Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Wie Geschwindigkeit und Weg bei konstanter Beschleunigung von der Zeit abhängen, wie man damit rechnet und welche Diagramme dazu gehören.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung hat eine zeitlich konstante Beschleunigung, die Geschwindigkeit ändert sich in gleichen Zeiten um gleiche Beträge.
- Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz \(v = v_0 + a \cdot t\) ist linear, aus der Ruhe gilt \(v = a \cdot t\) als Ursprungsgerade im v-t-Diagramm.
- Beim Bremsen folgt die Bremszeit aus \(t = v_0/|a|\), Geschwindigkeiten in km/h vorher durch 3,6 teilen.
- Das Weg-Zeit-Gesetz \(s = \frac{1}{2} a t^2\) ist quadratisch: doppelte Zeit, vierfacher Weg; das s-t-Diagramm ist ein Parabelast mit waagerechter Anfangstangente.
- Nach oben gekrümmte s-t-Kurve bedeutet positive, nach unten gekrümmte negative Beschleunigung.
- Die mittlere Geschwindigkeit ist \((v_0 + v)/2\), aus der Ruhe \(\bar v = \frac{1}{2} a t\), und gleich der Momentangeschwindigkeit in der Intervallmitte.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Bei konstanter Beschleunigung gelten zwei einfache Gesetze: Die Geschwindigkeit wächst linear mit der Zeit, der Weg quadratisch. Sie beschreiben anfahrende und bremsende Fahrzeuge ebenso wie den freien Fall. Auf ihnen bauen später Dynamik, Energiesätze und Wurfbewegungen auf.
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
Eine Bewegung ist gleichmäßig beschleunigt, wenn ihre Beschleunigung konstant bleibt. Wie man Beschleunigung definiert und aus Diagrammen abliest, steht bei Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bewegungsdiagrammen. Hier geht es um die Gesetze, die daraus folgen.
Geradlinige Bewegung mit zeitlich konstanter Beschleunigung \(a \neq 0\). Die Geschwindigkeit ändert sich in gleichen Zeitabschnitten um gleiche Beträge.
Konstante Beschleunigung heißt: In jeder Sekunde kommt derselbe Geschwindigkeitszuwachs hinzu. Bei \(a = 2\) m/s² wird ein Körper jede Sekunde um 2 m/s schneller. Die Geschwindigkeit wächst deshalb linear mit der Zeit. Das beschreibt das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz.
\[v = v_0 + a \cdot t\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(v\) | Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t\) | m/s |
| \(v_0\) | Anfangsgeschwindigkeit bei \(t = 0\) | m/s |
| \(a\) | konstante Beschleunigung | m/s² |
| \(t\) | seit dem Start vergangene Zeit | s |
Drei Grenzfälle
Startet der Körper aus der Ruhe, ist \(v_0 = 0\). Es bleibt \(v = a \cdot t\). Im v-t-Diagramm ist das eine Ursprungsgerade, ihre Steigung ist die Beschleunigung. Doppelte Zeit bedeutet doppelte Geschwindigkeit. Am Ende eines Zeitintervalls ist die Geschwindigkeit deshalb am größten.
Mit Anfangsgeschwindigkeit beginnt die Gerade bei \(v_0\) auf der Geschwindigkeitsachse. Bei gleicher Beschleunigung verläuft sie parallel zur Ursprungsgeraden.
Beim Bremsen ist \(a\) negativ, man spricht von Verzögerung. Die Gerade fällt und trifft bei Stillstand die Zeitachse. Setzt man \(v = 0\), folgt die Bremszeit \(t = v_0/|a|\). Umgekehrt ergibt sich die Verzögerung aus Anfangsgeschwindigkeit und Bremszeit als \(a = \Delta v/\Delta t\).
Der freie Fall ist ein Sonderfall mit \(a = g\). Aus der Ruhe gilt \(v = g \cdot t\), die Fallgeschwindigkeit ist also proportional zur Fallzeit. Mehr dazu bei Freier Fall und Wurfbewegungen.
Kraft und v-t-Diagramm
Eine konstante Kraft erzeugt nach dem Grundgesetz der Dynamik eine konstante Beschleunigung. Die Geschwindigkeitskomponente in Kraftrichtung wächst dann linear mit der Zeit. Wirkt keine Kraft, bleibt die Geschwindigkeit konstant. Kräftefreie Phasen erscheinen im v-t-Diagramm daher als waagerechte Linien, eine Phase konstanter Kraft als schräge Gerade. An den Übergängen hat der Verlauf Knicke.
Examensklassiker: Bei konstanter Beschleunigung wächst die Geschwindigkeit linear mit der Zeit, aus der Ruhe als Ursprungsgerade \(v = a \cdot t\). Quadratisch mit der Zeit wächst nur der Weg.
Rechnen mit km/h
Ein Auto fährt mit 72 km/h und bremst gleichmäßig mit 4 m/s². Wie lange dauert es bis zum Stillstand?
- Umrechnen: \(72 \text{ km/h} : 3{,}6 = 20\) m/s.
- Ansatz: Bei Stillstand ist \(v = 0\), also \(0 = v_0 - |a| \cdot t\).
- Auflösen: \(t = v_0/|a| = (20 \text{ m/s})/(4 \text{ m/s}^2) = 5\) s.
Nach demselben Muster rechnet man die Beschleunigungsdauer. Ein Fahrzeug soll aus dem Stand mit 2,5 m/s² auf 90 km/h kommen. Mit 25 m/s folgt \(t = v/a = 10\) s. Nach 4 s hätte es erst 10 m/s erreicht. Mit Anfangsgeschwindigkeit addiert man \(v_0\): Wer mit 5 m/s startet und 6 s lang mit 1,5 m/s² beschleunigt, fährt danach \(5 + 9 = 14\) m/s.
km/h vor dem Rechnen durch 3,6 teilen, sonst passen die Werte nicht zu m/s². Beim Bremsen die Verzögerung negativ einsetzen oder mit ihrem Betrag wie oben rechnen.
Weg-Zeit-Gesetz
Weil die Geschwindigkeit stetig wächst, legt der Körper in jeder Sekunde mehr Weg zurück als in der vorherigen. Der Weg wächst deshalb schneller als linear, nämlich quadratisch mit der Zeit. Für den Start aus der Ruhe lautet das Weg-Zeit-Gesetz:
\[s = \frac{1}{2} a \cdot t^2\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(s\) | bis zur Zeit \(t\) zurückgelegter Weg | m |
| \(a\) | konstante Beschleunigung | m/s² |
| \(t\) | seit dem Start vergangene Zeit | s |
Den Faktor ½ macht man sich an der Fläche unter der v-t-Geraden klar. Diese Fläche ist der Weg. Aus der Ruhe ist sie ein Dreieck mit Grundseite \(t\) und Höhe \(a \cdot t\), ihr Inhalt ist \(\frac{1}{2} \cdot t \cdot at\). Hat der Körper schon \(v_0\), kommt das Rechteck \(v_0 t\) hinzu: \(s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\).
Proportionalitäten und Rechenbeispiel
Doppelte Zeit bedeutet vierfachen Weg, dreifache Zeit neunfachen Weg. Die Wege nach 1, 2 und 3 Sekunden stehen im Verhältnis 1 : 4 : 9. Ein Körper beschleunigt aus der Ruhe mit 3 m/s².
- Formel wählen: Start aus der Ruhe, also \(s = \frac{1}{2} a t^2\).
- Weg nach 2 s: \(s = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ m/s}^2 \cdot (2 \text{ s})^2 = 6\) m.
- Weg nach 4 s: \(s = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ m/s}^2 \cdot (4 \text{ s})^2 = 24\) m, also das Vierfache.
Typische Fehler sind ein vergessener Faktor ½ und eine nicht quadrierte Zeit. Die fehlende Quadrierung verrät sich an der Einheit: Nur m/s² mal s² ergibt Meter.
Form der Kurve
Die Steigung im s-t-Diagramm ist die Geschwindigkeit. Aus der Ruhe ist sie zu Beginn null. Die Kurve startet deshalb mit waagerechter Tangente und wird dann immer steiler. Es entsteht ein Parabelast. Beim freien Fall aus der Ruhe gilt dasselbe mit \(s = \frac{1}{2} g t^2\). Der Fallweg wächst also mit dem Quadrat der Fallzeit.
Die Krümmung verrät das Vorzeichen der Beschleunigung. Ist die Kurve nach oben gekrümmt, wird der Körper schneller und \(a\) ist positiv. Ist sie nach unten gekrümmt, wird er langsamer und \(a\) ist negativ.
Ein Beispiel für negative Beschleunigung ist der senkrechte Wurf nach oben. Mit \(a = -g\) gilt \(s = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2\). Der Körper ist wieder am Startpunkt, wenn \(s = 0\) ist. Daraus folgt die Flugzeit \(t = 2 v_0/g\), umgestellt \(v_0 = g \cdot t/2\).
Drei Diagramme, eine Bewegung
Zu einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhe gehören drei passende Bilder. Das a-t-Diagramm ist eine Waagerechte oberhalb der Zeitachse. Das v-t-Diagramm ist eine Ursprungsgerade. Das s-t-Diagramm ist ein Parabelast mit waagerechter Anfangstangente. Ein Dauerbrenner im Examen ist genau diese Zuordnung von Waagerechte, Ursprungsgerade und Parabel. Eine Skala braucht man dafür nicht: Man prüft Form, Startpunkt und Krümmung.
Mittelwert bei konstanter Beschleunigung
Die mittlere Geschwindigkeit ist der Gesamtweg geteilt durch die Gesamtzeit, wie bei der gleichförmigen Bewegung eingeführt. Bei konstanter Beschleunigung wächst \(v\) linear. Der Mittelwert ist dann das arithmetische Mittel aus Anfangs- und Endgeschwindigkeit:
\[\bar v = \frac{v_0 + v}{2}\]
Aus der Ruhe ist \(v_0 = 0\). Die mittlere Geschwindigkeit ist dann halb so groß wie die Endgeschwindigkeit. Die Beziehung \(\bar v = \frac{1}{2} a t\) wird im Examen gerne gefragt, achte auf den Faktor ½ gegenüber \(v = a \cdot t\). Herleiten lässt sie sich direkt aus dem Weg-Zeit-Gesetz:
- Weg: \(s = \frac{1}{2} a t^2\).
- Durch die Zeit teilen: \(\bar v = s/t = \frac{1}{2} a t^2/t\).
- Kürzen: \(\bar v = \frac{1}{2} a t = \frac{1}{2} v\).
Mittelwert und Momentanwert
Die mittlere Geschwindigkeit wird genau in der Intervallmitte erreicht. Zur Zeit \(t/2\) gilt \(v_0 + a \cdot t/2\), und das ist gleich \((v_0 + v)/2\). Im v-t-Diagramm schneidet die Waagerechte bei \(\bar v\) die Gerade also zur halben Zeit. Was die Gerade in der ersten Hälfte unter dem Mittelwert bleibt, holt sie in der zweiten Hälfte darüber auf. Die beiden Dreiecke sind gleich groß, die Fläche unter der Waagerechten ist also derselbe Weg.
Ein Zahlenbeispiel: Ein Körper beschleunigt 8 s lang aus der Ruhe mit 2,5 m/s². Seine Endgeschwindigkeit ist 20 m/s, die mittlere Geschwindigkeit 10 m/s. Genau diese 10 m/s hat er nach 4 s. Der Weg ist \(10 \text{ m/s} \cdot 8 \text{ s} = 80\) m, wie auch \(\frac{1}{2} \cdot 2{,}5 \cdot 64\) m ergibt. Das einfache Mitteln gilt nur, solange die Beschleunigung konstant ist.
Quiz
Aussage 1
Bei konstanter Beschleunigung nimmt die Geschwindigkeit mit dem Quadrat der Zeit zu.
Die Geschwindigkeit wächst linear mit der Zeit, \(v = v_0 + a \cdot t\). Quadratisch wächst nur der Weg.
Aussage 2
Bei gleichmäßiger Beschleunigung aus der Ruhe ist die mittlere Geschwindigkeit halb so groß wie die Endgeschwindigkeit und wird zur halben Zeit erreicht.
Es gilt \(\bar v = \frac{1}{2} a t = \frac{1}{2} v\), und \(a \cdot t/2\) ist genau die Momentangeschwindigkeit zur Zeit \(t/2\).
Aussage 3
Im v-t-Diagramm erscheint eine kräftefreie Bewegungsphase als schräg ansteigende Gerade.
Ohne Kraft bleibt die Geschwindigkeit konstant, die Linie verläuft waagerecht. Schräg steigt sie nur bei konstanter Kraft.
Aussage 4
Ein Auto mit 54 km/h, das gleichmäßig mit 3 m/s² bremst, steht nach 5 s still.
54 km/h sind 15 m/s, also \(t = v_0/|a| = 15/3\) s \(= 5\) s.
Aussage 5
Eine nach unten gekrümmte Kurve im s-t-Diagramm zeigt eine positive Beschleunigung an.
Nach unten gekrümmt bedeutet, dass der Körper langsamer wird, die Beschleunigung ist negativ. Positiv ist sie bei nach oben gekrümmter Kurve.
Aussage 6
Beschleunigt ein Körper gleichmäßig aus der Ruhe, verdoppelt sich seine Geschwindigkeit, wenn sich die Beschleunigungsdauer verdoppelt.
Aus der Ruhe gilt \(v = a \cdot t\), die Geschwindigkeit ist proportional zur Zeit.
Aussage 7
Das s-t-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhe beginnt mit waagerechter Tangente.
Die Steigung im s-t-Diagramm ist die Geschwindigkeit, und die ist beim Start aus der Ruhe null.
Aussage 8
Wird die Zeit verdreifacht, legt ein gleichmäßig aus der Ruhe beschleunigter Körper den dreifachen Weg zurück.
Nach \(s = \frac{1}{2} a t^2\) wächst der Weg quadratisch: dreifache Zeit ergibt den neunfachen Weg.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.