Wärmekapazität und spezifische Wärmekapazität
Wie viel Wärme ein Körper braucht, um wärmer zu werden, und wie man diese Wärmemenge mit \(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\) berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Wärmekapazität \(C = \frac{dQ}{dT}\) ist die zugeführte Wärme pro Temperaturänderung, Einheit \(\mathrm{J \cdot K^{-1}}\), mit \(Q = C \cdot \Delta T\) und \(\Delta T = Q/C\).
- \(C\) hängt von Masse, Material und Temperatur ab, nicht von der Aufheizgeschwindigkeit.
- Die spezifische Wärmekapazität \(c\) ist die Wärme, die 1 kg um 1 K erwärmt, Einheit J/(kg·K), und hängt nicht von der Masse ab.
- Flüssiges Wasser hat etwa 4,18 kJ/(kg·K), Eis etwa 2,1 kJ/(kg·K), Metalle deutlich weniger, Luft etwa 1 kJ/(kg·K).
- Die Wärmemenge \(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\) gilt für Erwärmen und Abkühlen und ist proportional zu \(c\), \(m\) und \(\Delta T\), aber unabhängig von der Ausgangstemperatur.
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Worum es geht
Dieselbe Wärme macht eine Teetasse heiß, eine volle Badewanne aber kaum warm. Die Wärmekapazität beschreibt diesen Unterschied. Sie ist die Grundlage jeder Rechnung zum Erwärmen, Abkühlen und Temperieren, vom Wasserbad im Labor bis zur Kalorimetrie.
Wärme und Temperatur
Wärme ist Energie, die wegen eines Temperaturunterschieds von einem Körper auf einen anderen übergeht. Sie fließt von selbst immer vom wärmeren zum kälteren Körper. Die Temperatur dagegen beschreibt den Zustand eines Körpers. Sie sagt, wie heiß er ist, nicht wie viel Energie er aufgenommen hat. Die genaue Abgrenzung findest du unter Temperatur als Zustandsgröße, Wärme als Energie.
Als Energie wird Wärme in Joule gemessen: \(1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N \cdot m} = 1\,\mathrm{W \cdot s}\). Die ältere Einheit Kalorie ist die Wärme, die 1 g Wasser um 1 K erwärmt. Sie entspricht etwa 4,19 J. Diese Zahl taucht gleich als spezifische Wärmekapazität des Wassers wieder auf.
Für alles Folgende zählt die Temperaturänderung \(\Delta T\). Eine Differenz von 1 K ist genauso groß wie eine Differenz von 1 °C. Wie man Temperaturwerte selbst umrechnet, steht bei Kelvin- und Celsius-Skala.
Wärmekapazität
Führt man einem Körper Wärme zu, steigt seine Temperatur. Wie stark sie steigt, hängt vom Körper ab. Diese Eigenschaft fasst eine einzige Größe zusammen.
Die Wärmekapazität \(C\) eines Körpers ist die zugeführte Wärme pro Temperaturänderung: \(C = \frac{dQ}{dT}\). Ihre Einheit ist \(\mathrm{J \cdot K^{-1}}\).
Ist \(C\) im betrachteten Bereich konstant, wird aus dem Differenzenquotienten eine einfache Gleichung. Die zugeführte Wärme ist dann \(Q = C \cdot \Delta T\). Umgestellt ergibt sich die Temperaturerhöhung \(\Delta T = Q/C\). Ein Körper mit \(C = 500\,\mathrm{J/K}\) wird durch 2000 J also um 4 K wärmer.
Wird im Examen gerne gefragt, wodurch man hier teilt: durch die Temperaturänderung \(\Delta T\), nicht durch die Temperatur \(T\) selbst. Der Quotient aus Wärme und absoluter Temperatur hätte keine sinnvolle Bedeutung. Ein Körper bei 300 K hat ja keine 300 K „aufgenommen“.
Die Wärmekapazität beschreibt, wie ein Körper Wärme speichert. Sie ist eine Eigenschaft des Körpers und seines Stoffes. Wie die Wärme dorthin gelangt, regeln dagegen die Transportwege wie Wärmeleitung oder Konvektion.
Man kann sich \(C\) wie die Grundfläche eines Gefäßes vorstellen. Die eingegossene Wassermenge entspricht der Wärme, die Füllhöhe der Temperatur. Im breiten Gefäß steigt der Spiegel bei gleicher Menge wenig, im schmalen viel.
Wovon hängt \(C\) ab? Erstens von der Masse: Doppelt so viel Material hat die doppelte Wärmekapazität. Bei einem Gas gilt entsprechend: Je größer die Gasmenge, desto kleiner die Temperaturerhöhung bei gleicher Wärme. Zweitens vom Material, denn verschiedene Stoffe erwärmen sich bei gleicher Masse verschieden stark. Drittens von der Temperatur. Die Wärmekapazität ist also nicht generell konstant, bei Festkörpern sinkt sie zum Beispiel zu tiefen Temperaturen hin deutlich ab.
Keinen Einfluss hat die Aufheizgeschwindigkeit. Ob man schnell oder langsam heizt, ändert nur die Dauer, nicht die Wärme pro Kelvin. Der Index in \(C_p\) bedeutet übrigens, dass bei konstantem Druck gemessen wird. Den Unterschied zu konstantem Volumen behandelt die Einheit molare Wärmekapazitäten.
Spezifische Wärmekapazität
Weil \(C\) mit der Masse wächst, eignet sie sich schlecht zum Vergleich von Stoffen. Man teilt deshalb durch die Masse: \(c = C/m\). Die spezifische Wärmekapazität \(c\) ist die Wärme, die 1 kg eines Stoffes um 1 K (gleichbedeutend 1 °C) erwärmt. Sie hängt nur vom Material und von der Temperatur ab, nicht von der Masse der Probe.
Ihre Einheit ist \(\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}\), also \(\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg \cdot K}}\). Oft schreibt man kJ/(kg·K) oder J/(g·K). Der Bezug ist die Masse. Eine Wärmekapazität pro Stoffmenge in J/(mol·K) heißt dagegen molare Wärmekapazität und ist eine andere Größe.
Die Einheit liest man wie ein Rezept. Bei \(c = 2\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}\) braucht jedes Kilogramm 2 kJ für jedes Kelvin. Steckt man nur 1 kJ in 1 kg, reicht das für 0,5 K.
Großes \(c\) heißt kleiner Temperaturanstieg: \(\Delta T = \frac{Q}{c \cdot m}\). Wer \(c\) mit \(\Delta T\) verwechselt, erhält den Kehrwert, also bei 2 kJ/(kg·K) fälschlich 2 K statt 0,5 K.
Die Werte unterscheiden sich stark. Wasser hat eine der größten spezifischen Wärmekapazitäten aller gängigen Stoffe. Eis hat nur etwa die Hälfte davon. Metalle liegen deutlich darunter und unterscheiden sich auch untereinander.
| Stoff | \(c\) in kJ/(kg·K) |
|---|---|
| flüssiges Wasser | 4,18 |
| Eis | 2,1 |
| Luft (\(c_p\)) | etwa 1,0 |
| Aluminium | 0,90 |
| Eisen | 0,45 |
| Kupfer | 0,39 |
Bei Luft lohnt ein Blick auf die Vorsilbe: Etwa 1 kJ/(kg·K) sind 1000 J/(kg·K), nicht 1 J/(kg·K).
Trägt man die Temperatur gegen die zugeführte Wärme auf, entsteht für jeden Stoff eine Gerade mit der Steigung \(1/(c \cdot m)\). Bei je 1 kg steigt Aluminium am steilsten, Eis mittel und flüssiges Wasser am flachsten. Bei gleicher Heizleistung erwärmt sich Wasser deshalb etwa halb so schnell wie dieselbe Masse Eis.
Eine große spezifische Wärmekapazität macht einen Stoff zum guten Kühlmittel. Jedes Kilogramm nimmt viel Wärme auf, bevor es merklich wärmer wird. So transportiert ein Wasserkreislauf große Wärmemengen ab, und ein Wasserbad hält die Temperatur einer Probe stabil.
Wärmemenge
Die Wärmemenge \(Q\) ist die Wärme, die ein Körper bei einer Temperaturänderung aufnimmt oder abgibt. Setzt man \(C = c \cdot m\) in \(Q = C \cdot \Delta T\) ein, erhält man die Grundgleichung der Wärmelehre.
\[Q = c \cdot m \cdot \Delta T\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(Q\) | aufgenommene oder abgegebene Wärmemenge | J |
| \(c\) | spezifische Wärmekapazität des Stoffes | J/(kg·K) |
| \(m\) | Masse des Körpers | kg |
| \(\Delta T\) | Temperaturänderung | K |
\(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\) ist ein Examensklassiker: Die Wärme ist proportional zu Masse, spezifischer Wärmekapazität und Temperaturdifferenz. Achte darauf, dass nur die Differenz zählt, nicht die Ausgangstemperatur, und dass dieselbe Formel auch die beim Abkühlen abgegebene Wärme liefert.
Die Gleichung enthält drei einfache Proportionalitäten. Doppelte Masse braucht die doppelte Wärme. Ein Stoff mit doppeltem \(c\) braucht ebenfalls das Doppelte, ebenso eine doppelte Temperaturerhöhung. Halbiert man die Masse und verdoppelt \(\Delta T\), bleibt \(Q\) gleich.
Die Ausgangstemperatur kommt in der Formel nicht vor. Wasser von 20 °C auf 30 °C zu erwärmen kostet daher dieselbe Wärme wie von 60 °C auf 70 °C. Das gilt, solange \(c\) im Bereich praktisch konstant bleibt und kein Phasenübergang stattfindet. Schmelzen und Verdampfen erfordern zusätzliche Wärme, siehe Umwandlungswärmen.
Erwärmen und Abkühlen beschreibt dieselbe Gleichung. Man setzt \(\Delta T = T_{\text{end}} - T_{\text{anfang}}\). Beim Erwärmen ist \(Q\) positiv, der Körper nimmt Wärme auf. Beim Abkühlen wird \(Q\) negativ, der Körper gibt Wärme ab. Häufig rechnet man mit dem Betrag und sagt dazu, in welche Richtung die Wärme fließt.
Ein Beispiel: 0,25 kg Wasser für einen Tee kühlen von 90 °C auf 40 °C ab. Wie viel Wärme geben sie ab?
- Größen sammeln: \(c = 4{,}18\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}\), \(m = 0{,}25\,\mathrm{kg}\).
- Temperaturänderung bilden: \(\Delta T = 40\,\mathrm{°C} - 90\,\mathrm{°C} = -50\,\mathrm{K}\).
- Einsetzen: \(Q = 4{,}18\,\mathrm{kJ/(kg\,K)} \cdot 0{,}25\,\mathrm{kg} \cdot (-50\,\mathrm{K}) = -52{,}25\,\mathrm{kJ}\).
- Deuten: Das Minus zeigt die Richtung. Das Wasser gibt rund 52 kJ an die Umgebung ab.
Umgekehrt lässt sich die Temperaturänderung berechnen. Erhält 0,5 kg Aluminium 10 kJ, gilt \(\Delta T = \frac{10\,\mathrm{kJ}}{0{,}90\,\mathrm{kJ/(kg\,K)} \cdot 0{,}5\,\mathrm{kg}} \approx 22\,\mathrm{K}\). Dieselbe Wärme würde 0,5 kg Wasser nur um knapp 5 K erwärmen.
Passe die Masse an die Einheit von \(c\) an: Gramm zu J/(g·K), Kilogramm zu J/(kg·K), und unterscheide J von kJ. Setze für \(\Delta T\) immer die Differenz ein, nie die absolute Temperatur, wobei eine Differenz in K und in °C denselben Zahlenwert hat.
Wie man \(Q\) mit Heizleistung und Zeit verknüpft, zeigt Wärmemenge, Heizleistung und Heizdauer. Wärmebilanzen beim Mischen behandelt die Kalorimetrie.
Quiz
Aussage 1
Halbiert man die Masse und verdoppelt die Temperaturänderung, bleibt die benötigte Wärmemenge gleich.
\(Q\) ist proportional zu \(m\) und zu \(\Delta T\). Die Faktoren 1/2 und 2 heben sich auf.
Aussage 2
Verdoppelt man die Masse einer Probe, verdoppelt sich ihre Wärmekapazität, während ihre spezifische Wärmekapazität gleich bleibt.
\(C = c \cdot m\) wächst mit der Masse, \(c\) ist auf die Masse bezogen und hängt nur vom Material ab.
Aussage 3
Um 1 kg Wasser von 70 °C auf 80 °C zu erwärmen, braucht man deutlich mehr Wärme als von 10 °C auf 20 °C.
\(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\) enthält nur die Differenz. Bei gleichem \(\Delta T\) von 10 K ist die Wärme praktisch gleich.
Aussage 4
Die Wärmekapazität eines Körpers wird in \(\mathrm{J \cdot K^{-1}}\) angegeben.
Sie ist Wärme pro Temperaturänderung, also Joule pro Kelvin.
Aussage 5
Die Wärmekapazität eines Körpers ist der Quotient aus zugeführter Wärme und seiner absoluten Temperatur.
Geteilt wird durch die Temperaturänderung: \(C = dQ/dT\) bzw. \(C = Q/\Delta T\).
Aussage 6
Die spezifische Wärmekapazität wird üblicherweise in J/(mol·K) angegeben.
Sie bezieht sich auf die Masse und hat die Einheit J/(kg·K). J/(mol·K) ist die Einheit der molaren Wärmekapazität.
Aussage 7
Heizt man eine Probe schneller auf, wird ihre Wärmekapazität \(C_p\) größer.
Die Aufheizgeschwindigkeit ändert nur die Dauer. \(C_p\) hängt von Masse, Material und Temperatur ab.
Aussage 8
Bei gleicher Heizleistung steigt die Temperatur von 1 kg flüssigem Wasser langsamer als die von 1 kg Eis.
Wasser hat mit etwa 4,18 kJ/(kg·K) eine größere spezifische Wärmekapazität als Eis mit etwa 2,1 kJ/(kg·K).
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