T-S-Diagramm und Entropie im Kreisprozess
Wie man im Temperatur-Entropie-Diagramm Isothermen und Isentropen erkennt, Wärmen als Flächen abliest und den Carnot-Prozess als Rechteck deutet.
Das Wichtigste in Kürze
- Das T-S-Diagramm trägt die absolute Temperatur gegen die Entropie auf. Die Fläche unter einer reversiblen Prozesskurve bis zur S-Achse ist die Wärme \(Q = \int T\,\mathrm{d}S\).
- Waagerechte Strecken (konstante Temperatur) sind isotherme Teilprozesse, auch bei abnehmender Entropie.
- Senkrechte Strecken (konstante Entropie) sind reversibel adiabatische, also isentrope Teilprozesse, etwa die adiabatische Kompression eines idealen Gases.
- Nach einem vollständigen Kreisprozess ist die Entropieänderung des Arbeitsgases null, weil die Entropie eine Zustandsgröße ist.
- Der Carnot-Prozess erscheint als Rechteck. Seine Fläche \((T_2 - T_1)(S_2 - S_1)\) ist die netto umgesetzte Wärme.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Im T-S-Diagramm trägt man die absolute Temperatur gegen die Entropie auf. Anders als im p-V-Diagramm liest man hier die ausgetauschte Wärme direkt als Fläche ab. Dadurch werden Kreisprozesse wie der Carnot-Prozess besonders übersichtlich.
Wärme als Fläche
Das T-S-Diagramm zeigt die Entropie \(S\) auf der waagerechten Achse und die absolute Temperatur \(T\) in Kelvin auf der senkrechten. Grundlage ist die Definition der Entropie. Bei reversibler Führung gilt \(\mathrm{d}Q = T\,\mathrm{d}S\).
Man kann sich die Fläche unter der Kurve aus vielen schmalen Streifen zusammengesetzt denken. Jeder Streifen hat die Breite \(\mathrm{d}S\) und die Höhe \(T\). Seine Fläche ist also genau eine kleine Wärmeportion \(\mathrm{d}Q\). Summiert man alle Streifen zwischen \(S_a\) und \(S_e\), erhält man die reversibel ausgetauschte Wärme.
\[Q = \int_{S_a}^{S_e} T\,\mathrm{d}S\]
Gezählt wird die ganze Fläche bis zur S-Achse, also bis \(T = 0\) K. Der tiefste Punkt der Kurve ist nicht die Grenze. Läuft der Prozess nach rechts, steigt die Entropie und das System nimmt Wärme auf. Läuft er nach links, gibt es Wärme ab.
Die einfachste Kurve ist die Isotherme. Die Temperatur bleibt konstant, nur die Entropie ändert sich. Sie erscheint daher als waagerechte Strecke, und die Fläche darunter ist ein Rechteck mit \(Q = T\,\Delta S\). An dieser waagerechten Linie erkennst du einen isothermen Prozess auch in einem Diagramm ohne Skala.
Isentrope im T-S-Diagramm
Bei einer reversiblen adiabatischen Zustandsänderung fließt keine Wärme. Wegen \(\mathrm{d}S = \mathrm{d}Q/T\) bleibt die Entropie im geschlossenen System dann konstant. Der Prozess ist isentrop und erscheint als senkrechte Strecke. Unter einer senkrechten Linie liegt keine Fläche, passend zu \(Q = 0\).
Die Temperatur ändert sich dabei sehr wohl. Bei der reversiblen adiabatischen Kompression eines idealen Gases steigt \(T\) bei konstantem \(S\). Die Strecke zeigt nach oben, die Expansion senkrecht nach unten. Ein Teilprozess mit steigender Temperatur bei konstanter Entropie ist also adiabatisch und gerade nicht isotherm.
Im p-V-Diagramm sind Isotherme und Adiabate gekrümmt und leicht zu verwechseln. Im T-S-Diagramm werden beide zu Geraden, die senkrecht aufeinander stehen.
Waagerecht heißt: Temperatur fest, Wärme fließt (isotherm). Senkrecht heißt: Entropie fest, keine Wärme (reversibel adiabatisch, isentrop).
Kreisprozess im T-S-Diagramm
Ein Kreisprozess kehrt zu seinem Anfangszustand zurück. Die Entropie ist eine Zustandsgröße. Deshalb ist die Entropieänderung des Arbeitsgases nach einem vollständigen Umlauf null, und die Kurve im Diagramm schließt sich.
Die netto umgesetzte Wärme ist die umschlossene Fläche, also \(Q = \oint T\,\mathrm{d}S\). Beim Umlauf im Uhrzeigersinn nimmt das Gas auf dem oberen Weg mehr Wärme auf, als es auf dem unteren abgibt. Die Differenz gibt es als Arbeit ab. So arbeitet eine Wärmekraftmaschine.
Der Carnot-Prozess besteht aus zwei Isothermen und zwei reversiblen Adiabaten. Im T-S-Diagramm wird er deshalb zum Rechteck. Die Teilprozesse ordnet man allein nach der Lage der Seiten zu:
- Obere Seite: isotherme Expansion bei \(T_2\). Die Entropie steigt von \(S_1\) auf \(S_2\), das Gas nimmt \(Q_\text{zu} = T_2(S_2 - S_1)\) auf.
- Rechte Seite: adiabatische Expansion bei \(S_2\). Die Temperatur sinkt von \(T_2\) auf \(T_1\).
- Untere Seite: isotherme Kompression bei \(T_1\). Die Entropie nimmt ab, das Gas gibt \(Q_\text{ab} = T_1(S_2 - S_1)\) ab.
- Linke Seite: adiabatische Kompression bei \(S_1\). Die Temperatur steigt zurück auf \(T_2\).
Die Nettowärme ist die Differenz beider Flächen unter den Isothermen:
\[Q = (T_2 - T_1)(S_2 - S_1)\]
Ein Beispiel mit \(T_2 = 500\) K, \(T_1 = 300\) K und \(\Delta S = 2\) J/K: Aufgenommen werden 1000 J, abgegeben 600 J. Netto bleiben 400 J, genau die Rechteckfläche 200 K · 2 J/K.
Das rechteckige T-S-Diagramm wird im Examen gerne gefragt: Waagerechte Seiten sind Isothermen, senkrechte Seiten reversible Adiabaten, die Fläche \(\Delta T \cdot \Delta S\) ist die netto umgesetzte Wärme. Achte auf die untere Seite: Konstante Temperatur bei abnehmender Entropie ist isotherm mit Wärmeabgabe, nicht adiabatisch.
Quiz
Aussage 1
Bei einer reversiblen Zustandsänderung entspricht die zugeführte Wärme der gesamten Fläche unter der Kurve im T-S-Diagramm bis hinunter zur S-Achse.
Wegen \(\mathrm{d}Q = T\,\mathrm{d}S\) zählt jeder Streifen der Höhe \(T\) bis \(T = 0\) K mit, nicht nur die Fläche bis zum tiefsten Kurvenpunkt.
Aussage 2
Ein Carnot-Prozess zwischen 400 K und 250 K mit einer Entropiedifferenz von 3 J/K setzt netto 450 J Wärme um.
Die Rechteckfläche ist \((T_2 - T_1)(S_2 - S_1) = 150\ \mathrm{K} \cdot 3\ \mathrm{J/K} = 450\) J.
Aussage 3
Eine Strecke im T-S-Diagramm, auf der die Temperatur konstant bleibt und die Entropie abnimmt, stellt einen adiabatischen Teilprozess dar.
Konstante Temperatur bedeutet waagerechte Strecke, also isotherm. Abnehmende Entropie heißt hier Wärmeabgabe. Adiabatisch wären senkrechte Strecken bei konstanter Entropie.
Aussage 4
Nach einem vollständig durchlaufenen reversiblen Kreisprozess hat die Entropie des Arbeitsgases um die netto aufgenommene Wärme geteilt durch die Temperatur zugenommen.
Die Entropie ist eine Zustandsgröße. Nach einem vollständigen Umlauf ist das Gas wieder im Anfangszustand, seine Entropieänderung ist null.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.