Wärmeleitung und Fourier-Gesetz
Wie Wärme durch feste Stoffe fließt, wie man den Wärmestrom mit dem Fourier-Gesetz berechnet und wie man Temperaturprofile in Stäben, Schichten und Kühlern liest.
Das Wichtigste in Kürze
- Wärmeleitung ist Wärmetransport durch Stöße benachbarter Teilchen ohne Materietransport, stets von höherer zu niedrigerer Temperatur.
- Auch im Vakuum leiten sich direkt berührende feste Körper Wärme über ihre Kontaktstelle.
- Fourier-Gesetz: \(\dot{Q} = \lambda \cdot A \cdot \Delta T / d\), der Wärmestrom ist proportional zu Fläche, Temperaturdifferenz und Wärmeleitfähigkeit und umgekehrt proportional zur Dicke bzw. Länge.
- Im stationären Zustand fällt die Temperatur im homogenen, seitlich isolierten Stab linear ab.
- Bei Schichten in Reihe fließt überall derselbe Wärmestrom, ein steiles Teilstück im Profil bedeutet eine kleine Wärmeleitfähigkeit.
- Im Gegenstromkühler fallen beide Temperaturen längs der Flüssigkeit etwa parallel, das Kühlwasser bleibt überall kälter und die Kurven kreuzen sich nie.
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Worum es geht
Wärmeleitung ist der Wärmetransport durch ruhende Materie, etwa durch eine Glaswand oder einen Metallstab. Das Fourier-Gesetz sagt, wie groß dieser Wärmestrom ist und wovon er abhängt. In der Pharmazie begegnet er dir bei Dämmung, Kühlern und beim Temperieren von Proben.
Mechanismus
Wärmeleitung ist einer von drei Wegen des Wärmetransports, neben Konvektion und Wärmestrahlung. Schwingende Teilchen geben ihre Energie durch Stöße an ihre Nachbarn weiter. Der Stoff selbst bleibt am Ort, nur die Energie wandert. In Metallen tragen zusätzlich die freien Elektronen Energie, deshalb leiten sie Wärme besonders gut.
Die Richtung ist festgelegt. Energie fließt durch Wärmeleitung stets von höherer zu niedrigerer Temperatur, wie es der zweite Hauptsatz verlangt. Ohne Temperaturdifferenz gibt es keinen Wärmestrom.
Wärmeleitung braucht Materie, aber kein Gas. Berühren sich zwei feste Körper im Vakuum direkt, fließt über die Kontaktstelle trotzdem Wärme durch Leitung. Das Vakuum unterbindet nur Leitung und Konvektion durch ein Gas zwischen den Körpern. Ein Bauteil im Vakuum verliert deshalb weiter Wärme über seine Halterung.
Fourier-Gesetz
Wie stark Wärme fließt, beschreibt das Fourier-Gesetz. Der Wärmestrom \(\dot{Q}\) ist die pro Zeit übertragene Wärme, gemessen in Watt. Für eine Platte oder einen Stab mit konstantem Querschnitt gilt:
\[\dot{Q} = \lambda \cdot \frac{A}{d} \cdot \Delta T\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\dot{Q}\) | Wärmestrom | W |
| \(\lambda\) | Wärmeleitfähigkeit des Materials | W/(m·K) |
| \(A\) | Querschnittsfläche | m² |
| \(d\) | Dicke der Platte bzw. Länge des Stabes | m |
| \(\Delta T\) | Temperaturdifferenz zwischen den Enden, \(T_2 - T_1\) | K |
Die Wärmeleitfähigkeit \(\lambda\) ist eine Materialkonstante. Sie gibt an, welcher Wärmestrom durch 1 m² Fläche bei 1 m Dicke und 1 K Temperaturdifferenz fließt. Kupfer erreicht rund 400 W/(m·K), Glas etwa 1 W/(m·K), ruhende Luft nur etwa 0,025 W/(m·K). Darum dämmen Schaumstoffe mit eingeschlossener Luft so gut.
Man kann sich das Gesetz wie ein Wasserrohr vorstellen: Ein breites, kurzes Rohr lässt mehr durch als ein enges, langes. Doppelte Fläche ergibt doppelten Wärmestrom. Dasselbe gilt für doppelte Temperaturdifferenz oder doppelte Wärmeleitfähigkeit. Doppelte Dicke oder Länge halbiert den Wärmestrom dagegen.
Fasst man Material und Abmessungen zusammen, erhält man den Wärmeleitwert \(G = \lambda A/d\) in W/K. Er hängt vom Material ab, wächst mit der Querschnittsfläche und sinkt mit der Länge. Damit gilt kurz \(\dot{Q} = G \cdot \Delta T\).
Rechenbeispiel
Durch eine Isolierplatte fließen bei 20 K Temperaturdifferenz 60 W. Sie wird durch eine Platte aus demselben Material und gleicher Dicke ersetzt, aber mit doppelter Fläche. Zugleich steigt die Temperaturdifferenz auf 30 K.
- Proportionalität aufstellen: \(\dot{Q} \propto A \cdot \Delta T / d\), wobei \(\lambda\) und \(d\) gleich bleiben.
- Faktoren bestimmen: Die Fläche wächst um den Faktor 2, die Temperaturdifferenz um 30 K / 20 K = 1,5.
- Multiplizieren: \(\dot{Q}_2 = 60\,\mathrm{W} \cdot 2 \cdot 1{,}5 = 180\,\mathrm{W}\).
Häufige Fehler sind vertauschte Kehrwerte. Die Fläche steht im Zähler, die Dicke im Nenner. Temperaturdifferenzen sind in Kelvin und Grad Celsius gleich groß, eine Umrechnung entfällt also. Wer mit \(\lambda\) rechnet, setzt Dicken in Meter und Flächen in Quadratmeter ein.
Temperaturprofile
Ein Temperaturprofil \(T(x)\) zeigt, wie die Temperatur entlang des Wärmewegs verläuft. Ein homogener Stab liege seitlich isoliert zwischen einem warmen und einem kalten Reservoir. Nach einer Anlaufzeit stellt sich ein stationärer Zustand ein. Die Temperatur an jedem Ort ändert sich dann nicht mehr, und durch jeden Querschnitt fließt derselbe Wärmestrom.
Nach dem Fourier-Gesetz ist dann auch das Temperaturgefälle überall gleich. Die Temperatur fällt also linear von der warmen zur kalten Seite ab. Ein gekrümmter Verlauf gehört zur Aufheizphase oder zu seitlichen Wärmeverlusten. Eine waagerechte Linie bedeutet überall gleiche Temperatur und damit keinen Wärmestrom.
Schichten in Reihe
Liegen mehrere Schichten hintereinander, fließt im stationären Zustand durch jede derselbe Wärmestrom. Sonst würde sich irgendwo Energie anstauen. Bei gleicher Fläche und Dicke folgt aus \(\dot{Q} = \lambda A \Delta T/d\): Der Temperaturabfall über eine Schicht ist umgekehrt proportional zu ihrer Wärmeleitfähigkeit.
In der Abbildung fällt die Temperatur über Block X von 80 °C auf 70 °C, also um 10 K. Über Y sind es 30 K, über Z 20 K. Die Wärmeleitfähigkeiten verhalten sich daher wie \(\frac{1}{10} : \frac{1}{30} : \frac{1}{20}\). Geordnet ergibt sich X > Z > Y. Umgekehrt liefert eine bekannte Rangfolge der Wärmeleitfähigkeiten die Rangfolge der Temperaturdifferenzen.
Im Temperaturprofil gilt: steiles Teilstück heißt schlecht leitende Schicht, flaches Teilstück heißt gut leitende Schicht.
Gegenstromkühler
Ein Gegenstromkühler führt eine heiße Flüssigkeit und Kühlwasser in entgegengesetzter Richtung aneinander vorbei. Eine wärmeleitende Wand trennt beide. Die heiße Flüssigkeit tritt an einem Ende ein, das kalte Kühlwasser am anderen. Auch beim Liebig-Kühler im Labor führt man das Kühlwasser im Gegenstrom.
Folgt man der Flüssigkeit, sinkt ihre Temperatur stetig. Das Kühlwasser kommt ihr entgegen und erwärmt sich auf seinem Weg, seine Temperatur bleibt also nicht konstant. In Strömungsrichtung der Flüssigkeit betrachtet fällt daher auch die Wassertemperatur. Beide Kurven fallen annähernd parallel, und das Kühlwasser ist an jeder Stelle kälter als die Flüssigkeit.
Das folgt aus der Richtung des Wärmeflusses. Wäre das Wasser irgendwo wärmer, flösse dort Wärme zurück in die Flüssigkeit. Die Kurven kreuzen sich deshalb nie. Daraus ergeben sich zwei Grenzen. Das Kühlwasser wird höchstens so warm wie die eintretende Flüssigkeit. Die Flüssigkeit kühlt höchstens auf die Eintrittstemperatur des Kühlwassers ab. Ein passendes Diagramm zeigt also zwei fallende, nicht kreuzende Kurven mit dem Kühlwasser unten.
Einfluss der Oberfläche
Der Wärmestrom wächst proportional zur Fläche, über die Wärme eintritt. Zerkleinertes Eis schmilzt deshalb schneller als ein kompakter Block gleicher Masse. Die vielen kleinen Stücke bieten zusammen eine viel größere Oberfläche, während die nötige Schmelzwärme gleich bleibt.
Quiz
Aussage 1
In einem homogenen, seitlich isolierten Stab zwischen zwei Reservoiren fällt die Temperatur im stationären Zustand linear ab.
Stationär fließt durch jeden Querschnitt derselbe Wärmestrom, daher ist das Temperaturgefälle überall gleich.
Aussage 2
Im Gegenstromkühler bleibt die Temperatur des Kühlwassers über die ganze Kühlerlänge konstant.
Das Kühlwasser nimmt Wärme auf und erwärmt sich auf seinem Weg. Seine Temperatur fällt in Strömungsrichtung der Flüssigkeit etwa parallel zu deren Temperatur.
Aussage 3
Der Wärmeleitwert \(G = \lambda A/d\) eines Stabes hängt vom Material ab und wächst mit seiner Querschnittsfläche.
\(G\) enthält die Materialkonstante \(\lambda\) und die Fläche im Zähler, die Länge im Nenner.
Aussage 4
Zwei feste Körper, die sich im Vakuum direkt berühren, tauschen über die Kontaktstelle Wärme durch Wärmeleitung aus.
Wärmeleitung braucht Materie, aber kein Gas. Das Vakuum verhindert nur Leitung und Konvektion durch ein Gas zwischen den Körpern.
Aussage 5
Verlängert man einen wärmeleitenden Stab bei sonst gleichen Bedingungen auf die doppelte Länge, verdoppelt sich der Wärmestrom.
Der Wärmestrom ist umgekehrt proportional zur Länge. Doppelte Länge halbiert ihn.
Aussage 6
Bei gleich dicken Schichten in Reihe gehört das steilste Teilstück des Temperaturprofils zur Schicht mit der größten Wärmeleitfähigkeit.
Der Temperaturabfall ist umgekehrt proportional zur Wärmeleitfähigkeit. Das steilste Teilstück gehört zur Schicht mit der kleinsten Wärmeleitfähigkeit.
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