Maximale Unsicherheit bei Potenzen und Potenzprodukten
Wie Exponenten die relativen Unsicherheiten von Messgrößen gewichten und wie man daraus die maximale Unsicherheit von Flächen, Volumina, Dichten und der Fallbeschleunigung berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Hängt eine Größe von Potenzen oder Potenzprodukten von Messgrößen ab, wirkt jeder Exponent als Gewichtungsfaktor für die relative Unsicherheit der zugehörigen Messgröße.
- Bei \(V \propto x^n\) gilt \(\frac{\Delta V}{V} = n\frac{\Delta x}{x}\): Kreisfläche und Kugeloberfläche doppelt, Kugelvolumen dreifach, Kreisumfang einfach.
- Der absolute Fehler des Würfelvolumens ist \(\Delta V = 3a^2\,\Delta a\), der relative \(3\frac{\Delta a}{a}\).
- Bei Potenzprodukten gilt \(\frac{\Delta X}{X} = \sum |n_i|\frac{\Delta x_i}{x_i}\): Beträge der Exponenten, alle Beiträge werden addiert, auch aus dem Nenner.
- Für \(g = 2s/t^2\) gilt \(\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta s}{s} + 2\frac{\Delta t}{t}\), die Zeitmessung zählt doppelt.
- Für die Dichte von Würfel oder Kugel gilt \(\frac{\Delta\rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3\frac{\Delta a}{a}\) bzw. \(+\,3\frac{\Delta d}{d}\).
Worum es geht
Viele Ergebnisse im Labor entstehen aus Messgrößen, die als Potenz in eine Formel eingehen: der Durchmesser einer Tablette in ihre Fläche, die Kantenlänge eines Würfels in sein Volumen. Die Unsicherheit der Messgröße wird dabei durch den Exponenten verstärkt. Diese Einheit baut auf der maximalen Unsicherheit bei Summen und Produkten auf und zeigt, wie man solche Ergebnisse schnell und sicher abschätzt.
Einzelne Potenz
Eine Potenz ist nichts anderes als ein Produkt gleicher Faktoren. \(a^3\) ist \(a \cdot a \cdot a\). Bei Produkten addieren sich die relativen Unsicherheiten der Faktoren. Also trägt \(a\) seine relative Unsicherheit dreimal bei.
Allgemein gilt: Ist eine Größe proportional zu \(x^n\), so ist ihre maximale relative Unsicherheit das \(n\)-fache der relativen Unsicherheit von \(x\). Der Exponent wirkt wie ein Gewichtungsfaktor.
\[\frac{\Delta V}{V} = n\,\frac{\Delta x}{x}\]
Hängt eine Größe nur linear von der Messgröße ab (\(n = 1\)), sind beide relativen Unsicherheiten gleich. Konstante Vorfaktoren wie \(\pi\) oder \(\tfrac{1}{4}\) sind exakt bekannt. Sie ändern die relative Unsicherheit nicht.
Warum der Exponent zum Faktor wird
Am Quadrat sieht man es direkt. Vergrößert man die Seite \(a\) um \(\Delta a\), kommen zwei Streifen mit je \(a\,\Delta a\) hinzu. Das kleine Eckquadrat \((\Delta a)^2\) ist bei kleinen Unsicherheiten vernachlässigbar. Es bleibt \(\Delta A \approx 2a\,\Delta a\). Teilt man durch \(A = a^2\), erhält man \(\frac{\Delta A}{A} = 2\frac{\Delta a}{a}\).
Beim Würfel legen sich entsprechend drei dünne Platten mit je \(a^2\,\Delta a\) auf drei Seitenflächen. Kanten- und Eckstücke sind wieder winzig. Daraus folgt der absolute Fehler des Würfelvolumens \(\Delta V = 3a^2\,\Delta a\). Geteilt durch \(V = a^3\) ergibt sich \(\frac{\Delta V}{V} = 3\frac{\Delta a}{a}\).
Kreis, Kugel und Würfel
Für die gängigen Körper reicht ein Blick auf den Exponenten des Durchmessers oder der Kante. Die Formeln selbst findest du bei den geometrischen Körpern.
| Größe | Formel | Exponent | max. relative Unsicherheit |
|---|---|---|---|
| Kreisumfang | \(U = \pi d\) | 1 | \(\frac{\Delta d}{d}\) |
| Kreisfläche | \(A = \frac{\pi}{4} d^2\) | 2 | \(2\frac{\Delta d}{d}\) |
| Kugeloberfläche | \(A = \pi d^2\) | 2 | \(2\frac{\Delta d}{d}\) |
| Kugelvolumen | \(V = \frac{\pi}{6} d^3\) | 3 | \(3\frac{\Delta d}{d}\) |
| Würfelvolumen | \(V = a^3\) | 3 | \(3\frac{\Delta a}{a}\) |
Fläche heißt doppelt, Volumen heißt dreifach, Umfang bleibt einfach: Die Dimension verrät den Faktor.
Rechnen mit Fläche und Volumen
Ein Pressling hat den Durchmesser \(d = (20{,}0 \pm 0{,}1)\) mm. Zuerst bildest du den relativen Fehler des Durchmessers: \(0{,}1/20{,}0 = 0{,}5\,\%\). Die Kreisfläche des Querschnitts hat dann eine maximale relative Unsicherheit von \(2 \cdot 0{,}5\,\% = 1\,\%\). Für das Volumen einer Kugel mit demselben Durchmesser wären es \(3 \cdot 0{,}5\,\% = 1{,}5\,\%\). Der Umfang bliebe bei \(0{,}5\,\%\).
Oft ist der absolute Fehler gefragt. Ein Würfel hat die Kante \(a = (2{,}0 \pm 0{,}1)\) cm. Dann ist
\[\Delta V = 3a^2\,\Delta a = 3 \cdot (2{,}0\ \mathrm{cm})^2 \cdot 0{,}1\ \mathrm{cm} = 1{,}2\ \mathrm{cm^3}\]
Bei \(V = 8{,}0\ \mathrm{cm^3}\) entspricht das \(15\,\%\). Das passt zur Regel: dreimal \(5\,\%\).
Der Faktor \(n\) gilt für die relative Unsicherheit. Die absolute Unsicherheit \(\Delta a\) wird nicht einfach verdreifacht, sondern es gilt \(\Delta V = 3a^2\,\Delta a\).
Potenzprodukte
Viele Größen hängen von mehreren Messgrößen ab, jede mit eigenem Exponenten. Man nennt solche Formeln Potenzprodukte. Quotienten gehören dazu, denn ein Teilen durch \(t^2\) ist dasselbe wie ein Faktor \(t^{-2}\).
Die Regel verbindet beide Gedanken der vorigen Seiten. Jede relative Unsicherheit wird mit dem Betrag ihres Exponenten gewichtet. Dann werden alle Beiträge addiert.
Für \(X = c \cdot x_1^{n_1} \cdot x_2^{n_2} \cdots\) gilt
\[\frac{\Delta X}{X} = \sum_i |n_i|\,\frac{\Delta x_i}{x_i}\]
\(c\) ist ein exakter Zahlenfaktor, \(x_i\) sind die Messgrößen, \(n_i\) ihre Exponenten.
Warum der Betrag? Die maximale Unsicherheit beschreibt den ungünstigsten Fall. Dann wirken alle Abweichungen in dieselbe Richtung auf das Ergebnis. Ist \(t\) etwas zu klein gemessen, wird \(t^{-2}\) zu groß. Diese Abweichung kann sich zu einem zu großen \(s\) addieren, aber nie ausgleichen. Ein negativer Exponent senkt die Unsicherheit daher nie. Bruchexponenten funktionieren genauso: Eine Wurzel mit \(n = \tfrac{1}{2}\) halbiert den Beitrag.
- Formel aufstellen: Größe als Produkt von Potenzen schreiben, Quotienten als negative Exponenten.
- Relativ machen: Für jede Messgröße \(\frac{\Delta x_i}{x_i}\) bilden.
- Gewichten: Jeden Wert mit \(|n_i|\) multiplizieren.
- Addieren: Summe ist die maximale relative Unsicherheit, bei Bedarf mal \(X\) für die absolute.
Fallbeschleunigung aus Weg und Zeit
Beim freien Fall aus der Ruhe gilt \(s = \tfrac{1}{2} g t^2\). Umgestellt ist \(g = \frac{2s}{t^2}\). Der Weg steht mit Exponent 1 im Zähler, die Zeit mit Exponent \(-2\) im Nenner. Der Faktor 2 ist exakt.
\[\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta s}{s} + 2\,\frac{\Delta t}{t}\]
Eine Kugel fällt \(s = (1{,}250 \pm 0{,}005)\) m in \(t = (0{,}500 \pm 0{,}005)\) s. Der Weg ist auf \(0{,}4\,\%\) genau, die Zeit auf \(1{,}0\,\%\). Die Zeit zählt doppelt und liefert \(2{,}0\,\%\). Zusammen ergibt sich \(2{,}4\,\%\). Mit \(g = 10{,}0\ \mathrm{m/s^2}\) beträgt die absolute Unsicherheit \(0{,}24\ \mathrm{m/s^2}\).
Wie der Balken zeigt, bestimmt die Zeitmessung das Ergebnis. Wer \(g\) genauer messen will, muss also vor allem die Zeit besser erfassen.
Die Unsicherheit von \(g = 2s/t^2\) ist ein Examensklassiker: \(\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta s}{s} + 2\frac{\Delta t}{t}\). Achte darauf, dass die Zeit wegen des Quadrats doppelt zählt und trotz Nenner addiert wird, und dass der Faktor 2 keinen Beitrag liefert.
Dichte von Würfel oder Kugel
Die Dichte eines Würfels ist \(\rho = m/a^3\). Die Masse geht mit Exponent 1 ein, die Kante mit \(-3\). Daraus folgt
\[\frac{\Delta\rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3\,\frac{\Delta a}{a}\]
Für eine Kugel ist \(\rho = \frac{6m}{\pi d^3}\). Der Vorfaktor \(\tfrac{6}{\pi}\) ist exakt, also gilt dieselbe Form mit dem Durchmesser: \(\frac{\Delta\rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3\frac{\Delta d}{d}\).
Ein Würfel wiegt \(m = (50{,}0 \pm 0{,}1)\) g, das sind \(0{,}2\,\%\). Seine Kante misst \(a = (2{,}00 \pm 0{,}01)\) cm, also \(0{,}5\,\%\). Die Dichte ist dann auf \(0{,}2\,\% + 3 \cdot 0{,}5\,\% = 1{,}7\,\%\) genau. Auch hier dominiert die Längenmessung, weil sie dreifach zählt.
Quiz
Aussage 1
Der Faktor 2 in \(g = 2s/t^2\) erhöht die relative Unsicherheit von \(g\) zusätzlich.
Exakte Zahlenfaktoren haben keine Unsicherheit. Der Faktor 2 vor \(\frac{\Delta t}{t}\) stammt allein aus dem Exponenten von \(t\).
Aussage 2
Misst man den Durchmesser einer Kugel mit einer relativen Unsicherheit von 1 %, so ist das Kugelvolumen auf maximal 3 % unsicher.
Das Kugelvolumen ist proportional zu \(d^3\), die relative Unsicherheit verdreifacht sich.
Aussage 3
Die maximale relative Unsicherheit des Kreisumfangs ist doppelt so groß wie die des Durchmessers.
\(U = \pi d\) hängt linear von \(d\) ab, daher sind beide relativen Unsicherheiten gleich. Doppelt gilt für die Kreisfläche.
Aussage 4
Steht eine Messgröße im Nenner, wird ihr gewichteter relativer Fehler bei der Berechnung der maximalen Unsicherheit abgezogen.
Man addiert immer die mit dem Betrag des Exponenten gewichteten Beiträge, weil im ungünstigsten Fall alle Abweichungen in dieselbe Richtung wirken.
Aussage 5
Für die Dichte einer Kugel aus Masse und Durchmesser gilt \(\frac{\Delta\rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta d}{d}\).
Die Dichte hängt über das Volumen von \(d^3\) ab, richtig ist \(\frac{\Delta\rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3\frac{\Delta d}{d}\).
Aussage 6
Wird \(g = 2s/t^2\) aus einem auf 0,5 % genauen Weg und einer auf 1 % genauen Zeit bestimmt, beträgt die maximale relative Unsicherheit von \(g\) 2,5 %.
\(\frac{\Delta g}{g} = 0{,}5\,\% + 2 \cdot 1\,\% = 2{,}5\,\%\).
Aussage 7
Für einen Würfel mit Kantenlänge \(a\) und Unsicherheit \(\Delta a\) beträgt der maximale absolute Fehler des Volumens \(3a^2\,\Delta a\).
Drei Platten mit je \(a^2\,\Delta a\) bilden den Volumenzuwachs, Kanten- und Eckstücke sind vernachlässigbar.
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