Exponentialfunktionen im halblogarithmischen Diagramm
Wie man Exponentialfunktionen auf halblogarithmischem Papier als Gerade darstellt und aus Achsenabschnitt und Steigung die Funktionsgleichung zurückgewinnt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die halblogarithmische Darstellung hat eine logarithmische y-Achse und eine lineare x-Achse und macht Exponentialfunktionen zu Geraden (Linearisierung).
- Auf einer logarithmischen Skala ist jede Dekade gleich lang, gleiche Abstände bedeuten gleiche Faktoren.
- Im doppelt-logarithmischen Diagramm werden Potenzfunktionen zu Geraden, Exponentialfunktionen bleiben gekrümmt.
- \(y = 10^x\) hat bei \(\lg y\) gegen \(x\) die Steigung 1, bei \(\ln y\) gegen \(x\) die Steigung \(\ln 10 \approx 2{,}3\).
- Aus einer Geraden folgt \(y = y_0 \cdot 10^{mx}\): Achsenabschnitt gleich Anfangswert, Steigung als Dekaden pro Einheit von \(x\).
- Für \(\eta = a \cdot e^{b/T}\) ergibt \(\ln \eta\) gegen \(1/T\) eine Gerade mit Steigung \(b\).
Worum es geht
Exponentielle Vorgänge wie die Elimination eines Arzneistoffs aus dem Plasma oder der radioaktive Zerfall ergeben bei linearen Achsen gekrümmte Kurven. Mit einer logarithmisch geteilten y-Achse werden daraus Geraden, aus denen man Anfangswert und Abklingkonstante direkt abliest. Diese Auswertung gehört zum Handwerkszeug jeder Messreihe in Physik, Analytik und Pharmakokinetik.
Logarithmische Skalen
Auf einer logarithmischen Skala steht jeder Wert an der Stelle seines Logarithmus. Gleiche Abstände bedeuten deshalb gleiche Faktoren, nicht gleiche Differenzen. Jede Dekade (1 bis 10, 10 bis 100, 100 bis 1000) ist gleich lang.
Innerhalb einer Dekade rücken die Teilstriche nach oben zusammen. Die 2 liegt bei etwa 30 % der Dekade, weil \(\lg 2 \approx 0{,}30\) ist. Die 5 liegt bei etwa 70 %. Eine Null kommt auf dieser Achse nicht vor, denn \(\lg 0\) ist nicht definiert.
Man kann sich die Achse wie ein Lineal vorstellen, das in Faktoren misst. Eine Verdopplung von 3 auf 6 ist genauso lang wie eine von 300 auf 600. Darauf beruht die Linearisierung.
Eine nichtlineare Funktion wird durch Umformen der Achsengrößen, meist durch Logarithmieren, so aufgetragen, dass ihre Punkte auf einer Geraden liegen. Aus Steigung und Achsenabschnitt dieser Geraden folgen die Parameter der Funktion.
In der halblogarithmischen Darstellung, auch einfach-logarithmisch genannt, ist nur die y-Achse logarithmisch geteilt. Die x-Achse bleibt linear. In der doppelt-logarithmischen Darstellung sind beide Achsen logarithmisch. Welcher Funktionstyp wo zur Geraden wird, zeigt die Tabelle.
| Funktionstyp | Beispiel | Gerade bei |
|---|---|---|
| Lineare Funktion | \(y = mx + b\) | beiden Achsen linear |
| Exponentialfunktion | \(y = y_0\,e^{kx}\) | y logarithmisch, x linear |
| Potenzfunktion | \(y = a\,x^n\) | beiden Achsen logarithmisch |
Die Potenzfunktionen behandelt die Einheit zum doppelt-logarithmischen Diagramm.
Exponentialfunktion als Gerade
Warum gerade die halblogarithmische Darstellung? Logarithmiert man \(y = y_0\,e^{-kx}\) mit den Logarithmengesetzen, entsteht:
\[\ln y = \ln y_0 - k\,x\]
Das ist eine Geradengleichung. \(\ln y\) hängt linear von \(x\) selbst ab, nicht von \(\ln x\). Also braucht man eine logarithmische y-Achse und eine lineare x-Achse. Das Papier übernimmt das Logarithmieren: Man trägt \(y\) direkt ein, und die Lage entspricht seinem Logarithmus.
Für eine wachsende Funktion \(y = y_0\,e^{kx}\) steigt die Gerade, für eine abklingende fällt sie. Umgekehrt gehört jede fallende Gerade im halblogarithmischen Diagramm zu einer Funktion \(y = y_0\,e^{-ax}\) mit \(a > 0\).
Anders als Potenzfunktionen bleibt die Exponentialfunktion im doppelt-logarithmischen Diagramm gekrümmt. Dort müsste \(\ln y\) linear von \(\ln x\) abhängen, was hier nicht gilt. Bei linearen Achsen ist sie ohnehin eine Kurve. Die Abbildung zeigt dieselbe Funktion \(y = 100\,e^{-0{,}5x}\) in allen drei Darstellungen.
Sollst du aus mehreren Achsenteilungen die richtige wählen, prüfe nur zwei Dinge: Ist die y-Achse logarithmisch und die x-Achse linear? Nur dann wird ein exponentieller Abfall zur Geraden. Eine quadratisch geteilte Achse linearisiert Funktionen wie \(y = a\,x^2\), aber keine Exponentialfunktion.
Basis 10 und Basis e
Mit dem Zehnerlogarithmus wird \(y = 10^x\) besonders einfach, denn \(\lg y = x\). Trägt man \(\lg y\) gegen \(x\) auf, entsteht eine Ursprungsgerade mit Steigung 1. Auf einer logarithmisch geteilten y-Achse liest man dagegen \(y\) selbst ab. Dort geht die Gerade bei \(x = 0\) durch \(y = 1\), weil \(10^0 = 1\).
Zehnerpotenzen lassen sich in e-Funktionen umschreiben, weil \(10 = e^{\ln 10}\) gilt:
\[10^x = e^{x\ln 10} \qquad 10^{-x} = e^{-x\ln 10}\]
Die Steigung hängt vom gewählten Logarithmus ab. Für \(y = 10^x\) ist sie bei \(\lg y\) gegen \(x\) gleich 1, bei \(\ln y\) gegen \(x\) gleich \(\ln 10 \approx 2{,}3\).
Beide Geraden beschreiben dieselbe Funktion. Beim Auswählen korrekter Darstellungen achtest du also auf die Achsenbeschriftung: \(\lg\) oder \(\ln\), Wert oder Logarithmus.
Funktion aus der Geraden
Der Rückweg ist die eigentliche Auswertung. Eine Gerade im halblogarithmischen Diagramm gehorcht \(\lg y = \lg y_0 + m\,x\). Daraus folgt durch Potenzieren \(y = y_0 \cdot 10^{mx}\). Die Steigung \(m\) bedeutet: Pro Einheit von \(x\) ändert sich \(y\) um den Faktor \(10^m\).
Liegt die Gleichung schon logarithmiert vor, etwa \(\lg y = 2 - 0{,}5\,x\), entsteht so direkt \(y = 100 \cdot 10^{-0{,}5x}\). Bei einer Messkurve liest man die beiden Größen ab, hier am Beispiel einer Plasmakonzentration.
- Achsenabschnitt: Bei \(t = 0\) zeigt die logarithmische Achse direkt den Anfangswert \(c_0 = 80\) mg/L.
- Dekaden zählen: Von 80 auf 0,8 mg/L fällt die Gerade um zwei Dekaden in 8 h. Die Steigung in \(\lg c\) ist also \(m = -2/8\ \text{h} = -0{,}25\ \text{h}^{-1}\).
- Gleichung aufstellen: \(c(t) = 80\ \text{mg/L} \cdot 10^{-0{,}25\,t/\text{h}}\).
- Deuten: Pro Stunde sinkt \(c\) auf \(10^{-0{,}25} \approx 0{,}56\), also auf 56 %. In e-Form ist die Abklingkonstante \(k = 0{,}25 \cdot \ln 10 \approx 0{,}58\ \text{h}^{-1}\).
Radioaktiver Zerfall
Die Aktivität \(A\) einer Probe ist proportional zur Zahl \(N\) der noch nicht zerfallenen Kerne: \(A = \lambda N\). Nimmt \(N\) exponentiell ab, tut das auch \(A\) mit derselben Zerfallskonstante. Das Zerfallsgesetz selbst wird dort erklärt.
Trägt man \(\lg(A/A_0)\) linear gegen die Zeit auf, erhält man eine fallende Ursprungsgerade. Bei \(t = 0\) ist \(A/A_0 = 1\) und \(\lg 1 = 0\). Werte vom halblogarithmischen Papier überträgt man so: \(A/A_0 = 0{,}1\) liegt bei \(-1\), \(A/A_0 = 0{,}01\) bei \(-2\).
Ein Abfall auf 1/100 entspricht zwei Zehnerpotenzen. Man sucht also die Zeit, nach der die Gerade zwei Dekaden unter dem Startwert liegt. Bei einer Halbwertszeit von 6 h sind das etwa 6,6 Halbwertszeiten, rund 40 h. Da \(A\) und \(N\) proportional sind, liest man dieselbe Dauer auch aus einem Diagramm der Kernanzahl ab.
Auftragung gegen 1/T
Manche Größen hängen exponentiell vom Kehrwert der absoluten Temperatur ab. Ein Beispiel ist die Viskosität von Flüssigkeiten: \(\eta = a \cdot e^{b/T}\). Logarithmieren macht daraus eine Geradengleichung:
\[\ln \eta = \ln a + b \cdot \frac{1}{T}\]
Auf die x-Achse kommt also \(1/T\) in \(\text{K}^{-1}\), auf die y-Achse \(\ln \eta\). Die Steigung ist \(b\) in Kelvin, der Achsenabschnitt \(\ln a\). Steht die Funktion als \(\eta = e^{a + b/T}\) da, liefert der Achsenabschnitt direkt \(a\).
Das Vorzeichen der Steigung verrät das Vorzeichen im Exponenten. Eine Gerade mit positiver Steigung gehört zu \(z = a \cdot e^{b/T}\) mit positiven Konstanten. Die Größe nimmt dann mit steigender Temperatur ab, wie die Viskosität. Eine Form \(\eta_0 \cdot \exp(-B/T)\) ergäbe eine fallende Gerade mit Steigung \(-B\).
In der Abbildung liegen die Punkte (3,0; −0,6) und (3,4; 0,2), mit \(1/T\) in \(10^{-3}\ \text{K}^{-1}\). Die Steigung beträgt \(b = 0{,}8 / (0{,}4 \cdot 10^{-3}\ \text{K}^{-1}) = 2000\) K.
Quiz
Aussage 1
Die Aktivität eines radioaktiven Präparats ist proportional zur Zahl der noch nicht zerfallenen Kerne.
Es gilt \(A = \lambda N\), daher nimmt \(A\) mit derselben Zerfallskonstante ab wie \(N\).
Aussage 2
Fällt eine halblogarithmische Gerade von 80 mg/L bei \(t = 0\) auf 0,8 mg/L bei \(t = 8\) h, gilt \(c(t) = 80\ \text{mg/L} \cdot 10^{-0{,}25\,t/\text{h}}\).
Zwei Dekaden in 8 h ergeben die Steigung \(-0{,}25\ \text{h}^{-1}\) in \(\lg c\), der Achsenabschnitt liefert 80 mg/L.
Aussage 3
Eine Exponentialfunktion \(y = y_0\,e^{-kx}\) erscheint im doppelt-logarithmischen Diagramm als fallende Gerade.
Doppelt-logarithmisch bleibt sie gekrümmt. Eine Gerade ergibt sie nur halblogarithmisch, also mit logarithmischer y-Achse und linearer x-Achse.
Aussage 4
Trägt man für \(y = 10^x\) den natürlichen Logarithmus \(\ln y\) gegen \(x\) auf, erhält man eine Gerade mit der Steigung 1.
Wegen \(10^x = e^{x\ln 10}\) beträgt die Steigung \(\ln 10 \approx 2{,}3\). Die Steigung 1 gilt nur für \(\lg y\) gegen \(x\).
Aussage 5
Eine Gerade mit positiver Steigung in der Auftragung \(\ln z\) gegen \(1/T\) gehört zu \(z = a \cdot e^{-b/T}\) mit positivem \(b\).
Aus \(\ln z = \ln a + b \cdot 1/T\) mit positiver Steigung folgt \(z = a \cdot e^{b/T}\) mit positiven Konstanten.
Aussage 6
Auf einer logarithmisch geteilten Achse ist der Abstand von 1 bis 10 genauso groß wie der von 10 bis 100.
Jede Dekade ist gleich lang, weil gleiche Abstände gleichen Faktoren entsprechen.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.