Zehnerpotenzen, Logarithmen und Exponentialfunktion
Wie man mit Zehnerpotenzen, Prozent und Promille rechnet und Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus nach dem Exponenten auflöst.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz: \(\lg\) zur Basis 10, \(\ln\) zur Basis \(e\), und \(\ln x\) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion \(e^x\).
- 1 % entspricht \(10^{-2}\), 1 ‰ entspricht \(10^{-3}\); 165 je 100 000 sind daher 1,65 ‰, 2 000 je 100 000 sind 2 %.
- Verhältnisse von Zehnerpotenzen rechnet man über die Exponenten: \(10^{6}\) zu \(10^{10}\) ergibt \(10^{-4}\), das sind 8,64 s eines Tages.
- Bei \(N(t) = N_0 e^{Ct}\) ist die Verdopplungszeit \(t_\mathrm{d} = \ln 2 / C\); aus zwei Werten im Abstand eines Tages folgt \(C = \ln(N_2/N_1)\).
- Entlogarithmieren von \(\ln y = \ln y_0 - ax\) liefert \(y = y_0 \cdot e^{-ax}\).
- Mit \(L = 10 \cdot \lg(I/I_0)\) erhöht jede Verzehnfachung der Intensität den Pegel um 10 dB.
Worum es geht
Potenzen und Logarithmen sind das Rechenwerkzeug für alles, was über viele Größenordnungen reicht oder exponentiell wächst. In der Pharmazie begegnen sie dir bei Bakterienkulturen, Fallzahlen, Gehaltsangaben in Promille und beim Schallpegel.
Potenzen und Logarithmen
Eine Potenz \(a^n\) ist das Produkt aus \(n\) Faktoren \(a\). Für das Rechnen genügen drei Potenzgesetze:
- \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
- \(a^m / a^n = a^{m-n}\), daraus folgen \(a^{-n} = 1/a^n\) und \(a^0 = 1\)
- \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
Der Logarithmus kehrt die Potenz um. Er beantwortet die Frage, mit welchem Exponenten man die Basis potenzieren muss, um eine Zahl zu erhalten. Aus \(b^x = y\) folgt \(x = \log_b y\).
Zwei Basen brauchst du. Der dekadische Logarithmus \(\lg\) hat die Basis 10, etwa \(\lg 1000 = 3\) und \(\lg 0{,}01 = -2\). Der natürliche Logarithmus \(\ln\) hat die eulersche Zahl \(e \approx 2{,}718\) als Basis. Er ist die Umkehrung der Exponentialfunktion \(e^x\).
Die Logarithmengesetze machen aus Produkten Summen. Sie gelten für \(\lg\) und \(\ln\) gleichermaßen:
- \(\lg(x \cdot y) = \lg x + \lg y\)
- \(\lg(x / y) = \lg x - \lg y\)
- \(\lg(x^n) = n \cdot \lg x\)
Nützliche Werte sind \(\ln 2 \approx 0{,}693\), \(\lg 2 \approx 0{,}301\) und \(\ln 1 = \lg 1 = 0\). Weil sich \(e^x\) und \(\ln x\) gegenseitig aufheben, gilt \(\ln(e^x) = x\) und \(e^{\ln x} = x\). Ihre Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden \(y = x\). Die Exponentialkurve läuft durch (0|1), die Logarithmuskurve durch (1|0). Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
Zehnerpotenzen und Anteile
Anteile lassen sich direkt als Zehnerpotenzen schreiben. Prozent bedeutet „von Hundert“, also 1 % \(= 10^{-2}\). Promille bedeutet „von Tausend“, also 1 ‰ \(= 10^{-3}\).
Ein Promille ist ein Zehntel Prozent. Derselbe Anteil hat deshalb in Promille immer den zehnfachen Zahlenwert wie in Prozent.
Der Rechenweg ist immer gleich. Man teilt die Anzahl durch die Bezugsmenge und schreibt das Ergebnis als Zehnerpotenz. Dann liest man ab: Der Faktor vor \(10^{-3}\) ist der Promillewert, der Faktor vor \(10^{-2}\) der Prozentwert. Bei 450 Fällen je 100 000 Einwohner ergibt sich \(450 / 10^5 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}\), also 4,5 ‰ oder 0,45 % der Bevölkerung.
| Anzahl je 100 000 | Anteil | Promille | Prozent |
|---|---|---|---|
| 165 | \(1{,}65 \cdot 10^{-3}\) | 1,65 ‰ | 0,165 % |
| 450 | \(4{,}5 \cdot 10^{-3}\) | 4,5 ‰ | 0,45 % |
| 2 000 | \(2 \cdot 10^{-2}\) | 20 ‰ | 2 % |
Verhältnisse von Zehnerpotenzen rechnet man über die Exponenten. Ein Zeitraum von \(10^{6}\) Jahren verhält sich zu \(10^{10}\) Jahren wie \(10^{6-10} = 10^{-4}\). Überträgt man das auf einen Tag, braucht man dessen Dauer in Sekunden: \(24 \cdot 3600\ \mathrm{s} = 86\,400\ \mathrm{s} = 8{,}64 \cdot 10^{4}\ \mathrm{s}\). Der Anteil \(10^{-4}\) davon sind 8,64 s. Nach demselben Muster entspricht ein Verhältnis von \(10^{3}\) zu \(10^{9}\) dem Anteil \(10^{-6}\), also 0,0864 s eines Tages. Wie man Vorsätze wie Milli und Mikro einsetzt, steht bei den dezimalen Vorsilben.
Exponentielles Wachstum
Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn die Zunahme proportional zum Bestand ist. Beispiele sind Bakterien in der Vermehrungsphase oder die Fallzahlen am Beginn einer Epidemie. Die Exponentialfunktion beschreibt das:
\[N(t) = N_0 \cdot e^{C t}\]
Dabei ist \(N_0\) der Bestand bei \(t = 0\), \(t\) die Zeit und \(C\) die Wachstumsrate in 1/Zeit, etwa \(\mathrm{d^{-1}}\). Das Produkt \(Ct\) im Exponenten ist dimensionslos.
Die Verdopplungszeit \(t_\mathrm{d}\) ist die Zeit, nach der sich der Bestand verdoppelt hat. Sie hängt nicht vom Startwert ab. Von \(N_0\) bis \(2N_0\) dauert es genauso lange wie von \(4N_0\) bis \(8N_0\).
Die Formel für \(t_\mathrm{d}\) erhält man durch Logarithmieren:
- Ansatz: Nach \(t_\mathrm{d}\) gilt \(N_0 \cdot e^{C t_\mathrm{d}} = 2 N_0\).
- Kürzen: \(N_0\) fällt heraus, es bleibt \(e^{C t_\mathrm{d}} = 2\).
- Logarithmieren: \(\ln\) auf beide Seiten ergibt \(C t_\mathrm{d} = \ln 2\).
- Auflösen: Division durch \(C\) liefert die Verdopplungszeit.
\[t_\mathrm{d} = \frac{\ln 2}{C} \approx \frac{0{,}693}{C}\]
Auch die Rate selbst bestimmt man durch Logarithmieren. Für zwei Werte im Abstand \(t\) gilt \(N_2 = N_1 \cdot e^{Ct}\). Daraus folgt \(C = \ln(N_2/N_1)/t\). Liegen die Werte genau einen Tag auseinander, ist \(C = \ln(N_2/N_1)\) pro Tag. Steigt eine Kultur von 200 auf 300 Keime je Tag, ist \(C = \ln 1{,}5 \approx 0{,}405\ \mathrm{d^{-1}}\). Die Verdopplungszeit beträgt dann \(0{,}693/0{,}405 \approx 1{,}7\) Tage.
Manchmal muss man den umgekehrten Weg gehen und entlogarithmieren. Aus \(\ln y = \ln y_0 - a x\) wendet man die Exponentialfunktion auf beide Seiten an. Das ergibt \(y = e^{\ln y_0} \cdot e^{-ax} = y_0 \cdot e^{-ax}\), also eine exponentielle Abnahme. Diese Geradenform in \(\ln y\) nutzt man im halblogarithmischen Diagramm.
Pegelmaß Dezibel
Das Ohr verarbeitet Schallintensitäten über zwölf Zehnerpotenzen. Ein logarithmisches Maß staucht diesen Bereich auf handliche Zahlen. Der Schallstärkepegel ist definiert als
\[L = 10 \cdot \lg\frac{I}{I_0}\ \mathrm{dB}\]
Dabei ist \(L\) der Pegel in Dezibel, \(I\) die Intensität in \(\mathrm{W/m^2}\) und \(I_0 = 10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}\) die Hörschwelle. Die Physik des Schalls behandeln die Kenngrößen von Wellen.
Verzehnfacht man die Intensität, hilft das erste Logarithmengesetz: \(\lg(10 \cdot x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x\). Der Pegel steigt also um \(10 \cdot 1 =\) 10 dB. Die Skala zeigt das über den ganzen Hörbereich: \(10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}\) entsprechen 0 dB, \(1\ \mathrm{W/m^2}\) entspricht 120 dB.
Für einen neuen Pegel addiert man \(10 \cdot \lg\) des Faktors zum alten Pegel. Bei 50 dB und tausendfacher Intensität gilt \(\lg 1000 = 3\), der Pegel steigt um 30 dB auf 80 dB. Eine Verdopplung bringt nur \(10 \cdot \lg 2 \approx 3\) dB mehr.
Quiz
Aussage 1
Ein Anteil von 3 ‰ entspricht 0,03 %.
Ein Promille ist ein Zehntel Prozent. 3 ‰ \(= 3 \cdot 10^{-3}\) entsprechen 0,3 %.
Aussage 2
Wird die Schallintensität verhundertfacht, steigt der Schallstärkepegel um 20 dB.
\(10 \cdot \lg 100 = 10 \cdot 2 = 20\) dB.
Aussage 3
Bei \(N(t) = N_0 e^{Ct}\) ist die Verdopplungszeit \(\ln 2 / C\) und hängt nicht vom Startwert \(N_0\) ab.
Aus \(e^{C t_\mathrm{d}} = 2\) folgt \(t_\mathrm{d} = \ln 2 / C\), denn \(N_0\) kürzt sich heraus.
Aussage 4
2 000 Fälle auf 100 000 Einwohner lassen sich als \(2 \cdot 10^{-2}\) oder als 20 ‰ angeben.
\(2000 / 10^5 = 2 \cdot 10^{-2}\), das sind 2 % oder 20 ‰.
Aussage 5
Wächst eine Keimzahl exponentiell innerhalb eines Tages von \(N_1\) auf \(N_2\), beträgt die Rate \(C = N_2/N_1\) pro Tag.
Aus \(N_2 = N_1 e^{C \cdot 1\,\mathrm{d}}\) folgt durch Logarithmieren \(C = \ln(N_2/N_1)\) pro Tag.
Aussage 6
Aus \(\ln y = \ln y_0 - ax\) folgt durch Entlogarithmieren \(y = y_0 - e^{ax}\).
Die Summe im Exponenten wird zum Produkt: \(y = e^{\ln y_0} \cdot e^{-ax} = y_0 \cdot e^{-ax}\).
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