Sinkgeschwindigkeit, Sedimentation und Zentrifugation
Wie schnell Teilchen und Tröpfchen nach Stokes sinken oder aufsteigen, wovon das abhängt und wie die Zentrifuge diesen Vorgang beschleunigt und Teilchen nach ihrer Dichte trennt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Stokes’sche Sinkgeschwindigkeit \(v = \frac{2 r^2 g (\rho_K - \rho_F)}{9 \eta}\) beschreibt das stationäre Sinken oder Steigen kugelförmiger Teilchen im Kräftegleichgewicht aus Gewicht, Auftrieb und Reibung.
- \(v\) wächst mit \(r^2\) und mit der Dichtedifferenz und sinkt mit steigender Viskosität; bei gleicher Viskosität gilt für die Sinkzeit \(t \propto 1/(\rho_K - \rho_F)\).
- Beim Aufrahmen ist das Tröpfchen leichter als die Flüssigkeit; halber Tröpfchendurchmesser ergibt die vierfache Aufrahmdauer.
- Für den Stokes-Radius braucht man Viskosität und Dichte der Flüssigkeit; die Partikelform liefert die Sedimentationsanalyse nicht.
- In der Zentrifuge gilt \(v \propto \omega^2 R\), also \(v \propto n^2\); im Dichtegradienten sammelt sich ein Partikel dort, wo seine Dichte zwischen den angrenzenden Schichten liegt.
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Worum es geht
Ob eine Suspension einen Bodensatz bildet oder eine Emulsion aufrahmt, entscheidet dieselbe Formel: die Stokes’sche Sinkgeschwindigkeit. Sie erklärt, warum fein homogenisierte Emulsionen länger stabil bleiben, wie das Kugelfallviskosimeter misst und warum man im Labor zur Zentrifuge greift.
Stokes’sche Sinkgeschwindigkeit
Eine Kugel in einer Flüssigkeit wird zunächst schneller. Mit der Geschwindigkeit wächst aber die Stokes’sche Reibung. Sobald Gewichtskraft, Auftrieb und Reibung im Gleichgewicht sind, sinkt die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit. Diese stationäre Sinkgeschwindigkeit folgt direkt aus dem Kräftegleichgewicht:
\[\rho_K \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3 g = \rho_F \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3 g + 6\pi\eta r v\]
Links steht die Gewichtskraft, rechts stehen Auftrieb und Reibungskraft. Löst man nach \(v\) auf, kürzt sich ein \(r\) heraus, und es bleibt das Stokes’sche Gesetz.
\[v = \frac{2 r^2 g (\rho_K - \rho_F)}{9 \eta}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(v\) | stationäre Sinkgeschwindigkeit | m/s |
| \(r\) | Radius der Kugel | m |
| \(g\) | Fallbeschleunigung | m/s² |
| \(\rho_K\) | Dichte der Kugel | kg/m³ |
| \(\rho_F\) | Dichte der Flüssigkeit | kg/m³ |
| \(\eta\) | dynamische Viskosität der Flüssigkeit | Pa·s |
Die Formel liest man am besten als Proportionalitäten. Die Geschwindigkeit wächst mit \(r^2\) und mit der Dichtedifferenz \(\rho_K - \rho_F\). Sie sinkt mit steigender Viskosität und mit steigender Dichte der Flüssigkeit. Eine größere Kugel aus gleichem Material sinkt also schneller. Bei gleichem Durchmesser sinkt die dichtere Kugel schneller. Auf sie wirkt stationär auch die größere Reibungskraft, denn die Reibung gleicht genau die größere Differenz aus Gewicht und Auftrieb aus.
Ändert man die Temperatur, ändert sich vor allem \(\eta\). Das bremst oder beschleunigt beide Kugeln um denselben Faktor. Welche von zwei Kugeln gleichen Materials schneller sinkt, bleibt deshalb gleich: immer die größere.
Das Kugelfallviskosimeter nutzt die Formel umgekehrt. Man misst die Zeit \(t\), die die Kugel für die Strecke \(s\) zwischen zwei Ringmarken braucht. Aus \(v = s/t\) und den bekannten Dichten folgt \(\eta\), und bei gegebener Kugel gilt \(\eta \propto t\). Im Höppler-Viskosimeter rollt die Kugel in einem schräg gestellten Rohr an der Wand entlang.
Bei gleicher Viskosität und gleicher Strecke ist die Sinkzeit der Kehrwert der Geschwindigkeit. Es gilt \(t \propto 1/(\rho_K - \rho_F)\). Ein eigenes Beispiel: Eine Kugel mit \(\rho_K = 2{,}6\) g/cm³ braucht in Flüssigkeit 1 (\(\rho_F = 1{,}2\) g/cm³) 30 s. Wie lange braucht sie in Flüssigkeit 2 (\(\rho_F = 1{,}9\) g/cm³) gleicher Viskosität?
- Dichtedifferenzen: Flüssigkeit 1: \(2{,}6 - 1{,}2 = 1{,}4\) g/cm³. Flüssigkeit 2: \(2{,}6 - 1{,}9 = 0{,}7\) g/cm³.
- Verhältnis aufstellen: \(t_2/t_1 = 1{,}4/0{,}7 = 2\).
- Ergebnis: \(t_2 = 2 \cdot 30\) s \(= 60\) s.
Der häufigste Fehler ist, mit der Kugeldichte allein statt mit der Differenz zu rechnen.
Einflüsse auf die Sedimentation
Sedimentation ist das Absetzen dispergierter Teilchen im Schwerefeld, etwa der Wirkstoffpartikel einer Suspension. Ihre Geschwindigkeit hängt von der Dichte der Flüssigkeit ab, genauer von der Dichtedifferenz zum Feststoff. Auf die gleich große, dichtere Kugel wirkt die größere Gewichtskraft, sie sedimentiert schneller. Eine zähere Flüssigkeit bremst jedes Teilchen.
Ist das Teilchen leichter als die Flüssigkeit, wird \(\rho_K - \rho_F\) negativ. Die Formel liefert dann eine Bewegung nach oben. Genau das ist Aufrahmen: Öltröpfchen einer O/W-Emulsion steigen auf und sammeln sich als Rahmschicht, wie der Rahm auf Rohmilch. Warum Emulsionen dadurch instabil werden, behandelt die Einheit zu Emulsionen.
Am stärksten wirkt der Radius, weil er quadratisch eingeht. Doppelter Radius heißt vierfache Geschwindigkeit. Kleinere Teilchen sedimentieren oder rahmen also deutlich langsamer auf. Deshalb homogenisiert man Emulsionen zu feinen Tröpfchen. Für die Dauer gilt der Kehrwert, \(t \propto 1/r^2\).
Geschwindigkeit \(\propto r^2\), Dauer \(\propto 1/r^2\). Ob Radius oder Durchmesser gegeben ist, spielt für das Verhältnis keine Rolle, weil sich der Faktor 2 herauskürzt.
Beispiel: Eine Emulsion rahmt in 5 Tagen auf. Der Tröpfchendurchmesser wird auf ein Drittel verkleinert.
- Radienverhältnis: \(r_2/r_1 = 1/3\).
- Zeitverhältnis: \(t_2/t_1 = (r_1/r_2)^2 = 3^2 = 9\).
- Ergebnis: \(t_2 = 9 \cdot 5\) Tage \(= 45\) Tage.
Halbiert man den Durchmesser, vervierfacht sich die Aufrahmdauer entsprechend. Wer hier nur verdoppelt, hat das Quadrat vergessen.
Stokes-Radius
Echte Teilchen sind selten Kugeln. Die Sedimentationsanalyse ordnet ihnen deshalb einen Stokes-Radius zu. Das ist der Radius einer Kugel gleicher Dichte, die genauso schnell sedimentiert wie das Teilchen. Man misst \(v\) und löst die Stokes-Formel nach \(r\) auf:
\[r = \sqrt{\frac{9 \eta v}{2 g (\rho_K - \rho_F)}}\]
Dafür müssen Viskosität und Dichte der Flüssigkeit bekannt sein, ebenso die Teilchendichte. Zwei Teilchen gleicher Dichte und gleicher Sedimentationsgeschwindigkeit haben denselben Stokes-Radius, auch wenn eines ein Plättchen und das andere ein Würfel ist.
Daraus folgt die Grenze der Methode. Sie liefert eine äquivalente Größe, aber die Partikelform lässt sich so nicht genau bestimmen. Die Anwendung auf Suspensionen mit Flockung und Caking folgt in der Einheit Sedimentation in Suspensionen.
Zentrifuge
Sehr kleine Teilchen sinken im Schwerefeld oft zu langsam. Die Zentrifugation ersetzt deshalb \(g\) durch die Zentrifugalbeschleunigung \(\omega^2 R\). Dabei ist \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit und \(R\) der Abstand des Teilchens von der Drehachse. Die Formel lautet dann:
\[v = \frac{2 r^2 \omega^2 R (\rho_K - \rho_F)}{9 \eta}\]
Die Zentrifuge erhöht also die Sedimentationsgeschwindigkeit, und zwar mit dem Quadrat der Drehzahl. Denn mit \(\omega = 2\pi n\) gilt \(v \propto n^2\), wie in der Einheit zur Winkelgeschwindigkeit gezeigt. Erhöht man von 1000 auf 3000 Umdrehungen pro Minute, steigt die Geschwindigkeit um \(3^2 = 9\). Eine Probe, die vorher 18 mm/h zurücklegte, schafft nun 162 mm/h.
Ein Dichtegradient ist eine Füllung des Zentrifugenröhrchens, deren Dichte von oben nach unten zunimmt. Beim Stufengradienten liegen Schichten fester Dichte übereinander. Ein Partikel sedimentiert durch jede Schicht geringerer Dichte. In einer dichteren Schicht schwimmt es auf. Es reichert sich deshalb dort an, wo seine Dichte zwischen der Dichte der darüber- und der darunterliegenden Schicht liegt.
So liest man das Schema mit den Schichten 1,05, 1,08 und 1,10 g/mL. Zellart A hat eine Dichte zwischen 1,05 und 1,08 g/mL und sammelt sich an der oberen Grenzfläche. Zellart B liegt zwischen 1,08 und 1,10 g/mL und bildet die Bande an der unteren Grenzfläche. Zellart C ist dichter als 1,10 g/mL und landet als Pellet am Boden. Für jede Zellart suchst du also die beiden Schichten, deren Dichten ihre eigene einrahmen.
Quiz
Aussage 1
In einem Stufengradienten aus 1,05, 1,08 und 1,10 g/mL sammeln sich Zellen der Dichte 1,09 g/mL an der Grenzfläche zwischen der 1,08- und der 1,10-g/mL-Schicht.
Die Zellen sedimentieren durch die leichteren Schichten und schwimmen in der 1,10-g/mL-Schicht auf. Sie reichern sich dort an, wo ihre Dichte zwischen den angrenzenden Schichten liegt.
Aussage 2
Verdoppelt man die Drehzahl einer Zentrifuge, verdoppelt sich die Sedimentationsgeschwindigkeit der Teilchen.
Die Geschwindigkeit ist proportional zu \(\omega^2\), also zu \(n^2\). Doppelte Drehzahl ergibt die vierfache Sedimentationsgeschwindigkeit.
Aussage 3
Von zwei gleich großen Kugeln, die stationär in derselben Flüssigkeit sinken, wirkt auf die dichtere die größere Reibungskraft.
Stationär gleicht die Reibung die Differenz aus Gewicht und Auftrieb aus. Diese Differenz ist bei der dichteren Kugel größer, sie sinkt schneller und erfährt mehr Reibung.
Aussage 4
Erwärmt man die Flüssigkeit, kann sich umkehren, welche von zwei Kugeln gleichen Materials schneller sinkt.
Die Temperatur ändert vor allem \(\eta\) und damit beide Geschwindigkeiten um denselben Faktor. Die größere Kugel bleibt die schnellere.
Aussage 5
Wird der Tröpfchendurchmesser einer Emulsion halbiert, verdoppelt sich die Aufrahmdauer.
Es gilt \(t \propto 1/r^2\). Halber Durchmesser bedeutet die vierfache Aufrahmdauer.
Aussage 6
Um aus einer Sedimentationsmessung den Stokes-Radius zu berechnen, muss man Viskosität und Dichte der Flüssigkeit kennen.
Beide Größen stehen in der nach \(r\) aufgelösten Stokes-Formel, ebenso die Teilchendichte.
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