Van ’t Hoff’sches Gesetz des osmotischen Drucks
Wie man den osmotischen Druck verdünnter Lösungen aus Konzentration, Teilchenzahl und absoluter Temperatur berechnet und Lösungen miteinander vergleicht.
Das Wichtigste in Kürze
- Das van ’t Hoff’sche Gesetz \(\Pi = i \cdot c \cdot R \cdot T\) berechnet den osmotischen Druck ideal verdünnter Lösungen aus Teilchenzahl, Konzentration und absoluter Temperatur.
- Bei fester Temperatur gilt \(\Pi \sim i \cdot c\): Verdünnung auf das vierfache Volumen senkt den Druck auf ein Viertel, die dreifache gelöste Menge im gleichen Volumen verdreifacht ihn.
- Bei konstanter Konzentration ist \(\Pi\) proportional zur absoluten Temperatur: \(\Pi_2 = \Pi_1 \cdot T_2/T_1\), immer mit Werten in Kelvin.
- Die osmotisch wirksame Konzentration \(i \cdot c\) entscheidet: NaCl und KCl gleich, \(\ce{MgCl2}\), \(\ce{CaCl2}\) und \(\ce{Na2SO4}\) 1,5-fach, \(\ce{AlCl3}\) doppelt so hoch wie NaCl, Harnstoff nur halb so hoch.
- Bei teilweiser Dissoziation gilt \(i = 1 + \alpha \cdot (\nu - 1)\), in konzentrierteren Elektrolytlösungen sinkt der effektive \(i\)-Wert, sodass \(\Pi\) nicht streng proportional zur Salzmenge ist.
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Worum es geht
Das van ’t Hoff’sche Gesetz macht den osmotischen Druck berechenbar, und zwar aus Konzentration, Teilchenzahl und absoluter Temperatur. In der Pharmazie braucht man es, um Infusionen und Augentropfen isotonisch einzustellen, etwa auf den Wert der 0,9-prozentigen Kochsalzlösung.
Konzentrationsabhängigkeit
Das van ’t Hoff’sche Gesetz beschreibt, wie groß der osmotische Druck einer verdünnten Lösung gegenüber dem reinen Lösungsmittel ist. Es braucht nur drei Angaben: die Konzentration des gelösten Stoffes, die Zahl der Teilchen, in die eine Formeleinheit zerfällt, und die absolute Temperatur.
\[\Pi = i \cdot c \cdot R \cdot T\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\Pi\) | osmotischer Druck gegenüber reinem Lösungsmittel | Pa |
| \(i\) | van ’t Hoff-Faktor, Teilchen pro Formeleinheit | ohne Einheit |
| \(c\) | Stoffmengenkonzentration des gelösten Stoffes | mol/m³ |
| \(R\) | Gaskonstante, 8,314 | J/(mol·K) |
| \(T\) | absolute Temperatur | K |
Die Gleichung hat dieselbe Form wie die allgemeine Gasgleichung \(p = \frac{n}{V} \cdot R \cdot T\). Man kann sich die gelösten Teilchen wie ein Gas vorstellen, das im Volumen der Lösung verteilt ist. Ihr Druck hängt nur davon ab, wie viele Teilchen pro Volumen vorliegen und wie warm sie sind. Ob ein Teilchen ein Glucose-Molekül oder ein Natrium-Ion ist, spielt keine Rolle. Der osmotische Druck ist deshalb eine kolligative Eigenschaft.
Das Produkt \(i \cdot c\) heißt osmotisch wirksame Konzentration oder Osmolarität, Einheit osmol/L. Sie gibt an, wie viele frei bewegliche Teilchen tatsächlich pro Liter Lösung vorliegen.
Bei einem Nichtelektrolyten wie Glucose oder Harnstoff ist \(i = 1\). Das Gesetz vereinfacht sich dann zu \(\Pi = c \cdot R \cdot T\). Bei fester Temperatur sind \(R\) und \(T\) konstant, also gilt \(\Pi \sim i \cdot c\). Doppelte Konzentration bedeutet doppelten Druck. Löst man im gleichen Volumen die dreifache Stoffmenge, verdreifacht sich der Druck. Im Grenzfall \(c \to 0\) geht auch \(\Pi\) gegen null.
Die Abbildung zeigt diese Ursprungsgeraden. Ihre Steigung ist \(i \cdot R \cdot T\). Calciumchlorid mit \(i = 3\) liefert bei gleicher Konzentration die steilste Gerade, Harnstoff mit \(i = 1\) die flachste.
Der Zusammenhang \(\Pi \sim c\) ist ein Examensklassiker. Verdünnt man auf das \(x\)-fache Volumen, sinkt der Druck auf \(1/x\), löst man im selben Volumen die \(x\)-fache Menge, steigt er auf das \(x\)-fache. Entscheidend ist immer die Endkonzentration, nicht die zugegebene Wassermenge.
So läuft eine Verdünnungsaufgabe ab. Man füllt 50 mL einer Salzlösung mit 360 kPa osmotischem Druck mit 150 mL Wasser auf 200 mL auf.
- Volumenverhältnis: Das Volumen wächst von 50 mL auf 200 mL, also um den Faktor 4.
- Konzentration: Die Stoffmenge bleibt gleich, die Konzentration sinkt auf ein Viertel.
- Druck: \(\Pi_2 = \Pi_1 \cdot \frac{c_2}{c_1} = 360\ \text{kPa} \cdot \frac{1}{4} = 90\ \text{kPa}\).
Für einen absoluten Wert setzt man in SI-Einheiten ein. Eine Kochsalzlösung mit 0,15 mol/L bei 37 °C hat \(i \cdot c = 2 \cdot 150\ \text{mol/m}^3 = 300\ \text{mol/m}^3\) und \(T = 310\ \text{K}\):
\[\Pi = 300\ \frac{\text{mol}}{\text{m}^3} \cdot 8{,}314\ \frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot 310\ \text{K} \approx 7{,}7 \cdot 10^5\ \text{Pa}\]
Das sind etwa 7,7 bar, ungefähr der osmotische Druck des Blutplasmas. Typische Fehler sind Liter statt Kubikmeter (Faktor 1000), ein vergessenes \(i\) und Celsius statt Kelvin.
Streng gilt das Gesetz nur für ideal verdünnte Lösungen. Bei Elektrolyten ist der Druck deshalb nicht immer direkt proportional zur eingesetzten Stoffmenge des Salzes. In konzentrierteren Lösungen ziehen sich die Ionen gegenseitig an und wirken wie weniger Teilchen. Der effektive \(i\)-Wert sinkt dann unter den ganzzahligen Wert. Bei schwachen Elektrolyten ändert sich zudem der Dissoziationsgrad mit der Konzentration.
Temperaturabhängigkeit
Bei konstanter Konzentration ist der osmotische Druck proportional zur absoluten Temperatur. Wärmere Teilchen bewegen sich schneller und üben einen größeren Druck aus. Das entspricht dem Gesetz von Amontons für ein Gas in einem starren Behälter. Der osmotische Druck ist also temperaturabhängig und steigt beim Erwärmen.
Die Gerade läuft nur in der Kelvin-Skala durch den Ursprung. Verlängert man sie, trifft sie die Achse bei 0 K, also bei −273,15 °C. Proportional ist \(\Pi\) deshalb nur zur Temperatur in Kelvin, nicht zur Celsius-Temperatur. Die Umrechnung erklärt die Einheit zu den Temperaturskalen.
Da \(i\), \(c\) und \(R\) gleich bleiben, kürzen sie sich beim Vergleich zweier Temperaturen heraus:
\[\Pi_2 = \Pi_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}\]
Diese Umrechnung über das Verhältnis der absoluten Temperaturen gehört zum Pflichtprogramm, und dabei rechnest du Celsius-Werte immer zuerst in Kelvin um. Ein Beispiel: Eine Lösung hat bei 27 °C einen osmotischen Druck von 480 kPa. Gesucht ist der Druck bei 77 °C.
- In Kelvin umrechnen: \(T_1 = 300\ \text{K}\) und \(T_2 = 350\ \text{K}\).
- Verhältnis bilden: \(T_2/T_1 = 350/300 \approx 1{,}167\).
- Druck berechnen: \(\Pi_2 = 480\ \text{kPa} \cdot 1{,}167 = 560\ \text{kPa}\).
Mit Celsius-Werten ergäbe sich \(480\ \text{kPa} \cdot 77/27 \approx 1369\ \text{kPa}\), fast das Dreifache statt eines Anstiegs um ein Sechstel. Ebenso verdoppelt eine Erwärmung von 20 °C auf 40 °C den Druck nicht, sondern erhöht ihn nur um etwa 7 %.
Umgekehrt gilt: Bleiben Konzentration und Temperatur gleich, bleibt auch der Druck gleich. Das nutzt die osmotische Pumpe. Ihre Quellschicht hat ein konstantes Volumen und arbeitet bei konstanter Körpertemperatur. Ihr osmotischer Druck bleibt daher konstant.
Salzlösungen vergleichen
Bei gleicher Stoffmengenkonzentration entscheidet allein der Faktor \(i\). Er zählt, in wie viele frei bewegliche Teilchen eine Formeleinheit in Lösung zerfällt. Ein Elektrolyt liefert deshalb mehr Teilchen als ein Nichtelektrolyt gleicher Konzentration. Sein osmotischer Druck ist entsprechend höher.
\[\ce{Na2SO4 -> 2Na+ + SO4^2-}\]
\[\ce{AlCl3 -> Al^3+ + 3Cl-}\]
Das Sulfat-Ion bleibt als ein Teilchen zusammen. Natriumsulfat liefert also drei Teilchen, Aluminiumchlorid vier. Der Vergleich gleich konzentrierter Salzlösungen wird im Examen gerne gefragt: Es zählt die Ionenzahl pro Formeleinheit, nicht die Art der Ionen.
| Gelöster Stoff | Teilchen pro Formeleinheit | \(i\) | \(\Pi\) relativ zu NaCl |
|---|---|---|---|
| Harnstoff | 1 Molekül | 1 | 0,5 |
| \(\ce{NaCl}\) | \(\ce{Na+}\), \(\ce{Cl-}\) | 2 | 1 |
| \(\ce{KCl}\) | \(\ce{K+}\), \(\ce{Cl-}\) | 2 | 1 |
| \(\ce{MgCl2}\) | \(\ce{Mg^2+}\), 2 \(\ce{Cl-}\) | 3 | 1,5 |
| \(\ce{CaCl2}\) | \(\ce{Ca^2+}\), 2 \(\ce{Cl-}\) | 3 | 1,5 |
| \(\ce{Na2SO4}\) | 2 \(\ce{Na+}\), \(\ce{SO4^2-}\) | 3 | 1,5 |
| \(\ce{AlCl3}\) | \(\ce{Al^3+}\), 3 \(\ce{Cl-}\) | 4 | 2 |
Daraus ergeben sich feste Paare. Natriumchlorid und Kaliumchlorid haben bei gleicher Konzentration denselben Druck, ebenso \(\ce{MgCl2}\) und \(\ce{CaCl2}\). Diese beiden liegen um die Hälfte über NaCl, genau wie Natriumsulfat. Aluminiumchlorid erreicht den doppelten Wert von NaCl. Jede Salzlösung übertrifft Harnstoff gleicher Konzentration.
Gezählt werden Teilchen, nicht Ladungen: Ein \(\ce{Al^3+}\)-Ion zählt genauso als ein Teilchen wie ein \(\ce{Na+}\)-Ion.
Dissoziiert ein Stoff nur teilweise, rechnet man mit dem Dissoziationsgrad \(\alpha\). Dazu kommt die Zahl \(\nu\) der Ionen bei vollständigem Zerfall:
\[i = 1 + \alpha \cdot (\nu - 1)\]
Ein schwacher 1:1-Elektrolyt mit \(\alpha = 0{,}2\) hat also \(i = 1{,}2\). Zwei Lösungen vergleicht man über \(\Pi \propto i \cdot c\), denn bei gleicher Temperatur kürzen sich \(R\) und \(T\) heraus. Beispiel: 0,10 mol/L \(\ce{CaCl2}\) gegen 0,12 mol/L NaCl, beide vollständig dissoziiert.
- Faktoren bestimmen: \(\ce{CaCl2}\) hat \(i = 3\), NaCl hat \(i = 2\).
- Osmotisch wirksame Konzentration: \(3 \cdot 0{,}10 = 0{,}30\) osmol/L und \(2 \cdot 0{,}12 = 0{,}24\) osmol/L.
- Verhältnis bilden: \(0{,}30 / 0{,}24 = 1{,}25\).
Trotz geringerer Stoffmengenkonzentration hat die Calciumchlorid-Lösung also den höheren Druck. Bei 0,15 mol/L NaCl wären beide Drücke gleich.
Quiz
Aussage 1
Füllt man eine Glucoselösung auf das dreifache Volumen auf, sinkt ihr osmotischer Druck bei gleicher Temperatur auf ein Drittel.
Die Stoffmenge bleibt gleich, die Konzentration sinkt auf ein Drittel, und wegen \(\Pi \sim c\) sinkt der Druck um denselben Faktor.
Aussage 2
Setzt man in \(\Pi = i \cdot c \cdot R \cdot T\) SI-Einheiten ein, entspricht eine Konzentration von 0,2 mol/L dem Wert 200 mol/m³.
Ein Kubikmeter enthält 1000 Liter, also gilt 1 mol/L = 1000 mol/m³. Nur so ergibt sich der Druck in Pascal.
Aussage 3
Eine \(\ce{AlCl3}\)-Lösung hat bei gleicher Stoffmengenkonzentration und Temperatur den doppelten osmotischen Druck einer NaCl-Lösung.
\(\ce{AlCl3}\) zerfällt in vier Teilchen, NaCl in zwei. Das Verhältnis der \(i\)-Werte ist 4 : 2 = 2.
Aussage 4
Erwärmt man eine Lösung bei konstanter Konzentration von 20 °C auf 40 °C, verdoppelt sich ihr osmotischer Druck.
Proportionalität besteht nur zur absoluten Temperatur. Der Druck steigt um den Faktor 313 K/293 K, also nur um etwa 7 %.
Aussage 5
Bleiben Volumen und Temperatur der Quellschicht einer osmotischen Pumpe konstant, bleibt auch ihr osmotischer Druck konstant.
Bei unveränderter Konzentration und Temperatur ändert sich nach \(\Pi = i \cdot c \cdot R \cdot T\) keine der Größen, also bleibt der Druck gleich.
Aussage 6
Eine Harnstofflösung erreicht denselben osmotischen Druck wie eine Kaliumchlorid-Lösung gleicher Stoffmengenkonzentration.
Harnstoff ist ein Nichtelektrolyt mit \(i = 1\), KCl zerfällt in zwei Ionen mit \(i = 2\). Die KCl-Lösung hat den doppelten Druck.
Aussage 7
Bei Elektrolytlösungen ist der osmotische Druck auch bei höheren Konzentrationen streng proportional zur eingesetzten Stoffmenge des Salzes.
Streng gilt das nur für ideal verdünnte Lösungen. In konzentrierteren Lösungen wirken die Ionen durch gegenseitige Anziehung wie weniger Teilchen, der effektive \(i\)-Wert sinkt.
Aussage 8
Natriumsulfat- und Natriumchlorid-Lösungen gleicher Stoffmengenkonzentration haben denselben osmotischen Druck, weil beide Natriumsalze sind.
Es zählt die Teilchenzahl pro Formeleinheit. \(\ce{Na2SO4}\) liefert drei Teilchen, NaCl zwei, deshalb ist der Druck der Natriumsulfat-Lösung 1,5-mal so hoch.
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