Stempeldruck und hydraulische Presse
Wie ein Kolben in einer eingeschlossenen Flüssigkeit Druck erzeugt und wie die hydraulische Presse daraus eine große Kraft macht.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Stempeldruck ist der Druck, den ein Kolben in einer eingeschlossenen Flüssigkeit erzeugt: Kolbenkraft durch Kolbenfläche, \(p = F/A\).
- Umgestellt gilt \(F = p \cdot A\); Flächen vorher in \(\mathrm{m^2}\) umrechnen (\(1\,\mathrm{cm^2} = 10^{-4}\,\mathrm{m^2}\), \(1\,\mathrm{bar} = 10^{5}\,\mathrm{Pa}\)).
- In der hydraulischen Presse herrscht an Pump- und Arbeitskolben derselbe Druck, die Kräfte verhalten sich wie die Flächen: \(F_\mathrm{P}/A_\mathrm{P} = F_\mathrm{A}/A_\mathrm{A}\).
- Die übertragene Kraft hängt nicht vom Abstand der Kolben ab.
- Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Durchmessers: zehnfacher Durchmesser ergibt hundertfache Kraft.
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Worum es geht
Drückt man auf den Kolben einer Spritze, entsteht in der Flüssigkeit ein Druck, der sich gleichmäßig ausbreitet. Die hydraulische Presse nutzt das, um mit kleiner Kraft große Kräfte zu erzeugen. Das Rechnen mit Kolbenflächen und Durchmessern gehört zur Mechanik ruhender Fluide.
Stempeldruck
Drückt ein Kolben mit der Kraft \(F\) auf eine eingeschlossene Flüssigkeit, entsteht der Stempeldruck. Er ist wie jeder Druck Kraft pro Fläche: \(p = F/A\). Dabei ist \(A\) die Querschnittsfläche des Kolbens. Flüssigkeiten lassen sich kaum zusammendrücken, deshalb wirkt der Stempeldruck überall gleich stark und senkrecht auf jede Wand.
Umgestellt liefert die Formel die Kraft, die ein Kolben bei gegebenem Druck aufbringen muss: \(F = p \cdot A\). Genauso bestimmt man den Druck, den ein Hubstempel für eine bestimmte Last braucht. Rechne Flächen immer zuerst in \(\mathrm{m^2}\) um, denn \(1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N/m^2}\).
Beispiel: Auf den Kolben einer Spritze mit \(1{,}5\,\mathrm{cm^2}\) Querschnitt wirken \(15\,\mathrm{N}\).
- Fläche umrechnen: \(1\,\mathrm{cm^2} = 10^{-4}\,\mathrm{m^2}\), also \(A = 1{,}5 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2}\).
- Druck berechnen: \(p = 15\,\mathrm{N} / (1{,}5 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2}) = 1{,}0 \cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\).
- In bar umrechnen: \(1\,\mathrm{bar} = 10^{5}\,\mathrm{Pa}\), also \(p = 1{,}0\,\mathrm{bar}\).
Hydraulische Presse
Eine hydraulische Presse verbindet zwei flüssigkeitsgefüllte Zylinder. Auf den kleinen Pumpkolben drückt man, der große Arbeitskolben hebt oder presst die Last. Der Stempeldruck breitet sich in der eingeschlossenen Flüssigkeit unverändert aus. An beiden Kolben herrscht also derselbe Druck.
\[\frac{F_\mathrm{P}}{A_\mathrm{P}} = \frac{F_\mathrm{A}}{A_\mathrm{A}} \quad\Rightarrow\quad F_\mathrm{A} = F_\mathrm{P} \cdot \frac{A_\mathrm{A}}{A_\mathrm{P}}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F_\mathrm{P}\), \(F_\mathrm{A}\) | Kraft am Pump- bzw. Arbeitskolben | N |
| \(A_\mathrm{P}\), \(A_\mathrm{A}\) | Fläche von Pump- bzw. Arbeitskolben | \(\mathrm{m^2}\) |
Gleicher Druck heißt nicht gleiche Kraft. Bei verschieden großen Kolben sind die Kräfte verschieden: Doppelte Fläche des Arbeitskolbens, doppelte Kraft. Der Abstand zwischen den Kolben spielt keine Rolle. Den Preis zahlt der Pumpkolben mit einem längeren Weg, mehr dazu bei Arbeit und Hubarbeit.
Rechnen mit Durchmessern
Die Kreisfläche \(A = \pi d^2/4\) wächst mit dem Quadrat des Durchmessers. Das Kraftverhältnis ist daher \((d_\mathrm{A}/d_\mathrm{P})^2\). Doppelter Durchmesser ergibt vierfache Kraft, zehnfacher Durchmesser hundertfache Kraft.
\[F_\mathrm{A} = F_\mathrm{P} \cdot \left(\frac{d_\mathrm{A}}{d_\mathrm{P}}\right)^2\]
Beispiel: Pumpkolben \(2\,\mathrm{cm}\), Arbeitskolben \(12\,\mathrm{cm}\) Durchmesser, \(F_\mathrm{P} = 50\,\mathrm{N}\).
- Verhältnis bilden: \(12\,\mathrm{cm} / 2\,\mathrm{cm} = 6\). Gleiche Einheiten kürzen sich, umrechnen ist unnötig.
- Quadrieren: \(6^2 = 36\).
- Kraft berechnen: \(F_\mathrm{A} = 50\,\mathrm{N} \cdot 36 = 1800\,\mathrm{N}\).
Rückwärts geht es ebenso: Für \(3600\,\mathrm{N}\) am Arbeitskolben braucht der Pumpkolben \(3600\,\mathrm{N}/36 = 100\,\mathrm{N}\). Typische Fehler sind ein vergessenes Quadrat und ein umgedrehter Bruch. Zur Kontrolle: Der größere Kolben trägt immer die größere Kraft.
Quiz
Aussage 1
Verdreifacht man bei gleicher Pumpkolbenkraft den Durchmesser des Arbeitskolbens, steigt die Kraft am Arbeitskolben auf das Neunfache.
Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Durchmessers, also \(3^2 = 9\). Die Kraft wächst im selben Verhältnis wie die Fläche.
Aussage 2
Wirken auf einen Kolben mit \(2\,\mathrm{cm^2}\) Querschnitt \(20\,\mathrm{N}\), beträgt der Stempeldruck \(1\,\mathrm{bar}\).
\(p = 20\,\mathrm{N} / (2 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2}) = 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{bar}\).
Aussage 3
In einer hydraulischen Presse ist der Druck am großen Arbeitskolben größer als am kleinen Pumpkolben.
Der Druck ist in der eingeschlossenen Flüssigkeit an beiden Kolben gleich. Verschieden sind nur die Kräfte, weil die Flächen verschieden sind.
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