Dichtebestimmung mit Auftrieb, Waage und Pyknometer
Wie man Dichten über Auftrieb, Mohr’sche Waage, Pyknometer und Aräometer bestimmt und aus Messwerten berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Dichte ist Masse pro Volumen. Man bestimmt sie über den Auftrieb (hydrostatische Wägung, Mohr’sche Waage, Aräometer) oder über ein bekanntes Volumen (Pyknometer).
- Wasser hat etwa 1 g/cm³, Luft bei Normbedingungen nur etwa 0,0013 g/cm³. Es gilt 1 mL = 1 cm³.
- Hydrostatische Wägung: \(\rho_K = \rho_{Fl}\cdot G/(G - F)\). Bei Aufwärtskraft steht im Nenner \(G + F_{res}\).
- Bei der Mohr’sche Waage gleichen Reiter den dichteproportionalen Auftrieb des Senkkörpers aus. Jeder Reitertyp liefert eine Dezimalstelle, die Kerbe die Ziffer.
- Das Aräometer taucht in dichteren Flüssigkeiten weniger tief ein. Sein Eintauchvolumen ist \(V = m/\rho\).
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Worum es geht
Die Dichte ist Masse pro Volumen. Sie dient in der Pharmazie zur Identitäts- und Reinheitsprüfung von Flüssigkeiten wie Ethanol oder Glycerol. Die klassischen Messverfahren nutzen entweder den Auftrieb oder ein genau bekanntes Volumen.
Dichte von Wasser und Luft
Zwei Referenzwerte sollte man im Kopf haben. Wasser hat eine Dichte von etwa 1 g/cm³. Das entspricht 1 kg/L oder 1000 kg/m³. Ein Liter Wasser wiegt also rund ein Kilogramm.
Luft ist bei Normbedingungen etwa 800-mal leichter. Ihre Dichte liegt bei rund 1,3 g/L, also 0,0013 g/cm³. Ein Wert von 0,13 g/cm³ wäre hundertmal zu groß.
1 mL = 1 cm³. Deshalb ist eine Dichte in g/mL zahlengleich mit der Angabe in g/cm³ und in kg/L.
Hydrostatische Wägung
Bei der hydrostatischen Wägung hängt ein Körper an einer Federwaage. Man misst sein Gewicht \(G\) in Luft und die Anzeige \(F\), wenn er vollständig in eine Flüssigkeit taucht. Die Differenz ist der Auftrieb \(F_A = G - F\), wie in Auftrieb und archimedisches Prinzip erklärt.
Gewicht und Auftrieb beziehen sich auf dasselbe Volumen. Daher verhalten sie sich wie die Dichten: \(\rho_K/\rho_{Fl} = G/F_A\).
\[\rho_K = \rho_{Fl}\cdot\frac{G}{G - F}\]
\(\rho_K\) Dichte des Körpers, \(\rho_{Fl}\) Dichte der Flüssigkeit, \(G\) Gewicht in Luft (N), \(F\) Anzeige in der Flüssigkeit (N).
Beispiel: Ein Körper wiegt in Luft 2,7 N, in Wasser zeigt die Waage 1,7 N. Der Auftrieb beträgt 1,0 N. Also ist \(\rho_K = 1\,\mathrm{g/cm^3}\cdot 2{,}7 = 2{,}7\,\mathrm{g/cm^3}\), typisch für Aluminium.
Ist der Körper leichter als die Flüssigkeit, drückt er nach oben. Man muss ihn mit der Kraft \(F_{res}\) unter Wasser halten. Dann gilt \(F_A = G + F_{res}\) und \(\rho_K = \rho_{Fl}\cdot G/(G + F_{res})\).
Taucht derselbe Körper in zwei Flüssigkeiten, bleibt sein Volumen gleich. Die Auftriebskräfte verhalten sich dann wie die Dichten: \(\rho_2 = \rho_1\cdot F_2/F_1\).
Mohr’sche Waage
Die Mohr’sche Waage misst die Dichte von Flüssigkeiten. Am Ende eines Waagebalkens hängt ein gläserner Senkkörper, oft mit eingebautem Thermometer. Er taucht in die Probe. Sein Auftrieb ist proportional zur Dichte der Flüssigkeit, denn sein Volumen ist fest. Die Waage beruht also auf dem Auftrieb. Mit dem Bernoulli-Effekt hat sie nichts zu tun, denn der gilt für strömende Fluide.
Der Auftrieb hebt den Balken. Kleine Gewichte, die Reiter, stellen das Gleichgewicht wieder her. Der Arm ist in zehn Kerben geteilt. Das Drehmoment eines Reiters ist sein Gewicht mal Hebelarm, also proportional zur Kerbennummer \(n\).
Der größte Reiter gleicht am Haken (Kerbe 10) genau den Auftrieb in Wasser aus. Die kleineren wiegen ein Zehntel und ein Hundertstel davon. So liefert jeder Reitertyp eine Dezimalstelle, seine Kerbe die Ziffer:
\[\rho = \sum_i g_i\cdot\frac{n_i}{10}\cdot 1\,\mathrm{g/cm^3}\]
mit dem relativen Reitergewicht \(g_i\) (1; 0,1; 0,01) und der Kerbe \(n_i\).
Beispiel: Ein großer Reiter hängt am Haken, ein zweiter großer an Kerbe 2. Der Zehntelreiter sitzt an Kerbe 4, der Hundertstelreiter an Kerbe 7. Dann ist \(\rho = 1 + 0{,}2 + 0{,}04 + 0{,}007 = 1{,}247\,\mathrm{g/cm^3}\). Der Reiter am Haken zählt mit.
Pyknometer
Das Pyknometer ist ein kleiner Glaskolben mit genau bekanntem Volumen. Ein Schliffstopfen mit Kapillarbohrung legt dieses Volumen fest. Beim Aufsetzen tritt überschüssige Flüssigkeit oben aus und wird abgewischt.
Man wiegt das Pyknometer leer und gefüllt. Die Differenz ist die Masse der Füllung, und es gilt \(\rho = m/V\).
Beispiel: Volumen 25,00 mL, leer 20,50 g, gefüllt 43,25 g. Die Füllung wiegt 22,75 g. Mit 1 mL = 1 cm³ folgt \(\rho = 22{,}75\,\mathrm{g}/25{,}00\,\mathrm{cm^3} = 0{,}910\,\mathrm{g/cm^3}\).
Aräometer
Das Aräometer, auch Senkspindel genannt, ist ein beschwerter Glasschwimmer mit Skala am Stiel. Es misst die Dichte von Flüssigkeiten nach dem archimedischen Prinzip. Für die Viskosität nutzt man andere Geräte wie das Kapillarviskosimeter.
Das Aräometer schwimmt. Es verdrängt so viel Flüssigkeit, wie es selbst wiegt. In einer dichteren Flüssigkeit reicht dafür ein kleineres Volumen, es taucht weniger tief ein. Die Werte auf der Skala steigen deshalb nach unten.
Das Eintauchvolumen folgt aus \(V = m/\rho\). Ein Aräometer von 40 g taucht in Ethanol-Wasser mit 0,80 g/cm³ also 50 cm³ tief ein. Der Stiel ist dünn, damit kleine Dichteunterschiede gut lesbar sind. Deshalb deckt ein Gerät nur einen engen Bereich ab. Für verschiedene Messbereiche braucht man unterschiedlich kalibrierte Aräometer.
Im Alltag prüft man so den Frostschutzmittelgehalt von Kühl- oder Scheibenwischwasser. Die Dichte der Mischung hängt vom Anteil des Frostschutzmittels ab.
Quiz
Aussage 1
Die Mohr’sche Waage bestimmt die Dichte über den Druckabfall in einer strömenden Flüssigkeit nach Bernoulli.
Die Mohr’sche Waage nutzt den Auftrieb eines Senkkörpers in ruhender Flüssigkeit. Er ist proportional zur Dichte und wird von Reitern ausgeglichen.
Aussage 2
Luft hat bei Normbedingungen eine Dichte von etwa 0,13 g/cm³.
Luft hat etwa 1,3 g/L, also rund 0,0013 g/cm³. Das ist etwa ein Achthundertstel der Dichte von Wasser.
Aussage 3
Um Flüssigkeiten sehr unterschiedlicher Dichte zu messen, braucht man verschieden kalibrierte Aräometer.
Ein Aräometer deckt wegen seines dünnen Stiels nur einen engen Messbereich ab.
Aussage 4
Ein Körper wiegt in Luft 3,0 N und zeigt vollständig in Wasser getaucht 2,0 N an der Federwaage. Seine Dichte beträgt dann etwa 3 g/cm³.
Der Auftrieb beträgt 1,0 N. Es folgt \(\rho_K = 1\,\mathrm{g/cm^3}\cdot 3{,}0/1{,}0 = 3\,\mathrm{g/cm^3}\).
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