Elektrischer Widerstand und Temperatur
Wie sich der elektrische Widerstand von Metallen, Halbleitern und Elektrolytlösungen beim Erwärmen ändert, wie man ihn für Metalle berechnet und wie Widerstandsthermometer das nutzen.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Temperaturkoeffizient des Widerstands \(\alpha\) beschreibt, wie stark sich der Widerstand eines Stoffs je Kelvin ändert, und ist die Grundlage von Widerstandsthermometern.
- Bei Metallen steigt der Widerstand linear mit der Temperatur, \(R = R_0(1+\alpha\Delta T)\), die Leitfähigkeit sinkt, weil Gitterschwingungen die Elektronen stärker streuen.
- Bei Halbleitern sinkt der Widerstand beim Erwärmen, weil ihre Energielücke kleiner ist als bei Isolatoren und zunehmend Elektronen ins Leitungsband und Defektelektronen ins Valenzband gelangen.
- Ein Widerstandsthermometer misst über \(R = U/I\); Metallfühler wie Pt100 steigen nahezu linear an, Halbleiterfühler fallen ab, eine Kontaktspannung nutzt nur das Thermoelement.
- In wässrigen Elektrolyten steigt die Leitfähigkeit mit der Temperatur, weil die Ionen bei sinkender Viskosität schneller wandern.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Ob ein Stoff beim Erwärmen besser oder schlechter leitet, hängt von seinen Ladungsträgern ab. Metalle, Halbleiter und Elektrolytlösungen verhalten sich dabei unterschiedlich. Darauf beruhen Widerstandsthermometer, die in Labor und Arzneimittelherstellung Temperaturen überwachen.
Metalle
In einem Metall ist die Zahl der freien Elektronen praktisch unabhängig von der Temperatur. Was sich ändert, ist ihre Beweglichkeit. Die Gitteratome schwingen beim Erwärmen stärker und stellen sich den Elektronen öfter in den Weg. Man kann sich das wie eine Menschenmenge vorstellen, durch die man umso schwerer kommt, je unruhiger sie wird.
Der Widerstand steigt deshalb, die Leitfähigkeit sinkt. Metalle heißen darum auch Kaltleiter. Das gilt für den Widerstand \(R\) eines Drahts ebenso wie für den spezifischen Widerstand \(\rho\) des Materials. Beide Größen sind bei Widerstand und Ohm’schem Gesetz eingeführt. In einem nicht zu großen Temperaturbereich ist der Anstieg linear.
\[R = R_0\,(1 + \alpha\,\Delta T) \qquad \Delta R = R_0\cdot\alpha\cdot\Delta T\]
\(R_0\): Widerstand bei der Bezugstemperatur in Ω, \(\alpha\): Temperaturkoeffizient des Widerstands in 1/K, \(\Delta T\): Temperaturdifferenz in K.
Der Temperaturkoeffizient des Widerstands \(\alpha\) gibt an, um welchen Bruchteil von \(R_0\) sich der Widerstand je Kelvin ändert. Für reine Metalle ist er positiv und liegt um \(4\cdot10^{-3}\) 1/K, bei Kupfer etwa \(3{,}9\cdot10^{-3}\) 1/K. Eine Temperaturdifferenz ist in Kelvin und Grad Celsius gleich groß. Man darf \(\Delta T\) also direkt aus Celsius-Werten bilden (Temperaturskalen).
Rechenbeispiel
Eine Kupferspule hat bei 20 °C einen Widerstand von 50 Ω. Gesucht ist ihr Widerstand bei 70 °C, mit \(\alpha = 4\cdot10^{-3}\) 1/K.
- Temperaturdifferenz: \(\Delta T = 70\,^\circ\mathrm{C} - 20\,^\circ\mathrm{C} = 50\,\mathrm{K}\).
- Zunahme: \(\Delta R = 50\,\Omega \cdot 4\cdot10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}} \cdot 50\,\mathrm{K} = 10\,\Omega\).
- Neuer Widerstand: \(R = 50\,\Omega + 10\,\Omega = 60\,\Omega\), also 20 % mehr.
Nicht jede Eigenschaft der Spule hängt von der Temperatur ab. Ihre Masse bleibt beim Erwärmen gleich, ihr Widerstand dagegen nicht.
Wird im Examen gerne gefragt: Bei Metallen wie Kupfer steigt der Widerstand linear mit der Temperatur, die Leitfähigkeit sinkt. Achte auf die Richtung und rechne die Zunahme mit \(\Delta R = R_0\cdot\alpha\cdot\Delta T\), wobei nur die Temperaturdifferenz eingeht.
Halbleiter
Halbleiter wie Silicium verhalten sich umgekehrt. Ihr Widerstand sinkt beim Erwärmen, ihre Leitfähigkeit steigt. Man nennt sie deshalb Heißleiter. Der Grund liegt in der Zahl der Ladungsträger.
Das Bändermodell erklärt das. Die Bindungselektronen besetzen das Valenzband. Leiten können Elektronen erst im darüberliegenden Leitungsband. Dazwischen liegt eine Energielücke. Bei Isolatoren ist sie groß, beim Diamant etwa 5,5 eV. Bei Halbleitern ist sie deutlich kleiner, bei Silicium rund 1,1 eV.
Diese kleine Lücke kann die Wärmebewegung überbrücken. Mit steigender Temperatur gehen immer mehr Elektronen ins Leitungsband über. Jedes hinterlässt im Valenzband eine Lücke, ein Defektelektron. Es wirkt wie eine positive Ladung und leitet ebenfalls. Die Zahl der Ladungsträger wächst so im Leitungsband und im Valenzband zugleich.
Auch im Halbleiter streuen die Gitterschwingungen stärker. Die Zunahme der Ladungsträger überwiegt aber bei Weitem. Deshalb fällt der Widerstand steil und gekrümmt ab. Beim Metall steigt er dagegen nur sanft und gerade an.
Widerstandsthermometer
Ein Widerstandsthermometer bestimmt die Temperatur über den Widerstand eines Fühlers. Eine Stromquelle schickt einen kleinen, konstanten Messstrom \(I\) durch den Fühler. Man misst die Spannung \(U\) und erhält \(R = U/I\). Über die Kennlinie des Fühlers folgt daraus die Temperatur.
Zwei Fühlerarten nutzen die beiden Verhaltensweisen von oben:
- Metallfühler, meist aus Platin wie der Pt100 mit 100 Ω bei 0 °C: Der Widerstand steigt näherungsweise linear, der Leitwert sinkt. Sie messen weit über den Bereich von 0 bis 100 °C hinaus, etwa von \(-200\) °C bis rund 850 °C.
- Halbleiterfühler (Thermistoren, NTC): Der Widerstand sinkt mit steigender Temperatur. Sie sind sehr empfindlich, ihre Kennlinie ist aber stark gekrümmt.
Das Widerstandsthermometer misst einen Widerstand mit einem fremden Messstrom. Die Kontaktspannung zweier Metalle nutzt dagegen das Thermoelement, das selbst eine Thermospannung liefert.
Wässrige Elektrolyte
Auch wässrige Elektrolytlösungen leiten beim Erwärmen besser: Ihre Leitfähigkeit steigt, ihr Widerstand sinkt. Hier tragen Ionen den Strom, die durch das Wasser wandern (Ionenleitung in Elektrolytlösungen). Mit steigender Temperatur sinkt die Viskosität des Wassers, und die Ionen bewegen sich schneller. Die Leitfähigkeit nimmt grob um 2 % je Kelvin zu. Leitfähigkeitsmessungen, etwa an gereinigtem Wasser, geben deshalb immer die Temperatur mit an oder rechnen auf eine Bezugstemperatur um.
Quiz
Aussage 1
Beim Erwärmen eines Halbleiters nimmt auch die Zahl der Defektelektronen im Valenzband zu.
Jedes ins Leitungsband angehobene Elektron hinterlässt ein Defektelektron, sodass die Ladungsträger in beiden Bändern zunehmen.
Aussage 2
Die Energielücke zwischen Valenz- und Leitungsband ist bei Halbleitern größer als bei Isolatoren.
Sie ist bei Halbleitern kleiner, etwa 1,1 eV bei Silicium gegenüber etwa 5,5 eV beim Diamant.
Aussage 3
Der elektrische Widerstand einer wässrigen Elektrolytlösung sinkt mit steigender Temperatur.
Die Viskosität des Wassers sinkt, die Ionen wandern schneller, die Leitfähigkeit steigt.
Aussage 4
Ein Metalldraht mit 20 Ω und \(\alpha = 4\cdot10^{-3}\) 1/K hat nach einer Erwärmung um 25 K einen Widerstand von 22 Ω.
\(\Delta R = 20\,\Omega\cdot4\cdot10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}}\cdot25\,\mathrm{K} = 2\,\Omega\), also \(R = 22\,\Omega\).
Aussage 5
Die elektrische Leitfähigkeit eines Kupferdrahts nimmt beim Erwärmen zu.
Bei Metallen steigt der Widerstand mit der Temperatur, die Leitfähigkeit nimmt also ab.
Aussage 6
Ein Widerstandsthermometer misst die Temperatur über die Kontaktspannung zweier verschiedener Metalle.
Es misst einen temperaturabhängigen Widerstand mit fremdem Messstrom; die Kontaktspannung nutzt das Thermoelement.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.