische und die magnetische Feldstärke ist die Flussdichte eine Feldgröße mit Richtung entlang der Feldlinien.
Aussage 4
Die elektrische Stromstärke ist ein Vektor, da der Strom in eine bestimmte Richtung fließt.
Die Stromstärke ist ein Skalar. Ströme an einem Knoten addieren sich wie Zahlen, unabhängig vom Winkel der Leiter.
Aussage 5
Der Druck ist eine skalare Größe, obwohl in seiner Definition \(p = F/A\) eine Kraft vorkommt.
Der Druck wirkt an einer Stelle in alle Richtungen gleich. Eine gerichtete Kraft entsteht erst mit einer Fläche bestimmter Lage.
Aussage 6
Das Drehmoment ist ein Vektor, der entlang der Drehachse liegt.
Das Drehmoment \(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\) ist als Kreuzprodukt ein Vektor. Seine Richtung auf der Achse ergibt die Rechte-Hand-Regel.
Aussage 7
Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung tritt eine Radialbeschleunigung auf, die als Vektor zum Kreismittelpunkt zeigt.
Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt gleich, ihre Richtung ändert sich ständig. Diese Änderung ist die zum Mittelpunkt gerichtete Radialbeschleunigung.
Aussage 8
Da die Masse ein Skalar ist, ist auch die Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\) eine skalare Größe.
Die Gewichtskraft ist ein Vektor. Die skalare Masse wird mit dem Vektor \(\vec{g}\) multipliziert, und Skalar mal Vektor ergibt einen Vektor, der lotrecht nach unten zeigt.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.