Satz von Avogadro, Stoffmenge und Gasdichte
Wie die Stoffmenge Druck und Volumen eines idealen Gases bestimmt, warum gleiche Gasvolumina gleich viele Teilchen enthalten und wie die Gasdichte von Molmasse, Druck und Temperatur abhängt.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Satz von Avogadro besagt: Gleiche Volumina idealer Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche Stoffmenge, unabhängig von der Gasart.
- Bei konstantem \(V\) und \(T\) gilt \(p \sim n\), bei konstantem \(p\) und \(T\) gilt \(V \sim n\). Der Druck ist proportional zur Konzentration: \(p = cRT\). Bei der Ammoniaksynthese halbiert sich das Gasvolumen isobar-isotherm.
- Die Teilchendichte \(N/V = p/(k_\mathrm{B}T)\) hängt nur von Druck und Temperatur ab, nicht von der Molmasse. Es gilt \(N_\mathrm{A} = R/k_\mathrm{B} = F/e\) mit \(R\) in \(\mathrm{J/(mol \cdot K)}\).
- Die Gasdichte \(\rho = pM/(RT)\) ist bei gleichem \(p\) und \(T\) proportional zur Molmasse. Sauerstoff ist dichter als Stickstoff und nimmt bei gleicher Masse ein kleineres Volumen ein.
- Isotherm gilt \(\rho \sim p\), isobar sinkt die Dichte mit steigender Temperatur, isochor bleibt sie konstant. Bei isothermer Kompression nimmt das molare Volumen ab.
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Worum es geht
Die Gasgleichung enthält neben Druck, Volumen und Temperatur auch die Stoffmenge. Aus ihr folgen der Satz von Avogadro und eine einfache Formel für die Gasdichte. Beides braucht man für Gasvolumina bei Reaktionen, für Druckgasflaschen und für jede Abschätzung, ob ein Gas leichter oder schwerer als Luft ist.
Abhängigkeit von der Stoffmenge
Die allgemeine Gasgleichung \(pV = nRT\) ist bekannt. Hier geht es um die Rolle der Stoffmenge \(n\). Bei fester Temperatur wächst das Produkt \(pV\) proportional mit \(n\). Je nachdem, was man zusätzlich konstant hält, folgt daraus ein einfacher Zusammenhang:
- \(V\) und \(T\) konstant: \(p \sim n\). Pumpt man Gas in eine starre Flasche nach, steigt der Druck. Doppelte Stoffmenge, doppelter Druck.
- \(p\) und \(T\) konstant: \(V \sim n\). Ein Gefäß mit beweglichem Kolben dehnt sich aus, wenn Gas hinzukommt.
Teilt man die Gasgleichung durch \(V\), erscheint die Stoffmengenkonzentration \(c = n/V\):
\[p = cRT\]
Der Druck ist also proportional zur Konzentration. Man kann sich das wie Hagel auf einem Dach vorstellen: Je mehr Teilchen in einem Volumen stecken, desto mehr Stöße treffen die Wand.
Chemische Reaktionen können die Stoffmenge an Gas ändern. Bei der Ammoniaksynthese entstehen aus 4 mol Gas nur 2 mol:
\[\ce{N2 + 3H2 -> 2NH3}\]
Läuft die Reaktion isobar und isotherm ab, halbiert sich deshalb das Gasvolumen. Der Kolben sinkt auf die halbe Höhe.
Satz von Avogadro
Aus \(V \sim n\) folgt direkt der Satz von Avogadro: Gleiche Volumina idealer Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche Stoffmenge. Die Gasart spielt keine Rolle. Im idealen Gas zählt nur die Zahl der Teilchen, nicht ihre Größe oder Masse. Deshalb ist auch das molare Volumen \(V_\mathrm{m} = V/n = RT/p\) bei gleichem \(p\) und \(T\) für alle Gase gleich, für reale Gase zumindest näherungsweise. Seinen Wert unter Normbedingungen nutzt das molare Normvolumen.
Will man Teilchen statt Mol zählen, setzt man \(n = N/N_\mathrm{A}\) ein. Die Boltzmann-Konstante \(k_\mathrm{B}\) ist die Gaskonstante je Teilchen statt je Mol. Damit wird aus der Gasgleichung \(pV = Nk_\mathrm{B}T\). Die Teilchendichte \(N/V\) gibt an, wie viele Teilchen pro Volumen vorliegen (Einheit \(\mathrm{m^{-3}}\)):
\[\frac{N}{V} = \frac{p}{k_\mathrm{B}T}\]
Rechts stehen nur \(p\) und \(T\). Bei gegebenem Druck und gegebener Temperatur hat also jedes ideale Gas dieselbe Teilchendichte, unabhängig von seiner Molmasse. Ein Liter Wasserstoff und ein Liter Xenon enthalten gleich viele Teilchen. Das Xenon ist trotzdem rund 65-mal schwerer, denn \(131/2 \approx 65\).
Der Satz von Avogadro wird im Examen gerne gefragt: Bei gleichem \(p\) und \(T\) haben alle idealen Gase dieselbe Teilchendichte und dasselbe molare Volumen. Achte darauf, dass die Molmasse nur die Massendichte verändert, nie die Teilchenzahl.
Die Avogadro-Konstante verknüpft Teilchen- und Molgrößen. Sie ergibt sich als Quotient aus Gaskonstante und Boltzmann-Konstante, \(N_\mathrm{A} = R/k_\mathrm{B}\). Ebenso gilt \(N_\mathrm{A} = F/e\), denn die Faraday-Konstante ist die Ladung von einem Mol Elementarladungen.
| Konstante | Wert | Einheit | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| \(N_\mathrm{A}\) | \(\approx 6{,}022 \cdot 10^{23}\) | \(\mathrm{mol^{-1}}\) | Teilchen je Mol |
| \(R\) | \(8{,}314\) | \(\mathrm{J/(mol \cdot K)}\) | Gaskonstante je Mol |
| \(k_\mathrm{B}\) | \(\approx 1{,}381 \cdot 10^{-23}\) | \(\mathrm{J/K}\) | Gaskonstante je Teilchen |
| \(F\) | \(\approx 96\,485\) | \(\mathrm{C/mol}\) | Ladung je Mol Elementarladungen |
Gasdichte verschiedener Gase
Die Gasdichte ist die Masse pro Volumen, \(\rho = m/V\). Setzt man \(n = m/M\) in die Gasgleichung ein, erhält man \(pV = \frac{m}{M}RT\). Aufgelöst nach \(m/V\) folgt:
\[\rho = \frac{pM}{RT}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\rho\) | Gasdichte | \(\mathrm{kg/m^3}\) |
| \(p\) | Druck | \(\mathrm{Pa}\) |
| \(M\) | molare Masse | \(\mathrm{kg/mol}\) |
| \(R\) | Gaskonstante | \(\mathrm{J/(mol \cdot K)}\) |
| \(T\) | absolute Temperatur | \(\mathrm{K}\) |
Bei gleichem \(p\) und \(T\) ist die Dichte also proportional zur Molmasse. Gleich viele Teilchen wiegen eben mehr, wenn jedes einzelne schwerer ist. Sauerstoff (\(M = 32\) g/mol) ist deshalb um den Faktor \(32/28 \approx 1{,}14\) dichter als Stickstoff (\(M = 28\) g/mol).
Umgekehrt gilt für gleiche Massen \(V \sim 1/M\). Gleiche Massen verschiedener Gase oder Dämpfe enthalten unterschiedliche Stoffmengen und nehmen daher unterschiedliche Volumina ein. Bei gleicher Masse füllt Sauerstoff ein kleineres Volumen als Stickstoff. Auch die Teilchenzahl ist dann verschieden.
- Aufgabe: Je 1 g Kohlendioxid (\(M = 44\) g/mol) und Methan (\(M = 16\) g/mol) bei 100 kPa und 300 K. Gesucht sind Dichten und Volumina.
- Dichte CO₂: \(\rho = \frac{100\,000\,\mathrm{Pa} \cdot 0{,}044\,\mathrm{kg/mol}}{8{,}314\,\mathrm{J/(mol \cdot K)} \cdot 300\,\mathrm{K}} \approx 1{,}76\,\mathrm{kg/m^3}\).
- Dichte CH₄: mit \(0{,}016\) kg/mol analog \(\rho \approx 0{,}64\,\mathrm{kg/m^3}\). Das Verhältnis entspricht \(44/16 = 2{,}75\).
- Volumina: \(V = m/\rho\) ergibt für 1 g CO₂ etwa 0,57 L und für 1 g CH₄ etwa 1,56 L. Das leichtere Gas braucht bei gleicher Masse mehr Platz.
Typische Fehler: Die Temperatur muss in Kelvin stehen. Setzt man \(M\) in g/mol statt kg/mol ein, erhält man die Dichte in \(\mathrm{g/m^3}\). Der Druck gehört in Pascal.
Gasdichte bei Zustandsänderungen
Für eine eingeschlossene Gasmenge bleibt die Masse konstant. Die Dichte hängt dann nur vom Volumen ab. Bei Kompression nimmt sie zu, bei Expansion ab. Dehnt sich ein Gas auf das doppelte Volumen aus, sinkt seine Dichte auf die Hälfte. Die molare Masse ändert sich dabei nicht, sie ist eine Stoffeigenschaft.
Die Formel \(\rho = pM/(RT)\) zeigt die drei Grundfälle:
- Isotherm: \(\rho \sim p\). Doppelter Druck, doppelte Dichte, wie es auch aus Boyle-Mariotte folgt.
- Isobar: \(\rho \sim 1/T\). Bei Erwärmung dehnt sich das Gas nach Gay-Lussac aus, die Dichte nimmt ab. Deshalb steigt warme Luft auf.
- Isochor: Masse und Volumen bleiben gleich, also bleibt auch die Dichte konstant.
Als Regel gilt: Mit steigender Temperatur nimmt die Dichte eines Gases ab, zumindest nicht zu. Den isochoren Fall muss man davon getrennt sehen.
Erwärmt man ein Gas in einem starren, geschlossenen Gefäß, steigt nach Amontons der Druck. Die Dichte bleibt trotzdem gleich, weil sich weder Masse noch Volumen ändern.
Auch das molare Volumen \(V_\mathrm{m} = RT/p\) reagiert auf den Druck. Bei isothermer Kompression nimmt es ab, denn ein Mol Gas wird in einen kleineren Raum gedrängt.
Quiz
Aussage 1
Verdoppelt man in einem starren Gefäß bei konstanter Temperatur die Stoffmenge eines idealen Gases, verdoppelt sich der Druck.
Bei konstantem \(V\) und \(T\) folgt aus \(pV = nRT\) direkt \(p \sim n\).
Aussage 2
Erwärmt man eine Gasmenge in einem starren, geschlossenen Behälter, bleibt ihre Dichte konstant.
Masse und Volumen ändern sich nicht, also bleibt \(\rho = m/V\) gleich. Nur der Druck steigt.
Aussage 3
Bei isothermer Kompression eines idealen Gases bleibt das molare Volumen unverändert.
Wegen \(V_\mathrm{m} = RT/p\) nimmt das molare Volumen bei steigendem Druck und konstanter Temperatur ab.
Aussage 4
Die Avogadro-Konstante lässt sich als Quotient aus allgemeiner Gaskonstante und Boltzmann-Konstante berechnen.
\(k_\mathrm{B}\) ist die Gaskonstante je Teilchen, daher gilt \(N_\mathrm{A} = R/k_\mathrm{B}\).
Aussage 5
Ein Liter Xenon enthält bei gleichem Druck und gleicher Temperatur weniger Teilchen als ein Liter Wasserstoff, weil Xenonatome schwerer sind.
Die Teilchendichte \(N/V = p/(k_\mathrm{B}T)\) ist unabhängig von der Molmasse. Beide Gase enthalten gleich viele Teilchen, Xenon ist nur schwerer.
Aussage 6
Bei gleicher Masse, gleichem Druck und gleicher Temperatur nimmt Sauerstoff ein größeres Volumen ein als Stickstoff.
Bei gleicher Masse gilt \(V \sim 1/M\). Sauerstoff hat die größere Molmasse und nimmt deshalb das kleinere Volumen ein.
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