Periodische und harmonische Vorgänge
Wie man periodische von harmonischen Vorgängen unterscheidet, Periodendauer und Frequenz bestimmt und den Mittelwert einer Sinusschwingung angibt.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein periodischer Vorgang wiederholt sich nach der Periodendauer \(T\) identisch; \(T\) ist der kleinste solche Abstand, gemessen zwischen gleichsinnigen Punkten.
- Harmonisch heißt ein periodischer Vorgang mit Sinusverlauf \(x_0 \sin(\omega t + \varphi)\); auch der Kosinus ist harmonisch, die Anfangsphase ist unerheblich.
- Dreieck-, Rechteck- und Sägezahnkurven sind periodisch, aber anharmonisch.
- Die Frequenz ist \(f = n/t = 1/T\); Angaben in \(\mathrm{min^{-1}}\) vor dem Kehrwert durch 60 teilen.
- Zwei gleichzeitig gestartete Schwingungen sind nach dem kgV der Periodendauern erstmals gemeinsam in der Ausgangslage.
- Der Mittelwert einer Sinusschwingung über ganze Perioden ist null, der Mittelwert ihres Betrags \(2x_0/\pi\).
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Worum es geht
Viele Vorgänge wiederholen sich in festen Zeitabständen, etwa der Herzschlag, ein schwingendes Pendel oder eine Wechselspannung. Mit Periodendauer und Frequenz beschreibt man sie quantitativ. Diese Begriffe brauchst du später bei Schwingungen, Wellen, Wechselstrom und in der Spektroskopie.
Periodische Vorgänge und Periodendauer
Ein periodischer Vorgang wiederholt sich in gleichen Zeitabständen immer wieder identisch. Man nennt ihn auch allgemein-periodisch, weil die Form der Kurve keine Rolle spielt. Entscheidend ist nur, dass nach einer festen Zeit derselbe Zustand wiederkehrt. Gemeint ist der gleiche Wert bei gleicher Richtung der Änderung.
Die Periodendauer \(T\) ist der kleinste Zeitabstand, nach dem sich ein periodischer Vorgang identisch wiederholt. Für jeden Zeitpunkt gilt dann \(x(t+T) = x(t)\).
Praktisch misst man \(T\) zwischen zwei gleichartigen, aufeinanderfolgenden Zuständen. Das können zwei Maxima sein, zwei steigende Nulldurchgänge oder zwei gleichsinnige Flanken einer Rechteckkurve. Auch nach \(2T\) oder \(3T\) wiederholt sich der Verlauf. Die Periodendauer ist aber der kleinste dieser Abstände.
Zwischen zwei benachbarten Nulldurchgängen einer Sinuskurve liegt nur \(T/2\), denn die Kurve läuft einmal nach oben und einmal nach unten durch. Erst der nächste Nulldurchgang mit gleicher Steigung schließt die Periode ab.
Periodisch sind viele Rotationen und Schwingungen. Die Erde dreht sich in fester Zeit um ihre eigene Achse. Ein gleichförmig drehendes Karussell kommt in gleichen Abständen am selben Punkt vorbei. Jede gleichförmige Kreisbewegung ist periodisch, ihre Periodendauer heißt dort Umlaufdauer. Ebenso periodisch schwingen ein Federpendel oder eine Schaukel, solange keine Reibung wirkt.
Nicht periodisch ist alles, was sich nicht identisch wiederholt. Eine gedämpfte Schwingung wird von Mal zu Mal kleiner. Ein fallender Stein kehrt nie zurück. Im \(x(t)\)-Diagramm prüfst du deshalb: Lässt sich ein Kurvenstück der Länge \(T\) lückenlos aneinanderreihen, sodass die ganze Kurve entsteht? Dann ist der Vorgang periodisch. Wächst oder schrumpft die Amplitude oder ändert sich der Abstand der Muster, ist er es nicht.
Harmonische und anharmonische Verläufe
Ein harmonischer Vorgang ist ein periodischer Vorgang, dessen Zeitverlauf einer Sinusfunktion folgt:
\[x(t) = x_0 \sin(\omega t + \varphi)\]
Dabei ist \(x_0\) die Amplitude, also die größte Auslenkung. \(\omega = 2\pi f\) ist die Kreisfrequenz in \(\mathrm{s^{-1}}\). Das Argument \(\omega t + \varphi\) heißt Phase. Sie gibt an, an welcher Stelle der Periode sich der Vorgang gerade befindet. Ihr Wert bei \(t = 0\) ist die Anfangsphase \(\varphi\). Sie legt nur den Startpunkt fest.
Eine Kosinuskurve ist deshalb ebenfalls harmonisch. Sie ist nur ein um \(\varphi = \pi/2\) verschobener Sinus, wie bei den Winkelfunktionen erklärt. Ob die Kurve bei null, im Maximum oder dazwischen startet, ändert an der Einordnung nichts. Harmonische Vorgänge sind ein Spezialfall der allgemein-periodischen. Jeder harmonische Vorgang ist also periodisch, aber nicht jeder periodische harmonisch. Die genauere Beschreibung folgt bei der harmonischen Schwingung.
Ein periodischer Vorgang mit anderer Kurvenform heißt anharmonisch. Drei Formen tauchen immer wieder auf:
| Verlauf | Kurvenform | periodisch | harmonisch |
|---|---|---|---|
| Dreieck | gerade Anstiege und Abfälle mit Spitzen | ja | nein |
| Rechteck | Sprünge zwischen zwei festen Werten | ja | nein |
| Sägezahn | linearer Anstieg, dann steiler Rückfall | ja, bei gleichmäßiger Wiederholung | nein |
Alle drei haben eine definierte Periodendauer, die man genauso abliest wie beim Sinus. Dass Dreieck-, Rechteck- und Sägezahnkurven periodisch, aber anharmonisch sind, wird im Examen gerne gefragt. Achte darauf, dass allein die Kurvenform über „harmonisch“ entscheidet, die Regelmäßigkeit nur über „periodisch“.
Sollst du aus mehreren Diagrammen die harmonischen auswählen, gehst du in zwei Schritten vor. Zuerst prüfst du, ob sich der Verlauf identisch wiederholt. Dann suchst du die glatte, gerundete Sinusform ohne Knicke und Sprünge. Spitzen deuten auf ein Dreieck, senkrechte Flanken auf Rechteck oder Sägezahn.
Frequenz
Die Frequenz \(f\) zählt, wie viele Perioden in einer Zeiteinheit ablaufen. Laufen in der Zeit \(t\) genau \(n\) vollständige Perioden ab, ergibt sich die Frequenz als Quotient. Da eine Periode die Zeit \(T\) dauert, ist die Frequenz zugleich der Kehrwert der Periodendauer.
\[f = \frac{n}{t} = \frac{1}{T} \qquad T = \frac{1}{f}\]
Die Einheit der Frequenz ist \(1\ \mathrm{Hz} = 1\ \mathrm{s^{-1}}\). Statt \(f\) schreibt man oft auch \(\nu\).
Eine lange Periode bedeutet also eine kleine Frequenz und umgekehrt. Verdoppelt sich \(T\), halbiert sich \(f\).
Der Kehrwertzusammenhang \(f = 1/T\) ist ein Examensklassiker, meist verpackt in eine Umrechnung. Achte auf die Einheiten: Eine Angabe in \(\mathrm{min^{-1}}\) erst durch 60 teilen, dann den Kehrwert bilden und das Ergebnis bei Bedarf in ms angeben.
Ein Puls von 90 Schlägen pro Minute zeigt den Rechenweg:
- Umrechnen: \(90\ \mathrm{min^{-1}} = \frac{90}{60}\ \mathrm{s^{-1}} = 1{,}5\ \mathrm{s^{-1}}\).
- Kehrwert bilden: \(T = \frac{1}{1{,}5\ \mathrm{s^{-1}}} \approx 0{,}667\ \mathrm{s}\).
- In ms angeben: \(T \approx 667\ \mathrm{ms}\).
Im Zeitdiagramm liest du \(T\) als Abstand zweier gleichwertiger Punkte aufeinanderfolgender Muster ab. Bei einer Rechteckkurve sind das zwei gleichsinnige Flanken. Bei einer sich wiederholenden Impulsfolge nimmt man etwa zwei Impulsanfänge. Genauer wird es über mehrere Perioden: In einem bemaßten Intervall \(\Delta t\) zählt man \(n\) vollständige Perioden, etwa bei einer Sägezahnspannung, und rechnet \(T = \Delta t / n\).
Am Oszilloskop gilt dasselbe. Die Durchlaufzeit ist Kästchenzahl mal Zeitablenkung. In der Abbildung sind das 10 Kästchen zu je 0,5 ms, also \(t = 5\ \mathrm{ms}\). Darin liegen drei vollständige Perioden:
\[f = \frac{n}{t} = \frac{3}{5 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{s}} = 600\ \mathrm{Hz}\]
Die Periodendauer beträgt entsprechend \(T = 5\ \mathrm{ms}/3 \approx 1{,}67\ \mathrm{ms}\). Zähle nur vollständige Perioden und beginne und ende an gleichsinnigen Punkten.
Zwei Schwingungen im Vergleich
Starten zwei Pendel gleichzeitig aus der Ausgangslage, kehrt jedes nach seiner eigenen Periodendauer dorthin zurück. Das erste ist nach \(T_1\), \(2T_1\), \(3T_1\) usw. wieder dort, das zweite nach \(T_2\), \(2T_2\) usw. Gemeinsam sind beide erst, wenn die verstrichene Zeit ein Vielfaches beider Periodendauern ist. Das erste Treffen liegt beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von \(T_1\) und \(T_2\).
Sind Frequenzen gegeben, rechnest du zuerst in Periodendauern um. Ein Beispiel mit \(f_1 = 1{,}25\ \mathrm{Hz}\) und \(f_2 = 2\ \mathrm{Hz}\):
- Periodendauern: \(T_1 = 1/(1{,}25\ \mathrm{Hz}) = 0{,}8\ \mathrm{s}\) und \(T_2 = 1/(2\ \mathrm{Hz}) = 0{,}5\ \mathrm{s}\).
- Vielfache auflisten: Für \(T_1\) ergeben sich 0,8 s, 1,6 s, 2,4 s, 3,2 s, 4,0 s. Für \(T_2\) ergeben sich 0,5 s, 1,0 s, 1,5 s und so weiter bis 4,0 s.
- kgV ablesen: Der erste gemeinsame Wert ist 4,0 s. Das erste Pendel hat dann 5 Schwingungen ausgeführt, das zweite 8.
Die Frequenzen zu addieren oder zu mitteln führt hier nicht weiter. Es zählt allein, wann beide eine ganze Zahl von Perioden vollendet haben.
Mittelwert harmonischer Vorgänge
Der zeitliche Mittelwert einer Größe ist ihr Durchschnitt über ein Zeitintervall. Für eine harmonische Auslenkung \(x(t) = x_0 \sin(\omega t + \varphi)\) ist er über ganze Perioden null. Die positive und die negative Halbwelle schließen gleich große Flächen mit der Zeitachse ein und heben sich auf. Die Anfangsphase \(\varphi\) ändert daran nichts. Eine ganze Periode enthält immer beide Halbwellen vollständig, egal wo sie beginnt.
Anders beim Betrag \(|x(t)|\). Hier werden die negativen Halbwellen nach oben geklappt, und nichts hebt sich mehr auf. Der Mittelwert des Betrags beträgt \(\frac{2x_0}{\pi} \approx 0{,}64\,x_0\).
Vom Mittelwert zu unterscheiden ist der Momentanwert \(x(t)\). Er schwankt ständig zwischen \(-x_0\) und \(+x_0\). Ein Mittelwert von null heißt also nicht, dass nichts schwingt. Er besagt nur, dass die Auslenkung symmetrisch um die Ruhelage liegt. Wie man beim Wechselstrom mit dem quadratischen Mittel weiterrechnet, zeigt die Seite Effektivwert und Scheitelwert.
Quiz
Aussage 1
Zwischen zwei benachbarten Nulldurchgängen einer Sinuskurve liegt eine volle Periodendauer.
Benachbarte Nulldurchgänge haben entgegengesetzte Steigung und liegen nur \(T/2\) auseinander. Eine volle Periode reicht bis zum nächsten gleichsinnigen Nulldurchgang.
Aussage 2
Der zeitliche Mittelwert des Betrags einer Sinusschwingung mit Amplitude \(x_0\) beträgt über ganze Perioden \(2x_0/\pi\).
Beim Betrag heben sich die Halbwellen nicht auf. Der Mittelwert liegt bei etwa \(0{,}64\,x_0\), während der Mittelwert von \(x(t)\) selbst null ist.
Aussage 3
Ein gleichförmig drehendes Karussell ist ein periodischer Vorgang.
Jede gleichförmige Kreisbewegung wiederholt sich nach der Umlaufdauer identisch.
Aussage 4
Eine Rechteckschwingung mit konstanter Periodendauer ist periodisch, aber anharmonisch.
Sie wiederholt sich identisch, folgt aber keiner Sinusfunktion.
Aussage 5
Eine Kosinusschwingung gilt nicht als harmonisch, weil sie nicht bei null beginnt.
Der Kosinus ist ein um \(\pi/2\) verschobener Sinus und damit harmonisch. Die Anfangsphase ist für die Einordnung unerheblich.
Aussage 6
Ein Vorgang mit der Frequenz \(120\ \mathrm{min^{-1}}\) hat eine Periodendauer von 500 ms.
\(120\ \mathrm{min^{-1}} = 2\ \mathrm{s^{-1}}\), also \(T = 1/f = 0{,}5\ \mathrm{s} = 500\ \mathrm{ms}\).
Aussage 7
Zwei gleichzeitig gestartete Pendel mit \(T_1 = 0{,}4\ \mathrm{s}\) und \(T_2 = 0{,}6\ \mathrm{s}\) sind erstmals nach 0,24 s wieder gemeinsam in der Ausgangslage.
Maßgeblich ist das kleinste gemeinsame Vielfache, nicht das Produkt. Es beträgt 1,2 s (3 bzw. 2 Perioden).
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