Auftrieb und archimedisches Prinzip
Warum ein Körper in Flüssigkeiten und Gasen leichter wird und wie man Auftriebskraft, Federwaagenanzeige und Nutzlast eines Ballons berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Auftriebskraft entsteht, weil der Schweredruck an der Unterseite eines eingetauchten Körpers größer ist als an der Oberseite.
- Archimedisches Prinzip: Der Auftrieb ist gleich der Gewichtskraft des verdrängten Fluids, \(F_A = \rho_{Fl} \cdot V_{ein} \cdot g\), in Flüssigkeiten und Gasen.
- Der Auftrieb hängt nur von eingetauchtem Volumen und Fluiddichte ab, nicht von Dichte, Oberfläche oder Eintauchtiefe des ganz untergetauchten Körpers.
- Die Federwaage zeigt das scheinbare Gewicht \(F = (\rho_K - \rho_{Fl}) \cdot V \cdot g\), in Wasser also weniger als in Luft.
- Ballon und Zeppelin nutzen statischen Auftrieb, die Rakete den Rückstoß; Nutzlast \(F_N = \rho_L V g - G\).
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Worum es geht
Jeder Körper in einer Flüssigkeit oder einem Gas erfährt eine nach oben gerichtete Kraft, den Auftrieb. Er folgt direkt aus dem Schweredruck. In der Pharmazie begegnet er dir bei der Dichtebestimmung mit hydrostatischer Wägung und beim Aräometer.
Ursache des Auftriebs
Der Schweredruck wächst mit der Tiefe: \(p = \rho_{Fl} \cdot g \cdot t\). Ein eingetauchter Quader mit Grundfläche \(A\) und Höhe \(h\) liegt mit seiner Oberseite in der Tiefe \(t_1\) und mit der Unterseite in der Tiefe \(t_2\). Unten drückt die Flüssigkeit also stärker nach oben als oben nach unten. Die seitlichen Druckkräfte sind gleich groß und heben sich auf.
Die Differenz der beiden Druckkräfte ist die Auftriebskraft:
\[F_A = \rho_{Fl} \, g \, (t_2 - t_1) \, A = \rho_{Fl} \, g \, h \, A = \rho_{Fl} \, V \, g\]
Das Produkt \(h \cdot A\) ist genau das Volumen, das der Körper verdrängt.
Archimedisches Prinzip
Das Ergebnis lässt sich allgemein fassen. Das archimedische Prinzip besagt: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft des verdrängten Fluids. Das gilt in Flüssigkeiten und ebenso in Gasen.
\[F_A = \rho_{Fl} \cdot V_{ein} \cdot g\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F_A\) | Auftriebskraft | N |
| \(\rho_{Fl}\) | Dichte des Fluids | kg/m³ |
| \(V_{ein}\) | eingetauchtes, also verdrängtes Volumen | m³ |
| \(g\) | Fallbeschleunigung, 9,81 m/s² | m/s² |
Der Auftrieb hängt nur von zwei Dingen ab: vom eingetauchten Volumen und von der Dichte des Fluids. Doppelte Fluiddichte heißt doppelter Auftrieb. Die Dichte des Körpers kommt in der Formel nicht vor. Eine Eisenkugel und eine gleich große Aluminiumkugel erfahren in Wasser also denselben Auftrieb.
Auch die Oberfläche des Körpers und die Viskosität der Flüssigkeit spielen keine Rolle. Ebenso wenig zählt, wie viel Flüssigkeit im Gefäß steht. Ist der Körper ganz untergetaucht, ändert tieferes Absinken nichts, denn in einer inkompressiblen Flüssigkeit bleibt die Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterseite gleich. Masse und Dichte des Körpers bleiben beim Eintauchen unverändert.
- Gegeben: Körper mit \(V = 50\ \mathrm{cm^3}\) ganz in Wasser, \(\rho_W = 1{,}0\ \mathrm{g/cm^3}\).
- Umrechnen: \(V = 5 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{m^3}\), \(\rho_W = 1000\ \mathrm{kg/m^3}\).
- Einsetzen: \(F_A = 1000 \cdot 5 \cdot 10^{-5} \cdot 9{,}81\ \mathrm{N} \approx 0{,}49\ \mathrm{N}\).
Resultierende Kraft und Federwaage
Auf einen eingetauchten Körper wirken Gewichtskraft nach unten und Auftrieb nach oben. Die resultierende Kraft ist ihre Differenz. Eine Federwaage zeigt genau diese Differenz an, das scheinbare Gewicht:
\[F = G - F_A = (\rho_K - \rho_{Fl}) \cdot V \cdot g\]
In Wasser ist der Auftrieb viel größer als in Luft. Die Feder wird deshalb weniger ausgelenkt. Hängt der Körper ruhig, wirkt keine Reibungskraft, denn Reibung entsteht erst bei Bewegung.
- Gegeben: Aluminiumkörper, \(\rho_K = 2700\ \mathrm{kg/m^3}\), \(V = 1 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^3}\), ganz in Wasser.
- Dichtedifferenz: \(2700 - 1000 = 1700\ \mathrm{kg/m^3}\).
- Anzeige: \(F = 1700 \cdot 10^{-4} \cdot 9{,}81\ \mathrm{N} \approx 1{,}67\ \mathrm{N}\).
Umgekehrt liefert die Anzeige das Volumen: \(V = F / ((\rho_K - \rho_{Fl}) \cdot g)\). Wie man so eine Dichte bestimmt, zeigt die Dichtebestimmung.
Auftrieb in Luft
Heißluftballon und Zeppelin schweben durch statischen Auftrieb in Luft. Ihre Hülle verdrängt ein großes Luftvolumen, gefüllt mit leichterem Gas oder heißer Luft. Eine Rakete arbeitet anders, denn sie nutzt den Rückstoß ausgestoßener Gase.
Die maximale Nutzlast ist der Auftrieb minus das Eigengewicht \(G\) von Hülle und Gasfüllung:
\[F_N = \rho_L \cdot V \cdot g - G\]
- Gegeben: \(V = 2000\ \mathrm{m^3}\), \(\rho_L = 1{,}2 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{g/cm^3}\), \(G = 18\,000\ \mathrm{N}\).
- Umrechnen: \(\rho_L = 1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}\).
- Auftrieb: \(F_A = 1{,}2 \cdot 2000 \cdot 9{,}81\ \mathrm{N} \approx 23\,540\ \mathrm{N}\).
- Nutzlast: \(F_N \approx 5540\ \mathrm{N}\), also rund 565 kg.
\(1\ \mathrm{g/cm^3} = 1000\ \mathrm{kg/m^3}\) und \(1\ \mathrm{cm^3} = 10^{-6}\ \mathrm{m^3}\). Wer eine Umrechnung vergisst, liegt um den Faktor 1000 oder eine Million daneben.
Quiz
Aussage 1
Eine Eisenkugel und eine gleich große Aluminiumkugel erfahren vollständig in Wasser getaucht dieselbe Auftriebskraft.
Der Auftrieb hängt nur vom verdrängten Volumen und der Fluiddichte ab, nicht von der Dichte des Körpers.
Aussage 2
Ein Körper der Dichte \(\rho_K\) und des Volumens \(V\) hängt ganz in Wasser an einer Federwaage. Sie zeigt \((\rho_K - \rho_W) \cdot V \cdot g\) an.
Die Anzeige ist die Differenz aus Gewichtskraft \(\rho_K V g\) und Auftriebskraft \(\rho_W V g\).
Aussage 3
Sinkt ein vollständig untergetauchter Körper in Wasser tiefer, nimmt seine Auftriebskraft zu.
In einer inkompressiblen Flüssigkeit bleibt die Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterseite gleich. Der Auftrieb ist daher unabhängig von der Eintauchtiefe.
Aussage 4
Die maximale Nutzlast eines Ballons ergibt sich als Auftriebskraft plus Gewicht der Gasfüllung.
Das Eigengewicht von Hülle und Gasfüllung wird abgezogen: \(F_N = \rho_L V g - G\).
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