Thermische Bewegung, Brown’sche Bewegung und freie Weglänge
Wie die ständige Teilchenbewegung entsteht, wie man sie an suspendierten Partikeln sieht und wie weit ein Gasteilchen zwischen zwei Stößen fliegt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die thermische Bewegung ist die ständige, ungeordnete Bewegung aller Teilchen. Sie findet bei jeder Temperatur statt und nimmt mit der Temperatur zu.
- Die Brown’sche Bewegung suspendierter Partikel oder Aerosoltröpfchen entsteht durch ungleichmäßige Stöße der Lösungsmittelmoleküle.
- Ihre Bahn ist eine regellose Zickzackbahn aus geraden Teilstücken mit zufälligen Richtungswechseln. Richtung und Geschwindigkeit sind nicht vorhersagbar.
- Die mittlere freie Weglänge ist die mittlere Strecke eines Gasteilchens zwischen zwei Stößen mit anderen Gasteilchen. Die einzelnen Wege sind statistisch verteilt.
- \(\lambda\) sinkt mit steigender Teilchenanzahldichte und damit mit steigendem Druck. Bei konstantem Volumen im geschlossenen Behälter ist sie temperaturunabhängig.
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Worum es geht
Atome und Moleküle stehen nie still. Sie bewegen sich ständig und regellos. Diese Bewegung erklärt, warum winzige Partikel in Suspensionen und Aerosolen zittern und wie weit ein Gasteilchen bis zum nächsten Stoß kommt. Sie ist die Grundlage für Diffusion, Gasdruck und Stofftransport durch Membranen.
Thermische Bewegung
Alle Teilchen eines Stoffes sind in ständiger, ungeordneter Bewegung. Man nennt sie thermische Bewegung. Sie findet bei jeder Temperatur statt, nicht erst oberhalb eines Schwellenwerts. Gasaustausch durch eine durchlässige Membran braucht deshalb keine kritische Temperatur.
Mit steigender Temperatur wird die Bewegung heftiger. Gasteilchen treffen dann im Mittel mit höherer kinetischer Energie auf eine Oberfläche. Wie Energie und Geschwindigkeit genau von der Temperatur abhängen, zeigt die Einheit zur mittleren Teilchengeschwindigkeit.
Brown’sche Bewegung
Einzelne Moleküle einer Flüssigkeit sieht man nicht. Ihre Bewegung wird aber an größeren Partikeln sichtbar. Kleine suspendierte Partikel oder sehr kleine Tröpfchen in einem Aerosol zittern unter dem Mikroskop ständig hin und her. Das ist die Brown’sche Bewegung.
Die Ursache sind Stöße der umgebenden Lösungsmittel- oder Gasmoleküle. Sie treffen das Partikel von allen Seiten, aber nie ganz gleichmäßig. In jedem Moment überwiegt zufällig eine Richtung. Man kann sich einen großen Ball vorstellen, den eine dichte Menschenmenge von allen Seiten anrempelt.
Trägt man die Positionen in festen Zeitabständen auf und verbindet sie, entsteht eine regellose Zickzackbahn. Sie besteht aus geraden Teilstücken unterschiedlicher Länge mit abrupten, zufälligen Richtungswechseln. Die Bahn kreuzt sich oft selbst. Richtung und Geschwindigkeit eines einzelnen Partikels sind nicht vorhersagbar.
Ein suspendiertes Partikel ruht also nie. Es bewegt sich auch nicht bevorzugt zur niedrigeren Konzentration, denn jede Richtung ist gleich wahrscheinlich. Erst viele Partikel zusammen ergeben einen Nettotransport ins Gebiet niedrigerer Konzentration. Das ist die Diffusion.
In Skizzen erkennt man die Brown’sche Bahn an ihrer Form. Eine periodische Wellenlinie entsteht nur durch eine rücktreibende Kraft, etwa bei einer Schwingung. Eine Gerade zeigt einen ungestörten Flug ohne Stöße.
Gerade Teilstücke, ungleich lang, mit zufälligen Knicken und ohne sich wiederholendes Muster: So sieht die Brown’sche Bahn aus.
Mittlere freie Weglänge
Auch ein Gasteilchen fliegt nicht beliebig weit geradeaus. Es stößt immer wieder mit anderen Gasteilchen zusammen. Die geradlinige Strecke zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stößen ist ein freier Weg. Der Mittelwert aller dieser Wegstrecken heißt mittlere freie Weglänge \(\lambda\).
Die einzelnen Wegstücke sind unterschiedlich lang. Sie sind statistisch verteilt und nicht für alle Teilchen gleich. Gezählt werden nur Stöße der Gasteilchen untereinander, Stöße mit der Gefäßwand gehen nicht ein. Auch der mittlere Abstand zweier Teilchen ist etwas anderes. In Luft bei Normalbedingungen liegt \(\lambda\) bei etwa 70 nm, der mittlere Teilchenabstand nur bei etwa 3 nm. Ein Teilchen fliegt also an vielen Nachbarn vorbei, bevor es eines trifft.
Je dichter die Teilchen gepackt sind, desto früher kommt der nächste Stoß. Die mittlere freie Weglänge hängt deshalb von der Teilchenanzahldichte ab.
\[\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^2 n}\]
\(\lambda\): mittlere freie Weglänge in m, \(d\): Teilchendurchmesser in m, \(n = N/V\): Teilchenanzahldichte in \(1/\mathrm{m^3}\).
Steigt der Druck bei gleicher Temperatur, steigt \(n\). Die mittlere freie Weglänge nimmt mit steigendem Druck ab. Nach der Zustandsgleichung des idealen Gases gilt \(n = p/(k_\mathrm{B} T)\).
Erwärmt man ein Gas in einem geschlossenen Behälter mit konstantem Volumen, bleibt \(n\) gleich. Die Teilchen werden schneller, treffen aber nach derselben mittleren Strecke auf einen Partner. Die mittlere freie Weglänge ist dann temperaturunabhängig. Nur der Druck steigt, weil die Teilchen heftiger stoßen.
Quiz
Aussage 1
Erwärmt man ein Gas in einem geschlossenen Behälter mit festem Volumen, nimmt die mittlere freie Weglänge ab, weil die Teilchen schneller werden.
Bei konstantem Volumen bleibt die Teilchenanzahldichte gleich. Die mittlere freie Weglänge ist dann temperaturunabhängig.
Aussage 2
Ein einzelnes suspendiertes Partikel wandert bei der Brown’schen Bewegung stets in Richtung niedrigerer Partikelkonzentration.
Für ein einzelnes Partikel ist jede Richtung gleich wahrscheinlich. Erst viele Partikel zusammen ergeben einen Nettotransport zur niedrigeren Konzentration.
Aussage 3
Wird ein Gas bei konstanter Temperatur komprimiert, verkürzt sich die mittlere freie Weglänge seiner Teilchen.
Höherer Druck bedeutet höhere Teilchenanzahldichte. Der nächste Stoß kommt früher, \(\lambda\) wird kleiner.
Aussage 4
Die Brown’sche Bewegung eines Aerosoltröpfchens wird durch Stöße der umgebenden Gasmoleküle verursacht.
Die Moleküle treffen das Tröpfchen ungleichmäßig von allen Seiten. Das zufällige Übergewicht einer Richtung erzeugt die Zickzackbahn.
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