Volumenausdehnung von Flüssigkeiten und Festkörpern
Wie stark sich Flüssigkeiten und feste Körper beim Erwärmen ausdehnen, wie man das berechnet und warum \(\gamma \approx 3\alpha\) gilt.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Volumenausdehnungskoeffizient \(\gamma\) (Einheit 1/K) gibt die relative Volumenänderung eines Stoffes pro Kelvin Temperaturänderung an.
- In linearer Näherung gilt \(\Delta V = \gamma V_0 \Delta T\): Der Zuwachs ist proportional zu Anfangsvolumen und Temperaturänderung, beim Abkühlen wird \(\Delta V\) bei positivem \(\gamma\) negativ.
- In einer Kapillare steigt die Säule um \(\Delta l = \gamma V \Delta T / A\), also umso stärker, je kleiner der Querschnitt \(A\) ist.
- Bei gleichmäßiger Erwärmung verbundener Gefäße strömt Flüssigkeit vom Gefäß mit großem \(V/A\) in das mit kleinem \(V/A\), etwa vom Kolben zum Trichter.
- Für isotrope Festkörper gilt \(\gamma \approx 3\alpha\), die relative Volumenänderung ist etwa dreimal die relative Längenänderung.
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Worum es geht
Fast alle Stoffe brauchen beim Erwärmen mehr Platz. Der Volumenausdehnungskoeffizient beschreibt, wie viel mehr. Man braucht ihn für Flüssigkeitsthermometer, für Messkolben, die bei einer bestimmten Temperatur geeicht sind, und für das Abschätzen von Volumenänderungen fester Körper.
Volumenausdehnung von Flüssigkeiten
Wird eine Flüssigkeit erwärmt, bewegen sich ihre Teilchen heftiger und beanspruchen mehr Platz. Ihr Volumen nimmt deshalb in der Regel zu. Wie stark, beschreibt der Volumenausdehnungskoeffizient \(\gamma\). Er gibt die relative Volumenänderung pro Kelvin an.
\[\Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\Delta V\) | Volumenänderung | wie \(V_0\) |
| \(\gamma\) | Volumenausdehnungskoeffizient | 1/K |
| \(V_0\) | Anfangsvolumen | m³, L oder mL |
| \(\Delta T\) | Temperaturänderung | K |
Die Formel ist eine lineare Näherung. Sie gilt gut, solange \(\gamma \Delta T\) klein gegen 1 bleibt. Der Zuwachs ist proportional zum Anfangsvolumen und zur Temperaturänderung: doppeltes Volumen, doppelter Zuwachs. Beim Abkühlen ist \(\Delta T\) negativ. Bei positivem \(\gamma\) wird dann auch \(\Delta V\) negativ, das Volumen nimmt ab. Wasser zwischen 0 °C und 4 °C verhält sich anders, siehe Dichteanomalie.
Beispiel: 200 mL Ethanol mit \(\gamma \approx 1{,}1 \cdot 10^{-3}\) 1/K werden von 15 °C auf 30 °C erwärmt.
- Temperaturdifferenz: \(\Delta T = 15\) K, denn eine Differenz in °C ist gleich der in K (Temperaturskalen).
- Einsetzen: \(\Delta V = 1{,}1 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}} \cdot 200\,\mathrm{mL} \cdot 15\,\mathrm{K}\).
- Ergebnis: \(\Delta V = 3{,}3\) mL, das Endvolumen beträgt 203,3 mL.
Typische Fehler: Wer das Endvolumen sucht, muss \(\Delta V\) noch zu \(V_0\) addieren. Die Kelvin kürzen sich, \(\Delta V\) trägt die Einheit von \(V_0\).
Kapillaren und Gefäße
Im Flüssigkeitsthermometer dehnt sich die Flüssigkeit im großen Vorratsgefäß aus. Das Zusatzvolumen \(\gamma V \Delta T\) kann nur in die enge Kapillare ausweichen. Dort verteilt es sich auf den Querschnitt \(A\) und hebt die Säule an:
\[\Delta l = \frac{\gamma \, V \, \Delta T}{A}\]
Bei gleichem Volumenzuwachs steigt der Spiegel umso stärker, je kleiner der Querschnitt ist. Halber Querschnitt bedeutet doppelten Anstieg. Eine Zahl dazu: 500 mm³ Quecksilber mit \(\gamma \approx 1{,}8 \cdot 10^{-4}\) 1/K werden um 1 K erwärmt. Das ergibt 0,09 mm³ Zusatzvolumen. In einer Kapillare mit 0,02 mm² Querschnitt steigt die Säule damit um 4,5 mm. Die Ausdehnung des Glases verringert den Anstieg etwas und wird hier vernachlässigt.
Dasselbe Prinzip gilt für verbundene Gefäße. Sind beide gleich hoch gefüllt und werden gleichmäßig erwärmt, würde jeder Spiegel für sich um \(\gamma V \Delta T / A\) steigen. Im Gefäß mit großem Verhältnis \(V/A\) steigt er stärker. Deshalb strömt Flüssigkeit von dort in das Gefäß mit kleinem \(V/A\). Ein bauchiger Kolben mit engem Hals hat viel Volumen unter wenig Oberfläche, ein Trichter das Umgekehrte. Die Strömung läuft also vom Kolben zum Trichter.
Volumenausdehnung fester Körper
Feste Körper dehnen sich in alle Raumrichtungen aus. Für jede Kante gilt \(\Delta l / l = \alpha \Delta T\) mit dem Längenausdehnungskoeffizienten \(\alpha\). Ist der Körper homogen und isotrop, wächst jede Kante um denselben Anteil. Für einen Würfel gilt dann \(V' = l^3 (1 + \alpha \Delta T)^3\). Weil \(\alpha \Delta T\) sehr klein ist, fallen dessen Quadrat und Kubus praktisch weg:
\[\frac{\Delta V}{V} \approx 3\,\frac{\Delta l}{l} = 3\alpha\,\Delta T\]
Man kann sich das wie drei dünne Platten der Dicke \(\Delta l\) vorstellen, die auf drei Würfelseiten liegen. Jede hat das Volumen \(l^2 \Delta l\). Die Kanten- und Eckstücke sind so winzig, dass man sie vernachlässigt.
Drei Raumrichtungen, Faktor drei: Für isotrope Festkörper gilt \(\gamma \approx 3\alpha\).
Beispiel: Ein Aluminiumwürfel mit 10 cm Kante und \(\alpha \approx 2{,}3 \cdot 10^{-5}\) 1/K wird um 50 K erwärmt. Die Kante wächst relativ um \(1{,}15 \cdot 10^{-3}\), das Volumen um das Dreifache, also \(3{,}45 \cdot 10^{-3}\). Bei 1000 cm³ sind das etwa 3,5 cm³. Ein häufiger Fehler ist, mit \(\alpha^3\) statt mit \(3\alpha\) zu rechnen.
Quiz
Aussage 1
Werden zwei verbundene, gleich hoch gefüllte Gefäße gleichmäßig erwärmt, fließt Flüssigkeit in das Gefäß mit dem größeren Verhältnis von Volumen zu Oberfläche.
Im Gefäß mit großem \(V/A\) würde der Spiegel stärker steigen. Die Flüssigkeit fließt deshalb von dort in das Gefäß mit kleinem \(V/A\).
Aussage 2
Bei gleichem Vorratsvolumen und gleicher Erwärmung steigt die Säule in einer engeren Thermometerkapillare weniger hoch.
Wegen \(\Delta l = \gamma V \Delta T / A\) steigt die Säule bei kleinerem Querschnitt stärker an.
Aussage 3
Halbiert man bei gleichem Anfangsvolumen die Temperaturerhöhung einer Flüssigkeit, halbiert sich in linearer Näherung auch ihre Volumenzunahme.
Nach \(\Delta V = \gamma V_0 \Delta T\) ist \(\Delta V\) proportional zu \(\Delta T\).
Aussage 4
Wächst jede Kante eines isotropen Metallwürfels beim Erwärmen relativ um 0,1 %, so nimmt sein Volumen um etwa 0,3 % zu.
Bei kleiner Dehnung gilt \(\Delta V / V \approx 3\,\Delta l / l\), also \(\gamma \approx 3\alpha\).
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