Druckmessung mit dem U-Rohr-Manometer
Wie man aus der Spiegeldifferenz eines offenen U-Rohr-Manometers den Über- oder Unterdruck eines Gases bestimmt, auch mit Quecksilber und in mm Hg.
Das Wichtigste in Kürze
- Das U-Rohr-Manometer misst hydrostatisch den Differenzdruck eines Gases zum äußeren Luftdruck über die Höhendifferenz zweier Flüssigkeitsspiegel.
- Maßgeblich ist allein die Spiegeldifferenz: \(\Delta p = \rho g \Delta h\), unabhängig von Füllhöhe, Bodenabstand oder Lage des Bogens.
- Steht der offene Schenkel höher, herrscht Überdruck: \(p = p_\text{Luft} + \rho g \Delta h\). Steht der gasseitige Schenkel höher, herrscht Unterdruck mit Minuszeichen.
- \(1\,\mathrm{mm\,Hg} \approx 133\,\mathrm{Pa} = 1{,}33\,\mathrm{mbar}\), also \(p = p_\text{Luft} \pm \Delta h \cdot 1{,}33\,\mathrm{mbar/mm}\).
- Im einseitig verschlossenen U-Rohr ist der Druck oberhalb des Niveaus der offenen Oberfläche kleiner als der Luftdruck.
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Worum es geht
Das U-Rohr-Manometer zeigt einen Gasdruck als Höhenunterschied zweier Flüssigkeitsspiegel an. Es gehört zur Hydrostatik ruhender Fluide. In der Pharmazie begegnet es einem etwa an Vakuumapparaturen für Destillation oder Trocknung.
Manometer im Überblick
Ein Manometer misst den Druck eines Gases oder einer Flüssigkeit. Im Labor braucht man das beim Arbeiten unter vermindertem Druck oder an Druckgasflaschen. Gängig sind Flüssigkeitsmanometer wie das U-Rohr, Rohrfedermanometer mit gebogenem Metallrohr und elektronische Drucksensoren.
Man unterscheidet zwei Messgrößen. Der Absolutdruck bezieht sich auf das Vakuum. Der Differenzdruck ist der Unterschied zu einem Bezugsdruck, meist zum äußeren Luftdruck. Das offene U-Rohr-Manometer misst einen solchen Differenzdruck. Den Gasdruck selbst erhält man erst, wenn man den Luftdruck hinzunimmt, wie beim Gesamtdruck mit Luftdruck.
Messprinzip
Das U-Rohr-Manometer ist ein gebogenes Glasrohr, teilweise mit Quecksilber oder Wasser gefüllt. Ein Schenkel hängt am Gasgefäß, der andere ist offen. Es arbeitet rein hydrostatisch, also mit dem Schweredruck einer ruhenden Flüssigkeitssäule.
Legt man eine waagerechte Linie durch den tieferen Spiegel, herrscht auf dieser Höhe in beiden Schenkeln derselbe Druck. Alles darunter hebt sich auf. Übrig bleibt nur die überstehende Säule der Höhe \(\Delta h\):
\[\Delta p = \rho g \Delta h\]
Dabei ist \(\rho\) die Dichte der Manometerflüssigkeit in kg/m³, \(g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\) und \(\Delta h\) die Höhendifferenz der Spiegel in m. Die Höhe der Spiegel über dem Boden, die Füllmenge und die Lage des Bogens ändern an der Anzeige nichts. Anders als beim Bernoulli-Effekt strömt hier nichts, denn das Manometer misst im Gleichgewicht.
Überdruck und Unterdruck
Im offenen Schenkel drückt der Luftdruck auf die Flüssigkeit, im anderen der Gasdruck. Die Seite mit dem höheren Druck schiebt ihren Spiegel nach unten.
Überdruck ist ein Druck oberhalb des äußeren Luftdrucks, Unterdruck ein Druck darunter. Beide gibt man als Differenz zum Luftdruck an.
Am offenen Manometer liest man beide Fälle direkt ab:
- Offener Schenkel höher: Der Gasdruck liegt über dem Luftdruck, \(p = p_\text{Luft} + \rho g \Delta h\).
- Gasseitiger Schenkel höher: Der Gasdruck liegt darunter, \(p = p_\text{Luft} - \rho g \Delta h\).
Das Pluszeichen beim höheren offenen Schenkel wird im Examen gerne gefragt. Man kann es sich so vorstellen: Das Gas drückt seine Seite hinunter und schiebt die Flüssigkeit im offenen Schenkel hoch. Bei Unterdruck saugt es sie dagegen zu sich herauf.
Dasselbe Prinzip gilt, wenn ein Schenkel oben verschlossen ist. Bezugspunkt ist die offene Oberfläche, denn dort herrscht genau \(p_\text{Luft}\). Von dort rechnet man mit \(p = p_0 + \rho g h\), wobei \(h\) nach unten positiv zählt. Bei Wasser liegt ein Punkt 30 cm unter der offenen Oberfläche bei etwa \(p_\text{Luft} + 2{,}9\,\mathrm{kPa}\). Ein Punkt auf gleicher Höhe hat \(p_\text{Luft}\). Ein Punkt 15 cm darüber im geschlossenen Schenkel liegt bei etwa \(p_\text{Luft} - 1{,}5\,\mathrm{kPa}\). Oberhalb des offenen Niveaus ist der Druck im geschlossenen Schenkel also kleiner als der Luftdruck. Nur so bleibt die Säule dort stehen.
Quecksilbermanometer
Quecksilber hat eine hohe Dichte von 13 600 kg/m³. Schon kurze Säulen tragen deshalb große Druckunterschiede. Daher stammt die Einheit mm Hg (Millimeter Quecksilbersäule): der Schweredruck einer 1 mm hohen Quecksilbersäule.
\[1\,\mathrm{mm\,Hg} = 13\,600\,\mathrm{kg/m^3} \cdot 9{,}81\,\mathrm{m/s^2} \cdot 0{,}001\,\mathrm{m} \approx 133\,\mathrm{Pa} = 1{,}33\,\mathrm{mbar}\]
Damit wird die allgemeine Beziehung \(p = p_0 \pm \rho g \Delta h\) zur Rechenregel für das Hg-Manometer:
\[p = p_\text{Luft} \pm \Delta h \cdot 1{,}33\,\mathrm{mbar/mm}\]
Plus, wenn der offene Schenkel höher steht, minus, wenn der Gefäßschenkel höher steht. \(\Delta h\) in mm.
Ein Beispiel: Der Luftdruck beträgt 1010 mbar. Am Kolbenschenkel steht das Quecksilber bei 112 mm, im offenen Schenkel bei 157 mm.
- Ablesen: \(\Delta h = 157\,\mathrm{mm} - 112\,\mathrm{mm} = 45\,\mathrm{mm}\).
- Vorzeichen: Der offene Schenkel steht höher, also Überdruck und Plus.
- Umrechnen: \(45 \cdot 1{,}33\,\mathrm{mbar} \approx 60\,\mathrm{mbar} = 6{,}0\,\mathrm{kPa}\).
- Gasdruck: \(p \approx 1010\,\mathrm{mbar} + 60\,\mathrm{mbar} = 1070\,\mathrm{mbar}\).
Sind die Höhen vertauscht, steht also der Kolbenschenkel bei 157 mm, ergibt sich \(p \approx 1010 - 60 = 950\,\mathrm{mbar}\).
Den Gasdruck aus einer Manometerskizze zu berechnen, ist besonders prüfungsrelevant. Bilde immer die Differenz beider Spiegelhöhen, multipliziere mit 1,33 mbar/mm und wähle das Vorzeichen nach dem höheren Schenkel.
Quiz
Aussage 1
Steht das Quecksilber im offenen Schenkel 20 mm höher als im gefäßseitigen, liegt der Gasdruck etwa 27 mbar über dem Luftdruck.
Offener Schenkel höher bedeutet Plus: \(20 \cdot 1{,}33\,\mathrm{mbar} \approx 27\,\mathrm{mbar}\) Überdruck.
Aussage 2
Für die Anzeige eines U-Rohr-Manometers kommt es darauf an, wie hoch die Flüssigkeitsspiegel über dem tiefsten Punkt des Bogens stehen.
Unterhalb des tieferen Spiegels heben sich die Säulen auf. Maßgeblich ist nur die Höhendifferenz der beiden Spiegel.
Aussage 3
Steigt die Flüssigkeit im gasseitigen Schenkel über den Spiegel im offenen Schenkel, herrscht im Gefäß Überdruck.
Steht der gasseitige Schenkel höher, ist der Gasdruck kleiner als der Luftdruck. Es herrscht Unterdruck.
Aussage 4
Ein Punkt im verschlossenen Schenkel eines U-Rohrs, der höher liegt als die offene Wasseroberfläche, steht unter geringerem Druck als die Umgebungsluft.
An der offenen Oberfläche herrscht Luftdruck. Jeder Meter darüber verringert den Druck um \(\rho g h\).
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