Linsenformen, Brechwert und Brennweite
Wie man Sammel- und Zerstreuungslinsen an ihrer Form erkennt, Brennweite und Brechwert ineinander umrechnet und warum dieselbe Linse je nach Umgebung sammeln oder zerstreuen kann.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine Linse bricht Licht an gekrümmten Flächen: Sammellinsen vereinen achsenparallele Strahlen im reellen Brennpunkt, Zerstreuungslinsen haben einen virtuellen Brennpunkt vor der Linse.
- Glaslinsen, die in der Mitte dicker sind (bikonvex, plankonvex, Sammelmeniskus), sind Konvexlinsen; bikonkave und plankonkave Linsen sind Konkavlinsen.
- Der Brechwert ist der Kehrwert der Brennweite in Metern, \(D = 1/f\), Einheit Dioptrie (\(1\,\mathrm{dpt} = 1\,\mathrm{m^{-1}}\)); Zerstreuungslinsen haben negative Brennweite und negativen Brechwert.
- Nach der Linsenmacherformel trägt eine ebene Fläche nichts bei; bei gleichen Radien gilt bikonvex > plankonvex > Meniskus (gleich gekrümmt, etwa null).
- Der Brechwert hängt von \(n_L - n_M\) ab: Bei gleicher Brechzahl ist er null, ein bikonvexer Lufthohlraum in Glas wirkt zerstreuend.
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Worum es geht
Linsen lenken Licht durch Brechung an gekrümmten Flächen ab und bündeln oder zerstreuen es dabei. Sie stecken in Brille, Lupe und Mikroskop. Die Brillenstärke auf jedem Rezept ist ein Brechwert in Dioptrien.
Linsen im Überblick
Eine Linse ist ein durchsichtiger Körper, meist aus Glas, mit mindestens einer gekrümmten Fläche. Licht wird an beiden Grenzflächen gebrochen. Beim Eintritt ins Glas knickt es zum Lot hin, beim Austritt vom Lot weg (siehe Brechung an Grenzflächen). Die Symmetrieachse durch die Linsenmitte heißt optische Achse.
Eine Sammellinse lenkt achsenparallele Strahlen so ab, dass sie sich hinter der Linse in einem Punkt treffen. Dieser Brennpunkt F ist reell: Ein Schirm an dieser Stelle zeigt einen hellen Fleck. Eine Zerstreuungslinse lässt achsenparallele Strahlen auseinanderlaufen. Verlängert man sie rückwärts, schneiden sie sich vor der Linse in einem virtuellen Brennpunkt. Die Brennweite \(f\) ist in beiden Fällen der Abstand von der Linsenmitte zum Brennpunkt.
Linsenformen
Ob eine Glaslinse in Luft sammelt oder zerstreut, verrät ihr Querschnitt. Man vergleicht die Dicke in der Mitte mit der Dicke am Rand. In der Mitte dicker bedeutet Sammellinse, in der Mitte dünner bedeutet Zerstreuungslinse.
Die Konvexlinsen sind die Sammellinsen. Dazu gehört die bikonvexe Linse mit zwei nach außen gewölbten Flächen und die plankonvexe Linse mit einer ebenen und einer gewölbten Fläche. Dazu zählt auch der Sammelmeniskus. Ein Meniskus hat eine konvexe und eine konkave Fläche, die in dieselbe Richtung gekrümmt sind, ähnlich einem Uhrglas. Ist die konvexe Seite stärker gekrümmt, wird er in der Mitte dicker und gehört zu den Konvexlinsen.
Die Konkavlinsen sind nach innen gewölbt: bikonkav mit zwei Mulden oder plankonkav mit einer ebenen Fläche. Beide sind in der Mitte dünner und damit Zerstreuungslinsen. Ein Meniskus, der in der Mitte dünner ist, zerstreut ebenfalls. Der Form nach zählt man ihn aber nicht zu den Konkavlinsen, weil eine seiner Flächen konvex ist. Er heißt Zerstreuungsmeniskus.
Eine Skizze deutest du in zwei Schritten. Zuerst bestimmst du für jede Fläche, ob sie nach außen gewölbt, eben oder nach innen gewölbt ist. Danach vergleichst du Mitte und Rand. So ist jede Form eindeutig benannt und ihre Wirkung in Luft klar.
Brechwert und Dioptrie
Je stärker eine Linse bricht, desto näher an ihr liegt der Brennpunkt. Eine kurze Brennweite steht also für eine starke Linse. Deshalb beschreibt man die Wirkung mit dem Kehrwert, dem Brechwert \(D\), auch Brechkraft genannt.
\[D = \frac{1}{f}\]
Umgekehrt gilt \(f = 1/D\). Die Brennweite wird immer in Metern eingesetzt.
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(D\) | Brechwert (Brechkraft) | dpt \(= \mathrm{m^{-1}}\) |
| \(f\) | Brennweite, Abstand Linsenmitte bis Brennpunkt | m |
Die Einheit ist die Dioptrie: \(1\,\mathrm{dpt} = 1\,\mathrm{m^{-1}}\). Halbe Brennweite heißt doppelter Brechwert. Eine Linse mit 1 m Brennweite hat 1 dpt, eine mit 10 cm schon 10 dpt.
Das Vorzeichen zeigt die Linsenart. Sammellinsen haben positive Brennweite und positiven Brechwert. Zerstreuungslinsen haben ihren virtuellen Brennpunkt vor der Linse. Ihre Brennweite ist deshalb negativ, ihr Brechwert ebenso. Eine Brille mit \(-3\,\mathrm{dpt}\) enthält also Zerstreuungslinsen.
Die Umrechnung \(D = 1/f\) wird im Examen gerne gefragt, oft mit einer Brennweite in Zentimetern. Rechne immer zuerst in Meter um und beachte, dass ein negativer Brechwert eine Zerstreuungslinse kennzeichnet.
Rechenbeispiel
Eine Lupe hat eine Brennweite von 8 cm. Gesucht ist ihr Brechwert.
- Umrechnen: \(f = 8\,\mathrm{cm} = 0{,}08\,\mathrm{m}\).
- Kehrwert bilden: \(D = 1/(0{,}08\,\mathrm{m}) = 12{,}5\,\mathrm{m^{-1}}\).
- Ergebnis: \(D = +12{,}5\,\mathrm{dpt}\), eine Sammellinse.
- Rückweg: Eine Zerstreuungslinse mit \(D = -4\,\mathrm{dpt}\) hat \(f = 1/(-4\,\mathrm{m^{-1}}) = -0{,}25\,\mathrm{m} = -25\,\mathrm{cm}\).
Auch ein Sonnenbild liefert die Brennweite. Die Sonne ist so weit entfernt, dass ihr Licht praktisch parallel einfällt. Ihr scharfes Bild entsteht daher im Brennpunkt. Liegt es 20 cm hinter der Linse, ist \(f = 0{,}20\,\mathrm{m}\) und \(D = 5\,\mathrm{dpt}\).
Typische Fehler sind Zentimeter statt Meter, ein vergessener Kehrwert und ein verlorenes Minuszeichen bei der Zerstreuungslinse. Wie sich die Brechwerte dicht zusammengefügter Linsen addieren, zeigt die Brechwertaddition.
Linsenmacherformel
Wie stark eine dünne Linse bricht, hängt von Material und Form ab. Die Linsenmacherformel fasst das für eine Linse in Luft zusammen:
\[D = (n-1)\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)\]
Dabei ist \(n\) die Brechzahl des Glases. \(r_1\) und \(r_2\) sind die Krümmungsradien der ersten und zweiten Fläche in Metern. Ein Radius ist positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt in Lichtrichtung hinter der Fläche liegt. Eine ebene Fläche hat einen unendlich großen Radius. Ihr Term \(1/r\) wird null, sie trägt also nichts zur Brechkraft bei.
Damit lassen sich Linsen aus gleichem Glas mit gleichem Radius \(r\) ordnen:
| Linse | \(r_1\) | \(r_2\) | Brechkraft \(D\) |
|---|---|---|---|
| bikonvex | \(+r\) | \(-r\) | \(2(n-1)/r\) |
| plankonvex | \(\infty\) | \(-r\) | \((n-1)/r\) |
| Meniskus, beide Flächen gleich gekrümmt | \(+r\) | \(+r\) | \(\approx 0\) |
Die bikonvexe Linse bricht also doppelt so stark wie die plankonvexe. Beim Meniskus mit gleich stark gekrümmten Flächen heben sich die Beiträge auf. Als dünne Linse wirkt er praktisch wie eine Glasplatte. Die Reihenfolge lautet: bikonvex > plankonvex > Meniskus.
Am Strahlengang der Plankonvexlinse sieht man, wie beide Flächen zusammenarbeiten. Fällt achsenparalleles Licht auf die gewölbte Seite, bricht es beim Eintritt zum Lot hin und damit zur Achse. An der ebenen Austrittsfläche bricht es vom Lot weg. Dadurch verläuft es nach der Linse noch stärker zur Achse geneigt als im Glas.
Umgebendes Medium
Eine Linse bricht nur, weil sich ihre Brechzahl von der Umgebung unterscheidet. Genau genommen steht in der Linsenmacherformel die Differenz aus Linsenbrechzahl \(n_L\) und Mediumbrechzahl \(n_M\). In Luft ist \(n_M \approx 1\), daher der Faktor \((n-1)\). Allgemein gilt \(D \propto (n_L - n_M)\).
Daraus folgen drei Fälle:
- \(n_L > n_M\): Konvexe Linsen sammeln, konkave zerstreuen. Das ist der Normalfall Glas in Luft. Eine plankonkave Glaslinse zerstreut, eine plankonvexe sammelt, gleich wie herum man sie hält.
- \(n_L = n_M\): Der Brechwert ist null. Eine Glaslinse in einem Öl gleicher Brechzahl bricht nicht mehr.
- \(n_L < n_M\): Das Vorzeichen des Brechwerts kehrt sich um.
In Wasser mit \(n \approx 1{,}33\) bricht eine Glaslinse schwächer als in Luft. Sie behält aber ihre Wirkungsrichtung, weil Glas noch immer optisch dichter ist.
Die Regel „in der Mitte dicker sammelt“ gilt nur, wenn die Linse optisch dichter ist als ihre Umgebung. Ist das Medium dichter, wirkt eine konkave Linse sammelnd und eine konvexe zerstreuend.
Der umgekehrte Fall wird im Examen gerne gefragt, meist als Lufthohlraum in Glas. Ein bikonvex geformter Luftraum hat die Gestalt einer Sammellinse. Weil Luft optisch dünner ist als das umgebende Glas, wirkt er aber als Zerstreuungslinse. Paralleles Licht läuft hinter ihm auseinander und trifft sich in keinem Brennpunkt. Man kann sich den Hohlraum wie eine Linse mit vertauschten Rollen vorstellen.
Quiz
Aussage 1
Ein Brillenglas mit einem Brechwert von \(-2\,\mathrm{dpt}\) ist eine Sammellinse.
Ein negativer Brechwert kennzeichnet eine Zerstreuungslinse; hier mit \(f = -0{,}5\,\mathrm{m}\).
Aussage 2
Aus gleichem Glas und mit gleichen Krümmungsradien bricht eine plankonvexe Linse stärker als eine bikonvexe.
Die ebene Fläche trägt nichts bei; die bikonvexe Linse bricht mit \(2(n-1)/r\) doppelt so stark wie die plankonvexe mit \((n-1)/r\).
Aussage 3
Taucht man eine Glaslinse in eine Flüssigkeit mit derselben Brechzahl, ist ihr Brechwert null.
Der Brechwert ist proportional zu \(n_L - n_M\); bei gleicher Brechzahl ist die Differenz null.
Aussage 4
Eine Sammellinse mit einer Brennweite von 50 cm hat einen Brechwert von 2 dpt.
\(f = 0{,}5\,\mathrm{m}\), also \(D = 1/(0{,}5\,\mathrm{m}) = 2\,\mathrm{dpt}\).
Aussage 5
Ein bikonvex geformter Lufthohlraum in einem Glasblock bündelt paralleles Licht in einem Brennpunkt.
Luft ist optisch dünner als Glas, daher wirkt der Hohlraum als Zerstreuungslinse und das Licht läuft auseinander.
Aussage 6
Eine Meniskuslinse, die in der Mitte dicker ist als am Rand, gehört zu den Konvexlinsen.
Der Sammelmeniskus ist in der Mitte dicker und zählt wie bikonvexe und plankonvexe Linsen zu den Konvexlinsen.
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