Winkelgeschwindigkeit, Umlaufdauer und Drehzahl
Wie man Drehbewegungen mit Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit, Umlaufdauer und Drehzahl beschreibt und diese Größen ineinander umrechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) beschreibt, wie schnell sich der Drehwinkel im Bogenmaß ändert: \(\omega = d\varphi/dt\), die Steigung im Winkel-Zeit-Diagramm.
- Ein linear ansteigender Drehwinkel bedeutet konstante Winkelgeschwindigkeit; Gradangaben rechnet man mit \(360^\circ = 2\pi\) um.
- Es gilt \(\omega = 2\pi/T = 2\pi n\) und \(T = 1/n\); \(2\pi n\) heißt auch Kreisfrequenz.
- Die Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig vom Radius und hat die Einheit \(\mathrm{s^{-1}}\) (rad/s).
- Umdrehungen pro Minute erst durch 60 teilen; der Stundenzeiger hat \(T = 43200\,\mathrm{s}\) und \(\omega \approx 1{,}45\cdot10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}\).
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Worum es geht
Drehbewegungen beschreibt man mit eigenen Größen, die denen der geradlinigen Bewegung entsprechen. Für das Rechnen mit Zentrifugen braucht man vor allem eine Umrechnung: von Umdrehungen pro Minute in die Winkelgeschwindigkeit.
Beschreibung von Drehbewegungen
Bei einer Drehung bewegt sich jeder Punkt eines Körpers auf einem Kreis um die Drehachse. Wie weit er sich gedreht hat, gibt der Drehwinkel \(\varphi\) an. Man misst ihn im Bogenmaß, also als Verhältnis von Bogenlänge \(b\) zu Radius \(r\): \(\varphi = b/r\). Eine volle Umdrehung entspricht \(2\pi\), eine halbe \(\pi\).
Meter geteilt durch Meter ergibt eine reine Zahl. Die Einheit rad darf man dazuschreiben, muss es aber nicht.
Dreht sich ein Körper gleichmäßig, liegt eine gleichförmige Kreisbewegung vor. Man beschreibt sie wie eine geradlinige Bewegung. Der Drehwinkel übernimmt die Rolle des Weges, die Winkelgeschwindigkeit die Rolle der Geschwindigkeit.
Winkelgeschwindigkeit
Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) gibt an, wie schnell sich der Drehwinkel ändert. Sie ist die zeitliche Ableitung des Drehwinkels, so wie die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges ist:
\[\omega = \frac{d\varphi}{dt} \approx \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}\]
Im Winkel-Zeit-Diagramm ist \(\omega\) deshalb die Steigung. Steigt der Winkel linear mit der Zeit, ist \(\omega\) konstant. Eine flachere Gerade bedeutet eine langsamere Drehung, eine waagerechte Linie Stillstand.
Ist die Winkelachse in Grad beschriftet, rechnet man zuerst ins Bogenmaß um: \(360^\circ = 2\pi\). Im Diagramm überstreicht der Körper 270° in 6 s. Das sind drei Viertel einer Umdrehung, also \(3\pi/2\). Daraus folgt \(\omega = \frac{3\pi/2}{6\,\mathrm{s}} = \frac{\pi}{4}\,\mathrm{s^{-1}} \approx 0{,}79\,\mathrm{s^{-1}}\).
Umlaufdauer und Drehzahl
Die Umlaufdauer \(T\) ist die Zeit für eine volle Umdrehung. Die Drehzahl \(n\) zählt die Umdrehungen pro Zeit und ist ihr Kehrwert. In einer Umlaufdauer überstreicht der Körper genau \(2\pi\). Daraus folgt:
\[\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi n \qquad T = \frac{1}{n}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\omega\) | Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz | \(\mathrm{s^{-1}}\) (rad/s) |
| \(T\) | Umlaufdauer, Periodendauer | s |
| \(n\) | Drehzahl, Drehfrequenz \(f\) | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
Das Produkt \(2\pi n\) heißt auch Kreisfrequenz. Schreibt man die Drehfrequenz als \(f\), gilt gleichbedeutend \(\omega = 2\pi f\). Doppelte Drehzahl ergibt doppelte Winkelgeschwindigkeit, doppelte Umlaufdauer die halbe.
Der Radius kommt in der Formel nicht vor. Alle Punkte einer Scheibe überstreichen in gleicher Zeit denselben Winkel. Außen legen sie nur den längeren Weg zurück. Diesen Weg pro Zeit beschreibt die Bahngeschwindigkeit in m/s.
Für das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten von Mond und Erde braucht man daher keine Bahnradien. Mit rund einem Monat für den Mondumlauf und einem Jahr für den Erdumlauf gilt \(\omega_\text{Mond}/\omega_\text{Erde} = T_\text{Erde}/T_\text{Mond} \approx 12\).
Die Umrechnung mit \(\omega = 2\pi n\) wird im Examen gerne gefragt. Teile Umdrehungen pro Minute zuerst durch 60, damit \(\omega\) in \(\mathrm{s^{-1}}\) herauskommt.
Eine Handzentrifuge zeigt den Rechenweg. Die Kurbel dreht mit 90 Umdrehungen pro Minute, das Getriebe übersetzt 1 : 5 ins Schnelle.
- Drehzahl der Zentrifuge: \(n_2 = 5\,n_1 = 450\,\mathrm{min^{-1}}\).
- Auf Sekunden umrechnen: \(n_2 = 450/60\,\mathrm{s^{-1}} = 7{,}5\,\mathrm{s^{-1}}\).
- Umlaufdauer: \(T = 1/n_2 \approx 0{,}13\,\mathrm{s}\).
- Winkelgeschwindigkeit: \(\omega = 2\pi n_2 \approx 47\,\mathrm{s^{-1}}\).
Uhrzeiger
Bei Uhrzeigern kennt man die Umlaufdauern. Man rechnet also nur \(n = 1/T\) und \(\omega = 2\pi/T\).
| Zeiger | \(T\) | \(n\) | \(\omega\) |
|---|---|---|---|
| Sekundenzeiger | 60 s | \(1{,}7\cdot10^{-2}\,\mathrm{s^{-1}}\) | \(\approx 0{,}1\,\mathrm{rad/s}\) |
| Minutenzeiger | 3600 s | \(2{,}8\cdot10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}\) | \(\approx 0{,}1\,\mathrm{rad/min}\) |
| Stundenzeiger | 12 h = 43200 s | \(2{,}3\cdot10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}\) | \(1{,}45\cdot10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}\) |
Ohne den Faktor \(2\pi\) erhält man die Drehzahl statt der Winkelgeschwindigkeit. Der Stundenzeiger dreht sich in 12 h einmal, nicht in 24 h. Die Einheit von \(\omega\) ist \(\mathrm{s^{-1}}\), nie m/s.
Quiz
Aussage 1
Eine Zentrifuge mit 3000 Umdrehungen pro Minute hat eine Winkelgeschwindigkeit von etwa \(314\,\mathrm{s^{-1}}\).
3000 pro Minute sind \(n = 50\,\mathrm{s^{-1}}\). Mit \(\omega = 2\pi n\) folgt \(\omega \approx 314\,\mathrm{s^{-1}}\).
Aussage 2
Die Winkelgeschwindigkeit des Stundenzeigers erhält man, indem man \(2\pi\) durch 24 h teilt.
Der Stundenzeiger dreht sich in 12 h = 43200 s einmal. Richtig ist \(\omega = 2\pi/43200\,\mathrm{s} \approx 1{,}45\cdot10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}\).
Aussage 3
Auf einer rotierenden Scheibe hat ein Punkt am Rand eine größere Winkelgeschwindigkeit als ein Punkt nahe der Achse.
Beide überstreichen in gleicher Zeit denselben Winkel und haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit. Größer ist am Rand nur die Bahngeschwindigkeit.
Aussage 4
Verläuft der Drehwinkel im Winkel-Zeit-Diagramm als ansteigende Gerade, ist die Winkelgeschwindigkeit konstant.
Die Winkelgeschwindigkeit ist die Steigung des Winkel-Zeit-Verlaufs. Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung.
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