Idealer Transformator: Spannungs- und Stromübersetzung
Wie ein idealer Transformator Wechselspannungen über das Verhältnis der Windungszahlen übersetzt, warum sich die Ströme umgekehrt verhalten und wie man fehlende Größen berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Transformator besteht aus Primär- und Sekundärspule auf einem gemeinsamen Eisenkern; der Wechselfluss im Kern induziert in jeder Windung dieselbe Spannung.
- Er wandelt Wechselspannung in Wechselspannung anderer Amplitude um, die Frequenz bleibt gleich; an Gleichspannung liefert er sekundär keine Spannung.
- Spannungen verhalten sich wie die Windungszahlen: \(U_1/U_2 = N_1/N_2\); zum Heruntertransformieren gilt \(N_1 > N_2\), zum Hochtransformieren \(N_1 < N_2\).
- Stromstärken verhalten sich umgekehrt: \(U_1/U_2 = N_1/N_2 = I_2/I_1\), weil beim idealen Transformator \(U_1 I_1 = U_2 I_2\) gilt.
- Rechenweg: Spannung pro Windung bestimmen und mit der Windungszahl multiplizieren; beim Abgriff zählen nur die Windungen zwischen den Anschlüssen.
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Worum es geht
Ein Transformator verändert die Höhe einer Wechselspannung, etwa von den 230 V der Steckdose auf die wenigen Volt eines Ladegeräts. Er beruht auf der elektromagnetischen Induktion und steckt in fast jedem Netzteil im Labor. Im Mittelpunkt steht das Rechnen mit Spannungen, Stromstärken und Windungszahlen.
Aufbau und Prinzip
Ein Transformator besteht aus zwei Spulen auf einem gemeinsamen, geschlossenen Eisenkern. Die Primärspule mit \(N_1\) Windungen liegt an der Wechselspannungsquelle mit der Spannung \(U_1\). Die Sekundärspule mit \(N_2\) Windungen versorgt den Verbraucher mit \(U_2\). Elektrisch sind beide Spulen nicht miteinander verbunden.
Die Kopplung läuft allein über den magnetischen Fluss. Der Wechselstrom in der Primärspule erzeugt im Kern einen Fluss, der ständig Stärke und Richtung ändert. Der Eisenkern bündelt diesen Fluss und führt ihn durch die Sekundärspule, so wie ein Rohr Wasser von einem Becken ins andere leitet. Nach dem Induktionsgesetz induziert der sich ändernde Fluss in jeder Windung eine Spannung.
Beim idealen Transformator durchsetzt der gesamte Fluss beide Spulen, und es geht keine Energie verloren. Dann induziert der Fluss in jeder Windung beider Spulen dieselbe Spannung. Auf diesem einen Gedanken beruhen alle Formeln dieser Seite.
Funktion
Der Transformator wandelt eine Wechselspannung in eine Wechselspannung anderer Amplitude um. Die Frequenz bleibt dabei gleich. Das folgt direkt aus dem Prinzip: Die Sekundärspannung entsteht durch den Wechselfluss und folgt ihm im selben Takt. Bei 50 Hz Netzfrequenz liefert auch die Sekundärseite 50 Hz.
Die Abbildung zeigt das beim Heruntertransformieren. Die Sekundärkurve ist flacher, ihre Nulldurchgänge liegen aber im gleichen Takt wie die der Primärkurve.
Auf der Sekundärseite kommt deshalb immer Wechselspannung heraus. Wer Gleichspannung braucht, schaltet hinter den Transformator einen Gleichrichter aus Halbleiterdioden, wie es jedes Netzteil tut. Drehstrom besteht aus drei zeitlich versetzten Wechselspannungen. Er stammt aus einem Generator mit drei Wicklungen, denn ein einfacher Transformator gibt nur die eine Phase weiter, die er bekommt.
Ohne Flussänderung keine Induktion: Liegt die Primärspule an Gleichspannung, baut sich ein konstanter Fluss auf, und die Sekundärspule liefert keine Spannung.
Spannungsübersetzung
Weil jede Windung dieselbe Spannung trägt, wächst die Spannung einer Spule proportional mit ihrer Windungszahl. Die Spannung pro Windung ist auf beiden Seiten gleich: \(U_1/N_1 = U_2/N_2\). Umgestellt ergibt das das Grundgesetz des Transformators.
\[\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(U_1\) | Primärspannung | V |
| \(U_2\) | Sekundärspannung | V |
| \(N_1\) | Windungszahl der Primärspule | 1 |
| \(N_2\) | Windungszahl der Sekundärspule | 1 |
Das Verhältnis \(N_1/N_2\) heißt Übersetzungsverhältnis \(\ddot{u}\). Die Spannungen stehen im selben Verhältnis. Die Formel begegnet dir in gleichwertigen Schreibweisen: mit kleinem \(n\) statt \(N\), als \(U_1 : U_2 = n_1 : n_2\), umgedreht als \(U_2/U_1 = N_2/N_1\) oder mit den Indizes prim und sek. Entscheidend ist nur, dass Zähler und Nenner auf beiden Seiten zur selben Spule gehören.
Daraus folgen einfache Proportionalitäten. Doppelt so viele Sekundärwindungen ergeben die doppelte Sekundärspannung. Verdoppelt man \(N_1\) bei gleicher Primärspannung, halbiert sich \(U_2\). Im Grenzfall \(N_1 = N_2\) ist \(U_2 = U_1\), der Transformator trennt dann nur die Stromkreise.
\(U_2 > U_1\), dafür hat die Sekundärspule mehr Windungen: \(N_1 < N_2\).
\(U_2 < U_1\), dafür hat die Primärspule mehr Windungen: \(N_1 > N_2\).
Die Spannungsübersetzung \(U_1/U_2 = N_1/N_2\) ist ein Examensklassiker. Achte darauf, dass die Spannungen direkt wie die Windungszahlen gehen: Zum Heruntertransformieren braucht die Primärspule mehr Windungen als die Sekundärspule.
Stromstärkeübersetzung
Beim idealen Transformator geht keine Energie verloren. Die aufgenommene elektrische Leistung ist gleich der abgegebenen: \(U_1 \cdot I_1 = U_2 \cdot I_2\). Steigt die Spannung, muss die Stromstärke sinken. Die Stromstärken verhalten sich daher umgekehrt wie die Windungszahlen.
\[\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1}\]
Zusammen mit der Spannungsübersetzung ergibt sich die Gesamtbeziehung:
\[\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} = \frac{I_2}{I_1}\]
Beim Hochtransformieren ist deshalb der Primärstrom größer als der Sekundärstrom: \(I_1 > I_2\). Beim Heruntertransformieren ist es umgekehrt. Ein Schweißtransformator nutzt das: Er liefert eine kleine Spannung und dafür eine sehr große Stromstärke.
Ein Beispiel: Ein Transformator mit \(N_1 = 1200\) und \(N_2 = 60\) liegt an 230 V. Er liefert \(U_2 = 11{,}5\) V. Zieht der Verbraucher \(I_2 = 2\) A, fließen primär nur \(I_1 = 2\ \mathrm{A} \cdot 60/1200 = 0{,}1\) A. Die Probe über die Leistung stimmt: 230 V · 0,1 A = 23 W = 11,5 V · 2 A.
Auch eine fehlende Windungszahl lässt sich aus den Strömen bestimmen: \(N_2 = N_1 \cdot I_1/I_2\). Mit \(N_1 = 500\), \(I_1 = 0{,}3\) A und \(I_2 = 5\) A braucht die Sekundärspule \(N_2 = 500 \cdot 0{,}3/5 = 30\) Windungen.
Nur die Spannungen folgen den Windungszahlen direkt. Beim Strom steht der Kehrwert: Die Spule mit mehr Windungen führt den kleineren Strom.
Rechnungen
Alle Aufgaben zur Spannungsübersetzung laufen auf dieselbe Gleichung hinaus. Man stellt \(U_1/U_2 = N_1/N_2\) nach der gesuchten Größe um:
- Sekundärspannung: \(U_2 = U_1 \cdot N_2/N_1\)
- Sekundärwindungszahl: \(N_2 = N_1 \cdot U_2/U_1\)
- Primärwindungszahl: \(N_1 = N_2 \cdot U_1/U_2\)
- Windungszahlverhältnis: \(N_1/N_2 = U_1/U_2\)
Diese Umstellungen gehören zum Pflichtprogramm im Examen. Achte darauf, die bekannte Windungszahl mit dem Spannungsverhältnis „gesucht durch bekannt“ zu multiplizieren.
Sekundärspannung berechnen
- Gegeben: \(U_1 = 230\) V, \(N_1 = 1150\), \(N_2 = 60\).
- Spannung pro Windung: \(230\ \mathrm{V}/1150 = 0{,}2\) V.
- Sekundärspannung: \(U_2 = 60 \cdot 0{,}2\ \mathrm{V} = 12\) V.
- Plausibilität: Die Sekundärspule hat weniger Windungen, also muss \(U_2 < U_1\) sein. Das stimmt.
Fehlende Windungszahl berechnen
Eine Primärspule mit 400 Windungen liegt an 230 V. Gewünscht sind 9,2 V. Dann gilt \(N_2 = 400 \cdot 9{,}2\ \mathrm{V}/230\ \mathrm{V} = 16\) Windungen. Ebenso prüft man vorgegebene Kombinationen. Für 230 V auf 23 V braucht man \(N_1 : N_2 = 10 : 1\). Die Kombination 500 zu 50 passt. Vertauscht man sie zu 50 zu 500, entstünden 2300 V.
Sekundärwicklung mit Abgriff
Eine Sekundärwicklung kann einen zusätzlichen Anschluss mitten in der Wicklung haben, den Abgriff. Dann sind die Spannungen der Teilwicklungen und der Gesamtwicklung einzeln abgreifbar. Zwischen zwei Anschlüssen liegt die Spannung pro Windung mal der Zahl der Windungen dazwischen.
Im Schema liegen 1000 Primärwindungen an 230 V, jede Windung trägt also 0,23 V. Zwischen A und B liegen 50 Windungen, das ergibt 11,5 V. Zwischen B und C liegen 150 Windungen mit 34,5 V. Über die ganze Wicklung mit 200 Windungen misst man 46 V, die Summe der Teilspannungen.
Typische Fehler
- Strom wie Spannung behandeln: Ströme gehen umgekehrt zu den Windungszahlen.
- Windungszahlen vertauschen: Prüfe am Ende, ob hoch- oder heruntertransformiert wird.
- Effektiv- und Scheitelwert mischen: Die Formel gilt für beide, aber auf beiden Seiten muss dieselbe Art stehen (Effektivwert).
Quiz
Aussage 1
Soll ein idealer Transformator eine Spannung herabsetzen, muss die Primärspule mehr Windungen haben als die Sekundärspule.
Aus \(U_1/U_2 = N_1/N_2\) folgt: \(U_2 < U_1\) verlangt \(N_2 < N_1\).
Aussage 2
Beim idealen Transformator gilt für die Spannungen \(U_1/U_2 = N_2/N_1\).
Die Spannungen gehen direkt wie die Windungszahlen: \(U_1/U_2 = N_1/N_2\). Der Kehrwert gilt für die Stromstärken.
Aussage 3
Legt man die Primärspule eines Transformators an eine Gleichspannung, liefert die Sekundärspule dauerhaft eine Gleichspannung.
Gleichspannung erzeugt einen konstanten Fluss, und ohne Flussänderung wird nichts induziert. Die Sekundärseite liefert dann keine Spannung; Gleichspannung erhält man erst mit einem Gleichrichter.
Aussage 4
Ein idealer Transformator, der 230 V bei 50 Hz auf 12 V herabsetzt, liefert sekundär ebenfalls eine Frequenz von 50 Hz.
Die Sekundärspannung folgt dem Wechselfluss im selben Takt, die Frequenz bleibt unverändert.
Aussage 5
Beim Hochtransformieren mit einem idealen Transformator ist die Stromstärke in der Primärspule kleiner als in der Sekundärspule.
Da die Leistung erhalten bleibt, sinkt der Strom, wo die Spannung steigt. Beim Hochtransformieren gilt \(I_1 > I_2\).
Aussage 6
Ein idealer Transformator mit 2300 Primär- und 120 Sekundärwindungen liefert an 230 V eine Sekundärspannung von 12 V.
Jede Windung trägt \(230\ \mathrm{V}/2300 = 0{,}1\) V, also \(U_2 = 120 \cdot 0{,}1\ \mathrm{V} = 12\) V.
Aussage 7
Liegt bei einer Sekundärwicklung mit Abgriff ein Viertel der Sekundärwindungen zwischen zwei Anschlüssen, misst man dort ein Viertel der Gesamtspannung der Sekundärwicklung.
Jede Windung trägt dieselbe Spannung, die Teilspannung ist daher proportional zur Zahl der Windungen zwischen den Anschlüssen.
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