Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit
Wie Material, Länge und Querschnitt den Widerstand und den Leitwert eines Leiters festlegen und wie man daraus die Leitfähigkeit eines Stoffes oder einer Lösung berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Der spezifische Widerstand \(\rho\) ist eine Materialkonstante in \(\Omega \cdot \mathrm{m}\). Zusammen mit Länge und Querschnitt bestimmt er den Widerstand eines Leiters: \(R = \rho\, l/A\).
- Für einen homogenen Draht gilt \(R \sim l\) und \(R \sim 1/A\): doppelte Länge, doppelter Widerstand, doppelte Fläche, halber Widerstand.
- Die Querschnittsfläche wächst mit dem Quadrat des Durchmessers. Bei gleicher Spannung und gleichem Material ordnet man Ströme über \(I \sim d^2/l\).
- Beim Einsetzen gilt \(1\ \mathrm{mm^2} = 10^{-6}\ \mathrm{m^2}\). Zwei Materialhälften in Stromrichtung ergeben addierte Teilwiderstände.
- Die elektrische Leitfähigkeit ist \(\gamma = 1/\rho\) in \(\mathrm{S/m}\). Der Leitwert eines homogenen Leiters ist \(G = \gamma A/l\).
- Die spezifische Leitfähigkeit einer Lösung folgt aus \(\kappa = l/(R \cdot A)\) und ist unabhängig von Elektrodenabstand und -fläche.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Der Widerstand eines Leiters hängt von seinem Material und seinen Abmessungen ab. Mit derselben Formel berechnet man den Widerstand eines Kupferkabels und die Leitfähigkeit von gereinigtem Wasser, die in der Pharmazie als Reinheitskriterium in \(\mathrm{\mu S/cm}\) angegeben wird.
Widerstand zylindrischer Leiter
Ein Draht bremst die Elektronen umso stärker, je länger ihr Weg durch ihn ist. Je dicker er ist, desto mehr Ladungsträger fließen nebeneinander. Hinzu kommt das Material. Den Widerstand als Verhältnis von Spannung und Strom kennst du aus Widerstand, Leitwert und Ohm’sches Gesetz. Alle drei Einflüsse fasst eine Formel zusammen:
\[R = \rho \cdot \frac{l}{A}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(R\) | Widerstand des Leiters | \(\Omega\) |
| \(\rho\) | spezifischer Widerstand des Materials | \(\Omega \cdot \mathrm{m}\) |
| \(l\) | Länge des Leiters in Stromrichtung | \(\mathrm{m}\) |
| \(A\) | Querschnittsfläche senkrecht zum Strom | \(\mathrm{m^2}\) |
Der spezifische Widerstand \(\rho\) ist eine Materialkonstante. Er entspricht dem Widerstand eines Würfels von 1 m Kantenlänge aus diesem Stoff. Kupfer liegt bei etwa \(1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \mathrm{m}\), Eisen ungefähr sechsmal höher. Zwei gleich lange und gleich dicke Drähte aus Kupfer und Eisen haben deshalb verschiedene Widerstände. Zur Abgrenzung von der Dichte schreibt man oft \(\rho_{\mathrm{el}}\).
Tabellen nennen häufig die praktische Einheit \(\Omega \cdot \mathrm{mm^2/m}\). Für Kupfer sind das 0,017. Die Werte gelten für eine feste Temperatur, meist 20 °C. Wie sie sich mit der Temperatur ändern, zeigt Elektronenleitung in Metallen.
\(R = \rho\, l/A\) ist ein Examensklassiker. Achte darauf, dass die Länge im Zähler und die Fläche im Nenner steht, dass \(A\) in \(\mathrm{m^2}\) eingeht und ein gegebener Durchmesser quadratisch zählt.
Proportionalitäten
Man kann sich den Draht wie einen Flur vorstellen, durch den sich eine Menschenmenge schiebt. Ein doppelt so langer Flur hält doppelt so lange auf. Ein doppelt so breiter lässt doppelt so viele gleichzeitig durch. Für einen homogenen Metalldraht gilt also \(R \sim l\) und \(R \sim 1/A\): doppelte Länge, doppelter Widerstand. Doppelte Fläche, halber Widerstand.
Das lässt sich auch als Schaltung lesen. Zwei gleiche Drähte hintereinander wirken wie ein doppelt so langer Draht, ihre Widerstände addieren sich. Zwei Drähte nebeneinander wirken wie einer mit doppelter Fläche, der Strom teilt sich auf. Die Regeln dazu stehen bei Reihenschaltung und Parallelschaltung.
Querschnitt und Durchmesser
Bei runden Leitern ist meist der Durchmesser \(d\) angegeben. Die Kreisfläche ist \(A = \pi r^2 = \pi d^2/4\). Sie wächst also mit dem Quadrat des Durchmessers. Ein doppelt so dicker Draht hat die vierfache Fläche und nur ein Viertel des Widerstands.
Daraus folgt eine schnelle Regel für Rangfolgen. Bei gleicher Spannung und gleichem Material gilt \(I = U/R \sim d^2/l\). Man bildet für jeden Leiter die Kennzahl \(d^2/l\) und ordnet. Den Faktor \(\pi\) braucht man dafür nicht. Der Zylinder mit 2 m und 2 mm erreicht die Kennzahl 2, der mit 1 m und 1 mm die Kennzahl 1, der mit 0,5 m und 0,5 mm nur 0,5. Der längste führt hier den größten Strom, weil sein Durchmesser quadratisch eingeht.
Rechenbeispiel: Kabelwiderstand
Eine Kupferader in einem Verlängerungskabel ist 50 m lang und hat 1,5 mm² Querschnitt. Gesucht ist ihr Widerstand.
- Werte notieren: \(\rho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \mathrm{m}\), \(l = 50\ \mathrm{m}\), \(A = 1{,}5\ \mathrm{mm^2}\).
- Fläche umrechnen: \(1\ \mathrm{mm^2} = 10^{-6}\ \mathrm{m^2}\), also \(A = 1{,}5 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}\).
- Einsetzen: \(R = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \mathrm{m} \cdot \frac{50\ \mathrm{m}}{1{,}5 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}}\).
- Ergebnis: \(R \approx 0{,}57\ \Omega\). Probe mit der Tabelleneinheit: \(0{,}017 \cdot 50/1{,}5 \approx 0{,}57\).
Flächen rechnen sich mit dem Quadrat des Längenfaktors um: \(1\ \mathrm{mm^2} = 10^{-6}\ \mathrm{m^2}\) und \(1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\). Längen in cm werden durch 100 geteilt. Bei gegebenem Durchmesser gilt \(A = \pi d^2/4\) und nicht \(\pi d^2\).
Leiter aus zwei Materialien
Besteht ein Quader in Stromrichtung aus zwei Hälften verschiedener Stoffe, durchläuft der Strom beide nacheinander. Jede Hälfte ist ein Teilwiderstand der Länge \(l/2\), und beide addieren sich. Ist die zweite Hälfte aus einem Material mit \(\rho_2 = 3\rho_1\), ergibt sich:
\[R' = \rho_1 \frac{l/2}{A} + 3\rho_1 \frac{l/2}{A} = 2\,\rho_1 \frac{l}{A}\]
Der Quader hat also den doppelten Widerstand eines gleich großen Quaders ganz aus Material 1.
Leitwert und Leitfähigkeit
Der Leitwert \(G\) ist der Kehrwert des Widerstands und wird in Siemens angegeben, \(1\ \mathrm{S} = 1\ \Omega^{-1}\). Für einen homogenen Leiter kehrt sich die Formel einfach um:
\[G = \frac{1}{R} = \gamma \cdot \frac{A}{l}\]
Der Leitwert wächst mit der Leitfähigkeit \(\gamma\) und mit der Querschnittsfläche. Mit der Länge sinkt er, es gilt \(G \sim 1/l\). Umgekehrt ist der Widerstand eines Drahtes umgekehrt proportional zur Leitfähigkeit seines Materials.
Die elektrische Leitfähigkeit ist der Kehrwert des spezifischen Widerstands, \(\gamma = 1/\rho\), mit der Einheit \(\mathrm{S/m}\). Je nach Fachgebiet heißt ihr Symbol \(\gamma\), \(\sigma\) oder \(\kappa\).
Für Kupfer ergibt sich etwa \(6 \cdot 10^{7}\ \mathrm{S/m}\). Wer Kehrwerte verwechselt, erkennt es an der Einheit: \(\Omega \cdot \mathrm{m}\) gehört zum spezifischen Widerstand, \(\mathrm{S/m}\) zur Leitfähigkeit.
Leitfähigkeit einer Lösung
Dasselbe Prinzip gilt für Elektrolytlösungen. In einer Messzelle stehen sich zwei Plattenelektroden der Fläche \(A\) im Abstand \(l\) gegenüber. Die Lösung dazwischen verhält sich wie ein Leiter mit genau diesen Abmessungen. Aus dem gemessenen Widerstand folgt die spezifische Leitfähigkeit:
\[\kappa = \frac{1}{\rho} = \frac{l}{R \cdot A}\]
Rückt man die Platten auseinander, steigt \(R\) im selben Verhältnis wie \(l\). Der Quotient bleibt gleich. Größere Platten senken \(R\), aber auch dann ändert sich \(\kappa\) nicht. Die spezifische Leitfähigkeit ist also unabhängig von Elektrodenabstand und Elektrodenfläche und beschreibt nur die Lösung. Warum Ionen den Strom tragen, behandelt Ionenleitung in Elektrolytlösungen.
Ein Beispiel: Eine Zelle hat Elektroden von 1,0 cm² im Abstand von 0,50 cm. Gemessen werden 2,5 kΩ.
- Einheiten wählen: Für ein Ergebnis pro cm bleibt man in cm: \(l = 0{,}50\ \mathrm{cm}\), \(A = 1{,}0\ \mathrm{cm^2}\), \(R = 2{,}5 \cdot 10^{3}\ \Omega\).
- Einsetzen: \(\kappa = \frac{0{,}50\ \mathrm{cm}}{2{,}5 \cdot 10^{3}\ \Omega \cdot 1{,}0\ \mathrm{cm^2}} = 2{,}0 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{S/cm}\).
- Umrechnen: Mit \(1\ \mathrm{S} = 10^{6}\ \mathrm{\mu S}\) folgt \(\kappa = 200\ \mathrm{\mu S/cm}\). Im SI sind das \(0{,}020\ \mathrm{S/m}\).
Typische Fehler sind hier ein vertauschtes Verhältnis \(A/l\) statt \(l/A\) und ein Wechsel zwischen cm und m mitten in der Rechnung. Wer alle Größen in einer Längeneinheit hält, vermeidet beides.
Quiz
Aussage 1
Ein Leiterquerschnitt von 2,5 mm² entspricht \(2{,}5 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^2}\).
Flächen rechnen sich mit dem Quadrat des Längenfaktors um. Richtig ist \(2{,}5 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}\).
Aussage 2
Vergrößert man in einer Leitfähigkeitsmesszelle den Abstand der Elektroden, steigt der gemessene Widerstand, während die spezifische Leitfähigkeit der Lösung gleich bleibt.
\(R\) wächst proportional zu \(l\), der Quotient \(l/(R \cdot A)\) bleibt konstant. Die spezifische Leitfähigkeit ist eine Eigenschaft der Lösung.
Aussage 3
Liegt an drei Drähten aus demselben Material dieselbe Spannung, fließt der größte Strom durch den Draht mit der größten Kennzahl \(d^2/l\).
Aus \(R = \rho\, l/A\) und \(A \sim d^2\) folgt bei gleicher Spannung \(I \sim d^2/l\).
Aussage 4
Der Leitwert eines homogenen Drahtes nimmt mit wachsender Drahtlänge zu.
Nach \(G = \gamma A/l\) ist der Leitwert umgekehrt proportional zur Länge. Ein längerer Draht hat einen kleineren Leitwert.
Aussage 5
Zwei Drähte gleicher Länge und gleichen Querschnitts, einer aus Kupfer und einer aus Eisen, haben denselben Widerstand.
Der Widerstand hängt über den spezifischen Widerstand vom Material ab. Eisen hat einen etwa sechsmal höheren Wert als Kupfer, der Eisendraht also den größeren Widerstand.
Aussage 6
Die elektrische Leitfähigkeit hat im SI die Einheit \(\Omega \cdot \mathrm{m}\).
\(\Omega \cdot \mathrm{m}\) ist die Einheit des spezifischen Widerstands. Die Leitfähigkeit als dessen Kehrwert hat die Einheit \(\mathrm{S/m}\).
Aussage 7
Verdoppelt man bei einem Kupferdraht gleichzeitig Länge und Durchmesser, halbiert sich sein Widerstand.
Es gilt \(R \sim l/d^2\). Doppelte Länge verdoppelt \(R\), doppelter Durchmesser viertelt ihn. Insgesamt bleibt die Hälfte.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.