Berechnungen mit Schmelz- und Verdampfungswärme
Wie man mit Schmelz- und Verdampfungswärme Wärmemengen, Massen, Heizdauern, Plateaulängen und Mischtemperaturen berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Bei Phasenübergängen berechnet man die Wärme als Masse mal spezifische Umwandlungswärme, bei Eis \(Q = m \cdot \Delta h_s\) mit rund 334 kJ/kg.
- Bei molarer Angabe gilt \(Q = \frac{m}{M} \cdot \Delta H_m\), für Wasser mit 6,01 kJ/mol und 18 g/mol.
- Die Schmelzwärme von Eis entspricht einer Erwärmung von Wasser um rund 80 K, denn \(\Delta T = \Delta h_s/c\).
- Mit Heizleistung gilt \(P \cdot t = m \cdot r\) mit \(P = U \cdot I\); bei Kondensation wird dieselbe Wärme frei, die das Verdampfen kostet.
- Bei gleicher Masse und gleichem Wärmestrom ist die Plateaudauer proportional zur Schmelzwärme: \(q = P \cdot \Delta t / m\).
- Eis von 0 °C kühlt warmes Wasser stärker als Wasser von 0 °C, weil es zusätzlich Schmelzwärme entzieht; ohne Temperaturunterschied fließt keine Wärme.
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Worum es geht
Schmelz- und Verdampfungswärmen werden erst nützlich, wenn man mit ihnen rechnet. Alle Aufgaben folgen derselben Logik: Masse mal spezifische Umwandlungswärme ergibt die Wärme. Diese stammt aus einer Heizung oder aus warmem Wasser, etwa beim Auftauen, Kühlen oder bei der Dampfsterilisation.
Schmelzwärme berechnen
Während ein Stoff schmilzt, bleibt seine Temperatur konstant. Die zugeführte Wärme löst nur das Kristallgitter auf. Wie viel Wärme das pro Kilogramm ist, gibt die spezifische Schmelzenthalpie an, eingeführt in Umwandlungswärmen und ihre Werte bei Wasser. Für Eis beträgt sie rund 334 kJ/kg.
\[Q = m \cdot \Delta h_s\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(Q\) | zum Schmelzen nötige Wärme | J oder kJ |
| \(m\) | Masse des schmelzenden Stoffs | kg |
| \(\Delta h_s\) | spezifische Schmelzenthalpie | kJ/kg |
Doppelt so viel Eis braucht doppelt so viel Wärme. Dieselbe Größe heißt in Büchern auch \(\Lambda\), \(q\) oder \(\Delta H_{spez}\). Umgestellt liefert die Formel die Masse, die eine gegebene Wärme schmilzt: \(m = Q/\Delta h_s\). Mit 167 kJ schmelzen also 0,5 kg Eis. Für Volumenangaben gilt die Faustregel: 1 L Wasser hat etwa 1 kg Masse.
Ist die Schmelzenthalpie molar gegeben, für Wasser \(\Delta H_m = 6{,}01\) kJ/mol, rechnet man zuerst über die molare Masse \(M = 18\) g/mol in die Stoffmenge um:
\[Q = \frac{m}{M} \cdot \Delta H_m\]
Für 90 g Eis ergeben sich 5 mol und damit rund 30 kJ.
Die Schmelzwärme lässt sich in eine Temperaturerhöhung übersetzen. Man setzt sie gleich der Wärme, die dieselbe Masse flüssigen Wassers erwärmt (zur spezifischen Wärmekapazität \(c\) siehe Wärmekapazität):
\[m \cdot \Delta h_s = m \cdot c \cdot \Delta T \quad\Rightarrow\quad \Delta T = \frac{334\ \mathrm{kJ/kg}}{4{,}19\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}} \approx 80\ \mathrm{K}\]
Die Masse kürzt sich heraus. Ein Kilogramm Eis zu schmelzen kostet so viel, wie ein Kilogramm Wasser um rund 80 K zu erwärmen.
Die Rechnung mit \(Q = m \cdot \Delta h_s\) wird im Examen gerne gefragt, vorwärts und umgestellt nach \(m = Q/\Delta h_s\) oder nach \(\Delta T = \Delta h_s/c\). Achte darauf, ob die Schmelzenthalpie spezifisch in kJ/kg oder molar in kJ/mol gegeben ist.
Verdampfungswärme berechnen
Beim Verdampfen gilt dasselbe Prinzip mit der spezifischen Verdampfungsenthalpie \(r\). Für Wasser bei 100 °C beträgt sie rund 2257 kJ/kg, andere Schreibweisen sind \(\Delta h_V\) oder \(q\):
\[Q = m \cdot r\]
Kondensiert Dampf, gibt er genau diese Wärme wieder ab. Nur die Richtung kehrt sich um. Kondensieren 20 g Wasserdampf auf der Haut, werden \(0{,}020\ \mathrm{kg} \cdot 2257\ \mathrm{kJ/kg} \approx 45\) kJ frei. Deshalb verbrüht Dampf stärker als gleich heißes Wasser. Pro Kilogramm kostet Verdampfen fast siebenmal so viel wie Schmelzen.
Heizleistung und Zeit
Meist liefert eine Heizung mit konstanter Leistung \(P\) die Wärme. Dann gilt \(Q = P \cdot t\), wie in Wärmemenge, Heizleistung und Heizdauer berechnen gezeigt. Elektrisch ist \(P = U \cdot I\). Setzt man diese Wärme gleich der Umwandlungswärme, erhält man eine Gleichung für alle Aufgaben dieses Typs:
\[U \cdot I \cdot t = P \cdot t = m \cdot r\]
Beim Schmelzen steht \(\Delta h_s\) statt \(r\). Je nach gesuchter Größe stellt man um:
- Auftaudauer \(t = m \cdot \Delta h_s / P\), Verdampfungsdauer \(t = m \cdot r / P\)
- verdampfte Masse \(m = P \cdot t / r\)
- spezifische Verdampfungswärme aus Tauchsiederdaten \(r = P \cdot t / m\)
- nötige Leistung bei stetigem Massenstrom \(\dot{m}\) in kg/s: \(P = \dot{m} \cdot r\)
Doppelte Leistung halbiert die Dauer, doppelte Masse verdoppelt sie.
- Leistung: Ein Tauchsieder läuft an 230 V mit 4,0 A, also \(P = 920\) W.
- Zeit: Er hält Wasser 10 min am Sieden, das sind 600 s.
- Energie: \(Q = 920\ \mathrm{W} \cdot 600\ \mathrm{s} = 552\) kJ.
- Masse: \(m = 552\ \mathrm{kJ} / 2257\ \mathrm{kJ/kg} \approx 0{,}24\) kg, also etwa 0,24 L Wasser.
Ebenso dauert das Auftauen von 2 kg Eis mit 500 W: \(t = 2\ \mathrm{kg} \cdot 334\ \mathrm{kJ/kg} / 0{,}5\ \mathrm{kW} \approx 1340\) s, gut 22 min.
Ein Watt ist ein Joule pro Sekunde. Rechne Minuten in Sekunden und Gramm in Kilogramm um. Steht die Enthalpie in kJ/kg, gehört die Leistung in kW.
Plateaudauer quantitativ
Haltepunkte in Erwärmungs- und Abkühlkurven kennst du aus Phasenübergänge im Teilchenbild und Haltepunkte. Hier zählt ihre Länge. Bei konstantem Wärmestrom \(P\) fließt während des Plateaus die Wärme \(P \cdot \Delta t\). Sie entspricht genau der Schmelzwärme der Probe:
\[q = \frac{P \cdot \Delta t}{m}\]
Bei gleicher Masse und gleichem Wärmestrom ist die Plateaudauer also proportional zur Schmelzwärme. In der Abbildung gehört das 8-min-Plateau zum Stoff mit der größten Schmelzwärme, es folgen 5 min und 3 min.
Ein Zahlenbeispiel: 0,20 kg Eis werden mit 100 W beheizt, das Plateau bei 0 °C dauert 11 min. Mit 660 s folgt \(q = 100\ \mathrm{W} \cdot 660\ \mathrm{s} / 0{,}20\ \mathrm{kg} = 330\) kJ/kg.
Erwärmt man Eis gleichmäßig über den Schmelzpunkt hinaus, steigt die Temperatur zuerst steil. Eis hat mit etwa 2,1 kJ/(kg K) eine kleinere Wärmekapazität als Wasser. Nach dem Plateau bei 0 °C steigt die Kurve flacher an. Das Plateau bei 100 °C ist etwa 6,8-mal so lang, so wie \(r\) zu \(\Delta h_s\).
Mischen von Eis und Wasser
Beim Mischen gilt die Wärmebilanz aus der Kalorimetrie: Was das warme Wasser abgibt, nimmt der kalte Partner auf. Mit Eis kommt ein Posten hinzu. Das warme Wasser liefert zuerst die Schmelzwärme und bringt danach das Schmelzwasser von 0 °C auf die Mischtemperatur \(T_M\):
\[m_W \cdot c \cdot (T_W - T_M) = m_E \cdot \Delta h_s + m_E \cdot c \cdot (T_M - 0\,^\circ\mathrm{C})\]
Die Schmelzwärme entzieht dem warmen Wasser zusätzlich Energie. Deshalb wird die Mischung mit Eis von 0 °C kälter als mit gleich viel Wasser von 0 °C. So ergeben 1 kg Wasser von 60 °C und 0,2 kg kaltes Wasser 50 °C, mit 0,2 kg Eis dagegen nur etwa 37 °C.
Wärme fließt nur bei einem Temperaturunterschied. Eis und Wasser von je 0 °C tauschen im isolierten Kalorimeter daher keine Wärme aus, und es schmilzt kein Eis.
Eine kleine Eismenge schmilzt in viel heißem Wasser vollständig. Das Wasser kühlt dabei kaum ab. Wie viel Wasser von 40 °C schmilzt 0,1 kg Eis gerade, wenn es dabei auf 0 °C abkühlt?
\[m_W = \frac{m_E \cdot \Delta h_s}{c \cdot \Delta T} = \frac{0{,}1\ \mathrm{kg} \cdot 334\ \mathrm{kJ/kg}}{4{,}19\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} \cdot 40\ \mathrm{K}} \approx 0{,}2\ \mathrm{kg}\]
Das passt zur 80-K-Regel: Darf das Wasser nur um 40 K abkühlen, braucht man die doppelte Masse des Eises.
Quiz
Aussage 1
Zum Schmelzen von 36 g Eis braucht man bei einer molaren Schmelzenthalpie von 6,01 kJ/mol rund 12 kJ.
36 g entsprechen bei \(M = 18\) g/mol genau 2 mol, also \(2 \cdot 6{,}01 \approx 12\) kJ.
Aussage 2
Die Wärme, die 1 kg Eis von 0 °C schmilzt, würde 1 kg flüssiges Wasser um etwa 80 K erwärmen.
Aus \(m \cdot \Delta h_s = m \cdot c \cdot \Delta T\) folgt \(\Delta T = 334/4{,}19 \approx 80\) K.
Aussage 3
Zwei Proben gleicher Masse kühlen bei gleichem Wärmestrom ab; ist das Erstarrungsplateau der einen doppelt so lang, hat sie die doppelte spezifische Schmelzwärme.
Nach \(q = P \cdot \Delta t / m\) ist die Plateaudauer bei gleichem \(P\) und \(m\) proportional zur Schmelzwärme.
Aussage 4
Gibt man Eis von 0 °C in Wasser von 0 °C in einem ideal isolierten Kalorimeter, schmilzt ein Teil des Eises.
Ohne Temperaturunterschied fließt keine Wärme, daher schmilzt kein Eis.
Aussage 5
Kondensierender Wasserdampf gibt pro Kilogramm weniger Wärme ab, als zu seiner Verdampfung nötig war.
Bei der Kondensation wird betragsmäßig genau die Verdampfungswärme \(Q = m \cdot r\) frei.
Aussage 6
Verdoppelt man die Leistung eines Tauchsieders, verdoppelt sich die Zeit, um eine bestimmte Wassermasse zu verdampfen.
Aus \(t = m \cdot r / P\) folgt: Doppelte Leistung halbiert die Verdampfungsdauer.
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