Zentripetalkraft, Zentrifugalkraft und Kreisbahnen
Wie groß die Kraft auf einen Körper auf der Kreisbahn ist, wie man daraus die Beschleunigung in der Zentrifuge berechnet und warum ein geostationärer Satellit genau eine Bahnhöhe hat.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Zentripetalkraft ist die zum Mittelpunkt gerichtete äußere Kraft, ohne die keine Kreisbewegung möglich ist. Die Zentrifugalkraft ist die gleich große, nach außen gerichtete Trägheitskraft im mitrotierenden System.
- Ihr Betrag ist \(F_Z = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r\) mit \(\omega = 2\pi f\). Doppelte Drehzahl ergibt vierfache Kraft.
- Bei gleichem \(\omega\) erfährt ein Teilchen im doppelten Achsabstand die doppelte Zentrifugalkraft.
- Die Zentrifugalbeschleunigung \(a = \omega^2 r\) gibt man in der Zentrifuge als Vielfaches von g an (\(g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}\)).
- Bei Gleichgewicht von Zentrifugal- und Gewichtskraft gilt \(v = \sqrt{g r}\) und \(\omega = \sqrt{g/r}\).
- Ein geostationärer Satellit hat eine Umlaufdauer von 24 h. Seine Bahnhöhe hängt von Erdmasse und Erdrotation ab, nicht von der Satellitenmasse.
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Worum es geht
Jede Kreisbewegung braucht eine Kraft, die zum Mittelpunkt zeigt. Im mitrotierenden System erscheint sie als Zentrifugalkraft nach außen. Ihr Betrag erklärt, warum eine Laborzentrifuge Proben mit Tausenden g belastet und warum Satelliten auf festen Bahnen bleiben.
Zentripetalkraft
Ein Körper auf einer Kreisbahn ändert ständig seine Bewegungsrichtung. Nach dem Trägheitsprinzip geht das nur mit einer äußeren Kraft. Ohne sie würde der Schwerpunkt geradeaus weiterfliegen. Diese Kraft zeigt stets zum Kreismittelpunkt und heißt Zentripetalkraft. Ihr Betrag ist Masse mal Radialbeschleunigung: \(F_Z = m \cdot a_r\).
Die Zentripetalkraft ist keine eigene Kraftart. Eine vorhandene Kraft übernimmt ihre Rolle, etwa eine Seilkraft, die Gravitation oder die Reibung. Bei der Kurvenfahrt auf ebener Straße liefert die Haftreibung der Reifen die Zentripetalkraft. Sie wirkt horizontal zum Kurvenmittelpunkt und steht senkrecht auf der Gewichtskraft.
Ein Radfahrer legt sich deshalb in die Kurve. Man zerlegt seine Gewichtskraft in eine Komponente schräg entlang des geneigten Rads und eine horizontale Komponente. Die horizontale Komponente ist die Zentripetalkraft. Die Gewichtskraft ist also die Vektorsumme aus Zentripetalkraft und Komponente entlang des Rads. Je schneller und enger die Kurve, desto größer wird der Neigungswinkel α.
Betrag der Zentrifugalkraft
Im mitrotierenden System spürt man die Kreisbewegung als Kraft nach außen, etwa als Druck gegen die Autotür in der Kurve. Diese Trägheitskraft heißt Zentrifugalkraft. Sie ist genauso groß wie die Zentripetalkraft, zeigt aber vom Mittelpunkt weg. Ihren Betrag kann man über die Bahngeschwindigkeit oder über die Winkelgeschwindigkeit ausdrücken.
\[F_Z = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r \quad \text{mit} \quad \omega = 2\pi f\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F_Z\) | Zentrifugalkraft | N |
| \(m\) | Masse des Körpers | kg |
| \(v\) | Bahngeschwindigkeit | m/s |
| \(r\) | Abstand von der Drehachse | m |
| \(\omega\) | Winkelgeschwindigkeit | 1/s |
| \(f\) | Drehzahl, Frequenz | 1/s |
Beide Formen sind gleichwertig, weil \(v = \omega r\) gilt (siehe Bahngeschwindigkeit). Die Proportionalitäten liest man direkt ab:
- doppelte Masse, doppelte Kraft
- doppelter Radius bei gleichem \(\omega\), doppelte Kraft
- doppelte Drehzahl, vierfache Kraft, denn \(F_Z \propto \omega^2 \propto n^2\)
- dreifache Drehzahl, neunfache Kraft
Bei fester Bahngeschwindigkeit gilt dagegen \(F_Z \propto 1/r\). Welche Form passt, hängt also davon ab, ob \(v\) oder \(\omega\) gleich bleibt.
Zwei Zellen im selben Zentrifugenröhrchen überstreichen in gleicher Zeit denselben Winkel. Sie haben also dieselbe Winkelgeschwindigkeit. Die Zelle im doppelten Achsabstand hat aber die doppelte Bahngeschwindigkeit und erfährt die doppelte Zentrifugalkraft.
Ein Körper mit 0,5 kg liegt in einer Trommel mit 0,2 m Radius, die 600-mal pro Minute rotiert. Welche Kraft übt er auf die Wand aus?
- Drehzahl umrechnen: \(f = 600\,\mathrm{min^{-1}} = 10\,\mathrm{s^{-1}}\)
- Winkelgeschwindigkeit: \(\omega = 2\pi f \approx 62{,}8\,\mathrm{s^{-1}}\), also \(\omega^2 \approx 3950\,\mathrm{s^{-2}}\)
- Einsetzen: \(F_Z = 0{,}5\,\mathrm{kg} \cdot 3950\,\mathrm{s^{-2}} \cdot 0{,}2\,\mathrm{m} \approx 395\,\mathrm{N}\)
Die Formel \(F_Z = m \omega^2 r\) mit \(\omega = 2\pi f\) wird im Examen gerne gefragt. Achte darauf, aus der Drehzahl zuerst \(\omega\) zu bilden: Wer den Faktor \(2\pi\) vergisst, liegt wegen des Quadrats um rund das 40-Fache daneben.
Zentrifuge
In der Zentrifuge interessiert meist die Beschleunigung, denn sie gilt für jedes Teilchen unabhängig von seiner Masse. Teilt man \(F_Z\) durch \(m\), erhält man die Zentrifugalbeschleunigung. Sie hat denselben Betrag wie die Radialbeschleunigung:
\[a = \omega^2 r = \frac{v^2}{r}\]
Man gibt sie als Vielfaches der Fallbeschleunigung an, also als \(a/g\) mit \(g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}\). Die Angabe „5000 g“ bedeutet: Die Probe erfährt die 5000-fache Fallbeschleunigung. Wie das Teilchen absetzt, behandelt die Einheit zur Zentrifugation.
Ein Punkt sitzt 10 cm von der Drehachse entfernt, der Rotor läuft mit 6000 U/min.
- Einheiten: \(r = 0{,}1\,\mathrm{m}\), \(f = 6000/60\,\mathrm{s} = 100\,\mathrm{s^{-1}}\)
- Winkelgeschwindigkeit: \(\omega = 2\pi \cdot 100\,\mathrm{s^{-1}} \approx 628\,\mathrm{s^{-1}}\), also \(\omega^2 \approx 3{,}95 \cdot 10^5\,\mathrm{s^{-2}}\)
- Beschleunigung: \(a = 3{,}95 \cdot 10^5\,\mathrm{s^{-2}} \cdot 0{,}1\,\mathrm{m} \approx 3{,}95 \cdot 10^4\,\mathrm{m/s^2}\)
- Vielfaches von g: \(a/g \approx 3950\), also rund 4000 g
Die häufigsten Fehler liegen bei den Einheiten. Der Radius muss in Metern stehen. Drehzahlen in U/min teilt man durch 60, bevor man mit \(2\pi\) multipliziert.
Kreisbahnen im Schwerefeld
Ein Satellit bleibt auf einer Kreisbahn, wenn die Gravitation genau die nötige Zentripetalkraft liefert. Im mitbewegten System halten sich dann Gewichtskraft und Zentrifugalkraft das Gleichgewicht. Aus \(\frac{m v^2}{r} = m g\) bzw. \(m \omega^2 r = m g\) kürzt sich die Masse heraus:
\[v = \sqrt{g r} \qquad \omega = \sqrt{\frac{g}{r}}\]
Dabei ist \(g\) die Fallbeschleunigung am Ort der Bahn. Für eine erdnahe Bahn mit \(r \approx 6400\,\mathrm{km}\) und \(g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}\) folgt \(v = \sqrt{10\,\mathrm{m/s^2} \cdot 6{,}4 \cdot 10^6\,\mathrm{m}} = 8000\,\mathrm{m/s}\). Das sind rund 8 km/s.
Ein geostationärer Satellit steht scheinbar still über einem Punkt des Äquators. Er läuft mit der Erde mit: Seine Umlaufdauer beträgt 24 h, seine Winkelgeschwindigkeit gleicht der der Erdrotation. Den Bahnradius liefert das Gravitationsgesetz:
\[\frac{G M m}{r^2} = m \omega^2 r \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{G M}{\omega^2}\]
Hier ist \(M\) die Erdmasse und \(G\) die Gravitationskonstante. Die Satellitenmasse \(m\) kürzt sich heraus. Die Bahnhöhe hängt deshalb nur von der Erdmasse und der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ab. Ein schwerer Satellit fliegt auf derselben Bahn wie ein leichter, rund 42 000 km vom Erdmittelpunkt entfernt. Das entspricht etwa 35 800 km über der Oberfläche.
Quiz
Aussage 1
Die Umlaufdauer eines geostationären Satelliten beträgt 24 Stunden.
Er läuft mit der Erdrotation mit und hat deshalb dieselbe Winkelgeschwindigkeit wie die Erde, also eine Umlaufdauer von einem Tag.
Aussage 2
Ein geostationärer Satellit mit großer Masse muss auf einer niedrigeren Bahn kreisen als ein leichter.
Im Gleichgewicht \(\frac{G M m}{r^2} = m \omega^2 r\) kürzt sich die Satellitenmasse heraus. Die Bahnhöhe hängt nur von Erdmasse und Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ab.
Aussage 3
Ein Körper kann sich auch ohne äußere Kraft dauerhaft auf einer Kreisbahn bewegen, wenn er einmal in Schwung gebracht wurde.
Ohne äußere Kraft bewegt sich der Schwerpunkt geradlinig weiter. Eine Kreisbahn erfordert eine zum Mittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft.
Aussage 4
Von zwei Zellen im selben Zentrifugenröhrchen erfährt die Zelle im doppelten Achsabstand die halbe Zentrifugalkraft.
Beide haben dasselbe \(\omega\). Nach \(F_Z = m \omega^2 r\) erfährt die Zelle im doppelten Abstand die doppelte Zentrifugalkraft.
Aussage 5
Ein Punkt im Abstand 0,1 m von der Drehachse erfährt bei \(\omega = 100\,\mathrm{s^{-1}}\) eine Zentrifugalbeschleunigung von etwa 100 g.
\(a = \omega^2 r = 10^4\,\mathrm{s^{-2}} \cdot 0{,}1\,\mathrm{m} = 1000\,\mathrm{m/s^2}\). Geteilt durch \(g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}\) ergibt das rund 100 g.
Aussage 6
Wird die Drehzahl einer Zentrifuge verdoppelt, vervierfacht sich die Zentrifugalkraft auf die Probe.
Wegen \(F_Z = m \omega^2 r\) gilt \(F_Z \propto n^2\). Doppelte Drehzahl ergibt die vierfache Kraft.
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