Feldstärke, Flussdichte und magnetischer Fluss
Magnetische Feldstärke, Flussdichte und Fluss mit ihren Einheiten, das Feld der langen Spule und der Fluss durch eine Leiterschleife in Abhängigkeit von ihrer Stellung.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Magnetfeld wird durch die Feldstärke \(H\) in A/m, die Flussdichte \(B\) in Tesla und den Fluss \(\Phi\) in Weber beschrieben.
- Es gilt \(B = \mu_r \mu_0 H\), die Feldkonstante \(\mu_0\) hat die Einheit \(\mathrm{V \cdot s/(A \cdot m)}\), die relative Permeabilität \(\mu_r\) ist dimensionslos.
- Diamagnetische Stoffe haben \(\mu_r\) etwas kleiner als 1, paramagnetische etwas größer als 1, ferromagnetische groß gegen 1.
- In einer langen Spule ist \(H = N I / l\), bei gleichem Strom zählt nur die Windungsdichte \(N/l\).
- Der Fluss \(\Phi = B A \cos\alpha\) ist maximal, wenn die Schleifenfläche senkrecht zu den Feldlinien steht, und null, wenn sie parallel zu ihnen liegt.
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Worum es geht
Ein Magnetfeld wird durch drei Größen beschrieben: Feldstärke, Flussdichte und Fluss. Sie unterscheiden sich in Bedeutung und Einheit und lassen sich für Spulen und Leiterschleifen einfach berechnen. Der Fluss ist außerdem die Grundlage der Induktion, auf der Generatoren und Transformatoren beruhen.
Feldgrößen und Einheiten
Die magnetische Feldstärke \(H\) beschreibt, wie stark Ströme ein Magnetfeld antreiben. Sie hängt nur von Strömen und Geometrie ab, nicht vom Material. Ihre Einheit ist daher Strom pro Länge: A/m, auch geschrieben als \(\mathrm{A \cdot m^{-1}}\).
Die magnetische Flussdichte \(B\) beschreibt die Wirkung des Feldes, etwa die Kraft auf bewegte Ladungen. Sie berücksichtigt das Material im Feld. Ihre Einheit ist das Tesla: \(1\ \mathrm{T} = 1\ \mathrm{V \cdot s/m^2}\). Beide Größen sind so verknüpft:
\[B = \mu_r \cdot \mu_0 \cdot H\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(B\) | magnetische Flussdichte | \(\mathrm{T} = \mathrm{V \cdot s/m^2}\) |
| \(\mu_r\) | relative Permeabilität (Permeabilitätszahl) | dimensionslos |
| \(\mu_0\) | magnetische Feldkonstante | \(\mathrm{V \cdot s/(A \cdot m)}\) |
| \(H\) | magnetische Feldstärke | \(\mathrm{A/m}\) |
Im Vakuum ist \(\mu_r = 1\), dort gilt also \(B = \mu_0 H\). Die magnetische Feldkonstante ist eine Naturkonstante mit \(\mu_0 \approx 1{,}257 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{V \cdot s/(A \cdot m)}\). Die relative Permeabilität \(\mu_r\) ist ein reiner Faktor. Sie gibt an, wie stark ein Stoff die Flussdichte gegenüber dem Vakuum verändert.
Die Einheiten folgen auseinander. Teilt man Tesla durch A/m, erhält man die Einheit von \(\mu_0\). Der magnetische Fluss \(\Phi\) hat die Einheit Weber: \(1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{V \cdot s}\). Tesla tragen also nur die Flussdichte, nicht der Fluss und nicht die Feldkonstante. Wie man solche Einheiten auf die SI-Basiseinheiten zurückführt, steht dort.
Magnetische Stoffe
Bringt man Materie in ein Magnetfeld, ändert sich \(B\) um den Faktor \(\mu_r\). Nach dessen Größe unterscheidet man drei Stoffklassen.
| Stoffklasse | \(\mu_r\) | Ursache | Wirkung | Beispiele |
|---|---|---|---|---|
| diamagnetisch | etwas kleiner als 1 | keine permanenten Dipole, Feld induziert Gegendipole | schwächt das Feld leicht | Wasser, Kupfer, Bismut |
| paramagnetisch | etwas größer als 1 | permanente Dipole, teilweise ausgerichtet | verstärkt das Feld leicht | Aluminium, Sauerstoff |
| ferromagnetisch | groß gegen 1 | Weiss-Bezirke richten sich gemeinsam aus | verstärkt das Feld stark | Eisen, Cobalt, Nickel |
Wie die Abbildung zeigt, drängt ein Diamagnet die Feldlinien leicht hinaus. Er besitzt keine eigenen Dipole und ist daher nie ein Permanentmagnet. Ein Eisenkern in einer Spule bündelt die Feldlinien dagegen stark. Bei gleicher Feldstärke steigt \(B\) um den Faktor \(\mu_r\), der bei Eisen in die Tausende geht. Darauf beruhen Elektromagnet und Transformator.
Feld der langen Spule
Im Inneren einer langen Zylinderspule ist das Feld nahezu homogen. Das Feldlinienbild ist dort bereits erklärt. Lang heißt: Die Länge ist deutlich größer als der Radius. Dann gilt:
\[H = \frac{N \cdot I}{l} \qquad B = \mu_r \mu_0 \frac{N \cdot I}{l}\]
Dabei ist \(N\) die Windungszahl, \(I\) die Stromstärke in A und \(l\) die Spulenlänge in m. Manche Lehrbücher schreiben \(n\) statt \(N\). Für eine Spule ohne Kern ist \(\mu_r = 1\).
Aus der Formel liest man die Proportionalitäten direkt ab. Für \(B\) gelten sie genauso wie für \(H\), dazu kommt die Proportionalität zu \(\mu_0\).
- doppelter Strom, doppelte Feldstärke
- doppelte Windungszahl bei gleicher Länge, doppelte Feldstärke
- doppelte Länge bei gleicher Windungszahl, halbe Feldstärke
- bei gleichem Strom zählt nur die Windungsdichte \(N/l\)
Verdoppelt man also Länge und Windungszahl zugleich, bleibt \(H\) gleich. Man kann sich die Windungen wie Zaunpfähle vorstellen: Entscheidend ist, wie dicht sie stehen, nicht wie lang der Zaun ist.
- Daten: \(N = 500\), \(I = 2\ \mathrm{A}\), \(l = 25\ \mathrm{cm} = 0{,}25\ \mathrm{m}\).
- Feldstärke: \(H = \frac{500 \cdot 2\ \mathrm{A}}{0{,}25\ \mathrm{m}} = 4000\ \mathrm{A/m}\).
- Flussdichte ohne Kern: \(B = \mu_0 H = 1{,}257 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{\frac{V \cdot s}{A \cdot m}} \cdot 4000\ \mathrm{\frac{A}{m}} \approx 5{,}0 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{T}\).
- Vergleich: Mit 1000 Windungen auf derselben Länge verdoppelt sich \(H\) auf \(8000\ \mathrm{A/m}\).
Liegt eine konstante Spannung \(U\) an, bestimmt der Drahtwiderstand den Strom. Nach dem Ohm’schen Gesetz ist \(I = U/R\). Der Drahtwiderstand ist \(R = \rho L_D / A_D\) mit der Drahtlänge \(L_D = N \cdot 2\pi r_S\). Eingesetzt ergibt sich:
\[B = \mu_0 \frac{U \cdot A_D}{2\pi r_S \cdot \rho \cdot l}\]
Ein dickerer Draht mit größerem Querschnitt \(A_D\) erhöht also \(B\). Ein größerer spezifischer Widerstand \(\rho\) senkt \(B\). Ein größerer Spulenradius \(r_S\) bringt nichts, denn Drahtlänge und Widerstand wachsen mit.
Magnetischer Fluss
Der magnetische Fluss \(\Phi\) zählt gewissermaßen die Feldlinien, die eine Fläche durchsetzen. Er ist das Skalarprodukt aus Flussdichte und Flächenvektor. Der Flächenvektor \(\vec{A}\) steht senkrecht auf der Fläche, er ist ihre Flächennormale.
\[\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = B \cdot A \cdot \cos\alpha\] \(\alpha\) ist der Winkel zwischen \(\vec{B}\) und der Flächennormalen, \(A\) die Fläche in \(\mathrm{m^2}\), \(\Phi\) in \(\mathrm{Wb} = \mathrm{V \cdot s}\).
Die Stellung der Leiterschleife entscheidet über den Fluss. Steht die Schleifenfläche senkrecht zu den Feldlinien, ist \(\alpha = 0°\). Der Fluss ist dann maximal, es gilt \(\Phi = B \cdot A\). Liegt die Fläche parallel zu den Feldlinien, ist \(\alpha = 90°\) und \(\Phi = 0\). Keine Feldlinie tritt dann durch die Schleife hindurch.
In perspektivischen Skizzen sucht man deshalb die Stellungen, in denen die Feldlinien in der Ebene des Rahmens verlaufen. Dort verschwindet der Fluss. Bei \(\alpha = 60°\) halbiert sich der Fluss wegen \(\cos 60° = 0{,}5\). Für einen kreisförmigen Leiterring mit Radius \(r\) senkrecht zum Feld gilt \(\Phi = \pi r^2 B\).
- Daten: Ring mit \(r = 5\ \mathrm{cm} = 0{,}05\ \mathrm{m}\), homogenes Feld \(B = 0{,}2\ \mathrm{T}\) senkrecht zur Ringfläche.
- Fläche: \(A = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}05\ \mathrm{m})^2 \approx 7{,}85 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^2}\).
- Fluss: \(\Phi = B \cdot A = 0{,}2\ \mathrm{T} \cdot 7{,}85 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^2} \approx 1{,}6 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{Wb}\).
- Gekippt: Bei \(\alpha = 60°\) sind es nur noch etwa \(0{,}8 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{Wb}\).
Typische Fehler sind schnell vermieden. Der Winkel \(\alpha\) wird zur Flächennormalen gemessen, nicht zur Fläche selbst. Man rechnet mit dem Radius statt mit dem Durchmesser. Zentimeter werden vor dem Quadrieren in Meter umgerechnet. Ändert sich der Fluss mit der Zeit, entsteht eine Induktionsspannung.
Quiz
Aussage 1
Der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife im homogenen Feld ist am größten, wenn die Schleifenfläche parallel zu den Feldlinien liegt.
In dieser Stellung ist \(\alpha = 90°\) und der Fluss null. Maximal ist er, wenn die Fläche senkrecht zu den Feldlinien steht.
Aussage 2
Halbiert man die Länge einer langen Spule bei gleicher Windungszahl und gleichem Strom, verdoppelt sich die Feldstärke im Inneren.
Nach \(H = N I / l\) ist die Feldstärke umgekehrt proportional zur Spulenlänge.
Aussage 3
Durchsetzt ein homogenes Feld einen kreisförmigen Leiterring mit Radius \(r\) senkrecht, beträgt der Fluss \(\Phi = \pi r^2 B\).
Bei senkrechter Durchsetzung gilt \(\Phi = B \cdot A\), und die Kreisfläche ist \(A = \pi r^2\).
Aussage 4
Die magnetische Feldkonstante \(\mu_0\) wird in Tesla angegeben.
Tesla ist allein die Einheit der Flussdichte. \(\mu_0\) hat die Einheit \(\mathrm{V \cdot s/(A \cdot m)}\).
Aussage 5
Diamagnetische Stoffe verstärken ein Magnetfeld leicht, weil ihr \(\mu_r\) etwas größer als 1 ist.
Diamagnetische Stoffe haben \(\mu_r\) etwas kleiner als 1 und schwächen das Feld. Etwas größer als 1 ist \(\mu_r\) bei paramagnetischen Stoffen.
Aussage 6
Die relative Permeabilität \(\mu_r\) besitzt keine Einheit.
\(\mu_r\) ist ein reiner Faktor, der angibt, wie stark ein Stoff die Flussdichte gegenüber dem Vakuum verändert.
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