Druckgasflaschen, geschlossene Gefäße und Gasblasen
Wie man mit dem Boyle-Mariotte-Gesetz das Entspannungsvolumen und die Gasmasse einer Druckgasflasche, den Druck in einem geschlossenen Tank und das Wachsen einer aufsteigenden Gasblase berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Boyle-Mariotte-Gesetz \(p_1V_1 = p_2V_2\) beschreibt Druckgasflaschen, geschlossene Tanks und Gasblasen bei konstanter Temperatur.
- Das Entspannungsvolumen einer Flasche ist \(V_2 = p_1V_1/p_2\); Liter in Kubikmeter umrechnen (1 m³ = 1000 L).
- Die Gasmasse folgt aus \(m = \rho_0 \cdot (p/p_0) \cdot V\) und ist proportional zum Fülldruck.
- Lässt man aus einem geschlossenen Tank Flüssigkeit ab, wächst das Luftpolster und der Druck sinkt.
- Unter Wasser gilt \(p = p_\mathrm{Luft} + \rho g h\), je 10 m etwa 1 bar; eine aufsteigende Blase wächst umgekehrt proportional zum Gesamtdruck.
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Worum es geht
Bei konstanter Temperatur ist das Produkt aus Druck und Volumen einer Gasmenge konstant. Diese Einheit wendet das Gesetz auf drei typische Rechensituationen an. Gebraucht wird das etwa beim Umgang mit Sauerstoff- oder Stickstoffflaschen in Apotheke und Labor.
Druckgasflaschen
Eine Druckgasflasche speichert viel Gas auf kleinem Raum. Strömt es bei gleichbleibender Temperatur aus, gilt das Gesetz von Boyle-Mariotte \(p_1V_1 = p_2V_2\). Nach dem Volumen umgestellt:
\[V_2 = \frac{p_1 V_1}{p_2} = V_1 \cdot \frac{p_1}{p_2}\]
Das Volumen wächst um denselben Faktor, um den der Druck fällt. Doppelter Fülldruck bedeutet doppeltes Gasvolumen. Eine 10-L-Flasche mit 150 bar liefert bei Normdruck von 1,013 bar rund 1480 L, also 1,48 m³. Genau genommen bleiben davon 10 L in der Flasche zurück.
Auch die Gasmasse folgt aus dem Druckverhältnis. Die Dichte eines idealen Gases steigt bei konstanter Temperatur proportional zum Druck. Man skaliert also die Normdichte mit \(p/p_0\) und multipliziert mit dem Flaschenvolumen.
\[m = \rho_0 \cdot \frac{p}{p_0} \cdot V\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(m\) | Masse des Gases in der Flasche | kg |
| \(\rho_0\) | Dichte des Gases bei Normdruck | kg/m³ |
| \(p\) | Fülldruck der Flasche | bar oder Pa |
| \(p_0\) | Normdruck, 1,013 bar | bar oder Pa |
| \(V\) | Flaschenvolumen | m³ |
Ein Beispiel: eine 50-L-Sauerstoffflasche mit 200 bar, Normdichte \(\rho_0 = 1{,}43\) kg/m³.
- Einheiten: \(V = 50\) L \(= 0{,}050\) m³, denn 1 m³ = 1000 L.
- Volumen: \(V_2 = 200 \text{ bar} \cdot 50 \text{ L} / 1{,}013 \text{ bar} \approx 9870\) L \(\approx 9{,}9\) m³.
- Druckverhältnis: \(p/p_0 = 200/1{,}013 \approx 197\).
- Masse: \(m = 1{,}43 \text{ kg/m}^3 \cdot 197 \cdot 0{,}050 \text{ m}^3 \approx 14\) kg.
Entspannungsvolumen und Gasmasse einer Druckgasflasche werden im Examen gerne gefragt. Setze beide Drücke in derselben Einheit ein und rechne das Ergebnis von Litern in Kubikmeter um (1 m³ = 1000 L).
Das Gasgesetz verlangt den absoluten Druck. Zeigt ein Manometer nur den Überdruck, addiert man den Umgebungsdruck von etwa 1 bar.
Druckerniedrigung im geschlossenen Gefäß
Über der Flüssigkeit in einem geschlossenen Tank sitzt ein Luftpolster. Lässt man Flüssigkeit ab, ohne dass Luft nachströmt, verteilt sich dieselbe Gasmenge auf mehr Raum. Das Luftvolumen wächst, der Druck sinkt. In die Rechnung gehört nur das Volumen der Luft, nicht das des Tanks.
Ein 80-L-Tank enthält 50 L Wasser und 30 L Luft bei 1,2 bar. Nach Ablassen von 20 L Wasser stehen der Luft 50 L zur Verfügung:
\[p_2 = \frac{p_1 V_1}{V_2} = \frac{1{,}2 \text{ bar} \cdot 30 \text{ L}}{50 \text{ L}} = 0{,}72 \text{ bar}\]
Der Druck fällt hier unter den Luftdruck. So erklärt sich das Gluckern einer Flasche, die man kopfüber entleert: Außenluft drängt nach, sobald innen Unterdruck entsteht.
Aufsteigende Gasblase
Auf eine Gasblase unter Wasser wirkt der Luftdruck plus der Schweredruck der Wassersäule, \(p = p_\mathrm{Luft} + \rho g h\). Je 10 m Tiefe kommt etwa 1 bar hinzu, denn \(1000 \text{ kg/m}^3 \cdot 9{,}81 \text{ m/s}^2 \cdot 10 \text{ m} \approx 0{,}98\) bar. Steigt die Blase auf, sinkt der Druck und sie dehnt sich aus.
\[(p_\mathrm{Luft} + \rho g h)\,V_\mathrm{unten} = p_\mathrm{Luft}\,V_\mathrm{oben}\]
Das Volumenverhältnis ist der Kehrwert des Druckverhältnisses: \(V_\mathrm{oben}/V_\mathrm{unten} = p_\mathrm{unten}/p_\mathrm{oben}\). Eine Blase von 2 cm³ in 20 m Tiefe steht unter knapp 3 bar. An der Oberfläche misst sie fast 6 cm³.
Rückwärts liefert das die Tiefe. Vervierfacht sich das Volumen, war der Gesamtdruck unten viermal so groß wie der Luftdruck. Der Wasseranteil beträgt dann \(3\,p_\mathrm{Luft}\), also \(h = 3 \cdot 1{,}013 \cdot 10^5 \text{ Pa} / (1000 \text{ kg/m}^3 \cdot 9{,}81 \text{ m/s}^2) \approx 31\) m. Ein häufiger Fehler ist, nur \(\rho g h\) statt des Gesamtdrucks einzusetzen.
Quiz
Aussage 1
Lässt man aus einem geschlossenen Tank Wasser ab, steigt der Druck des Luftpolsters darüber.
Das Luftvolumen wird größer, deshalb sinkt der Druck nach \(p_2 = p_1V_1/V_2\).
Aussage 2
In 10 m Wassertiefe wirkt auf eine Gasblase ein Gesamtdruck von etwa 1 bar.
Zum Schweredruck von etwa 1 bar kommt der Luftdruck von etwa 1 bar hinzu, der Gesamtdruck beträgt rund 2 bar.
Aussage 3
Bei gleichem Flaschenvolumen und gleicher Temperatur enthält eine Flasche mit doppeltem Fülldruck die doppelte Gasmasse.
Nach \(m = \rho_0 \cdot (p/p_0) \cdot V\) ist die Masse proportional zum Druck.
Aussage 4
Das Gas einer 20-L-Flasche mit 100 bar nimmt bei 1 bar und gleicher Temperatur etwa 2 m³ ein.
\(V_2 = 100 \text{ bar} \cdot 20 \text{ L} / 1 \text{ bar} = 2000\) L \(= 2\) m³.
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