Kinetische Energie und mittlere Teilchengeschwindigkeit
Wie die mittlere kinetische Energie und die mittlere Geschwindigkeit von Gasteilchen von absoluter Temperatur und Teilchenmasse abhängen und wie man daraus Geschwindigkeitsverhältnisse berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die mittlere kinetische Energie und die mittlere Teilchengeschwindigkeit beschreiben die Bewegung der Teilchen eines idealen Gases im Durchschnitt und hängen von absoluter Temperatur und Teilchenmasse ab.
- \(\bar E_\mathrm{kin} = \frac{3}{2}k_\mathrm{B}T\) ist proportional zu T und bei gleicher Temperatur für alle Gase gleich.
- Die mittlere Geschwindigkeit wächst mit \(\sqrt{T/m}\): vierfache absolute Temperatur ergibt doppelte Geschwindigkeit, vierfache Masse halbe Geschwindigkeit. \(\ce{O2}\) ist bei 300 K mit rund 445 m/s etwa viermal langsamer als \(\ce{H2}\).
- Bei konstanter Temperatur sind Geschwindigkeit und Geschwindigkeitsverteilung unabhängig von Druck, Volumen und Teilchendichte. Adiabatische Kompression und isochore Erwärmung erhöhen dagegen \(\bar v\) und die Wandstöße pro Zeit.
- Schall läuft in Luft bei Normbedingungen mit etwa 331 m/s, Licht mit rund 300 000 km/s.
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Temperatur im Teilchenbild
Temperatur ist im Teilchenbild ein Maß dafür, wie heftig sich die Teilchen eines Gases bewegen. Zwei einfache Proportionalitäten verknüpfen Energie und Geschwindigkeit der Teilchen mit Temperatur und Masse. Sie erklären etwa, warum leichter Wasserstoff schneller diffundiert als Sauerstoff, und sie gehören zum Handwerkszeug für Gasgesetze, Diffusion und Thermodynamik.
Mittlere kinetische Energie
Die mittlere kinetische Energie \(\bar E_\mathrm{kin}\) ist die Bewegungsenergie, die ein Gasteilchen im Durchschnitt aller Teilchen besitzt. Einzelne Teilchen sind schneller oder langsamer, wie die thermische Bewegung zeigt. Der Mittelwert hängt beim idealen Gas aber nur von einer Größe ab: der absoluten Temperatur.
\[\bar E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2}\,m\,\overline{v^2} = \frac{3}{2}\,k_\mathrm{B}\,T\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\bar E_\mathrm{kin}\) | mittlere kinetische Energie der Translation je Teilchen | J |
| \(m\) | Masse eines Teilchens | kg |
| \(\overline{v^2}\) | Mittelwert der Geschwindigkeitsquadrate | m²/s² |
| \(k_\mathrm{B}\) | Boltzmann-Konstante, \(1{,}38 \cdot 10^{-23}\) | J/K |
| \(T\) | absolute Temperatur | K |
Woher kommt der Zusammenhang? Die kinetische Gastheorie erklärt den Gasdruck durch den Impuls, den die Teilchen bei Stößen auf die Wand übertragen. Daraus folgt \(pV = \frac{2}{3}N\bar E_\mathrm{kin}\). Der Vergleich mit der Zustandsgleichung des idealen Gases \(pV = Nk_\mathrm{B}T\) liefert die Formel oben. Die Impulsänderung an der Wand begründet also den Druck. Die Proportionalität zur Temperatur ergibt sich erst aus der Gleichsetzung mit der Gasgleichung.
Proportionalität und Grenzfälle
Es gilt \(\bar E_\mathrm{kin} \sim T\): doppelte absolute Temperatur, doppelte mittlere Energie. Für \(T \to 0\,\mathrm{K}\) geht sie gegen null. Bleibt die Temperatur konstant, bleibt auch \(\bar E_\mathrm{kin}\) gleich. Führt man Wärme zu und steigt dadurch die Temperatur, etwa im geschlossenen Gefäß, wächst die mittlere kinetische Energie. Den Unterschied zwischen Wärme und Temperatur klärt die Einheit Temperatur und Wärme.
In der Formel kommen weder Masse noch Gasart vor. Bei gleicher Temperatur haben ein leichtes Heliumatom und ein schweres \(\ce{CO2}\)-Molekül deshalb dieselbe mittlere Translationsenergie. Das schwere Teilchen gleicht seine größere Masse durch eine kleinere Geschwindigkeit aus. Dieser Punkt wird im Examen gerne gefragt: Die mittlere kinetische Energie hängt nur von \(T\) ab, ist bei gleicher Temperatur für alle Gase gleich und wächst linear mit \(T\), nicht mit \(\sqrt{T}\).
Die Abbildung stellt beide Größen nebeneinander. Die Energie liegt für alle Gase auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden. Die Geschwindigkeit dagegen folgt einer Wurzelkurve, die nach rechts abflacht.
Mittlere Geschwindigkeit
Die mittlere Teilchengeschwindigkeit \(\bar v\) ist der Mittelwert der Geschwindigkeitsbeträge aller Teilchen. Löst man \(\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}k_\mathrm{B}T\) nach der Geschwindigkeit auf, steht die Masse im Nenner unter einer Wurzel. Den genauen Vorfaktor für den arithmetischen Mittelwert liefert die Maxwell-Boltzmann-Verteilung:
\[\bar v = \sqrt{\frac{8\,k_\mathrm{B}\,T}{\pi\,m}} = \sqrt{\frac{8\,R\,T}{\pi\,M}} \quad\Rightarrow\quad \bar v \sim \sqrt{\frac{T}{m}}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\bar v\) | mittlere Teilchengeschwindigkeit | m/s |
| \(R\) | allgemeine Gaskonstante, \(8{,}314\) | J/(mol·K) |
| \(M\) | molare Masse des Gases | kg/mol |
| \(T\) | absolute Temperatur | K |
Daneben gibt es die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit \(\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{3k_\mathrm{B}T/m}\). Sie ist etwas größer als \(\bar v\). Für Verhältnisse spielt der Vorfaktor keine Rolle, denn beide folgen \(\sqrt{T/m}\). Weil \(m\) proportional zur molaren Masse ist, rechnet man bequem mit \(M\) in g/mol.
Examensklassiker: Die mittlere Geschwindigkeit ist proportional zu \(\sqrt{T/m}\), steigt also mit der Temperatur und sinkt mit der Teilchenmasse. Achte darauf, die Temperatur in Kelvin einzusetzen und die Wurzel nicht zu vergessen.
Was die Wurzel bedeutet
- vierfache absolute Temperatur: doppelte Geschwindigkeit
- doppelte absolute Temperatur: Faktor \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\)
- vierfache Teilchenmasse: halbe Geschwindigkeit
- gleiches Verhältnis \(T/m\): gleiche Geschwindigkeit
Die Energie folgt der Temperatur, die Geschwindigkeit nur ihrer Wurzel.
Zwei Beispiele zeigen das. Bei 300 K fliegen \(\ce{H2}\)-Moleküle im Mittel mit etwa 1780 m/s. Ein \(\ce{O2}\)-Molekül ist 16-mal so schwer, also ist es um \(\sqrt{16} = 4\) langsamer. Es erreicht bei gleicher Temperatur nur etwa ein Viertel, rund 445 m/s. Helium hat die doppelte molare Masse von \(\ce{H2}\). Bei doppelter Temperatur ist \(T/m\) wieder gleich, denn \(600/4 = 300/2\). Helium bei 600 K ist deshalb genauso schnell wie Wasserstoff bei 300 K.
Rechenbeispiel: anderes Gas, andere Temperatur
Stickstoff hat bei 300 K eine mittlere Geschwindigkeit von 476 m/s. Wie schnell sind Heliumatome bei 1200 K?
- Verhältnis ansetzen: \(\frac{\bar v_\mathrm{He}}{\bar v_\mathrm{N_2}} = \sqrt{\frac{T_\mathrm{He}\cdot M_\mathrm{N_2}}{T_\mathrm{N_2}\cdot M_\mathrm{He}}}\)
- Einsetzen: \(\sqrt{\frac{1200\,\mathrm{K}\cdot 28\,\mathrm{g/mol}}{300\,\mathrm{K}\cdot 4\,\mathrm{g/mol}}} = \sqrt{28} \approx 5{,}29\)
- Ergebnis: \(\bar v_\mathrm{He} \approx 5{,}29 \cdot 476\,\mathrm{m/s} \approx 2520\,\mathrm{m/s}\)
Die Einheiten kürzen sich im Verhältnis heraus. Das ist eine gute Kontrolle. Ändert sich nur die Temperatur, reicht \(\bar v_2/\bar v_1 = \sqrt{T_2/T_1}\). Von 200 K auf 800 K verdoppelt sich die Geschwindigkeit also.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist die Celsius-Temperatur in der Formel. Nur die absolute Temperatur ist proportional zur Teilchenenergie.
Von 50 °C auf 100 °C verdoppelt sich weder Energie noch Geschwindigkeit. Mit 323 K und 373 K steigt \(\bar E_\mathrm{kin}\) um den Faktor 1,15, die Geschwindigkeit nur um \(\sqrt{1{,}15} \approx 1{,}07\).
Außerdem vertauscht man leicht die Massen. Das schwerere Teilchen ist langsamer, seine Masse gehört beim Verhältnis \(\bar v_\mathrm{leicht}/\bar v_\mathrm{schwer}\) in den Zähler. Schließlich zählt die Masse des Teilchens im Gas: Wasserstoff liegt als \(\ce{H2}\) mit 2 g/mol vor, nicht mit 1 g/mol.
Einfluss von Druck und Volumen
In \(\bar v \sim \sqrt{T/m}\) fehlen Druck, Volumen und Teilchendichte. Bei konstanter Temperatur hängen die mittlere Geschwindigkeit und die gesamte Geschwindigkeitsverteilung deshalb nicht von ihnen ab. Auch der Teilchendurchmesser spielt keine Rolle. Er bestimmt nur, wie oft Teilchen zusammenstoßen, also die mittlere freie Weglänge. Man kann sich das wie Autos auf einer Straße vorstellen: Mehr Verkehr bedeutet mehr Begegnungen, aber nicht höheres Tempo.
Entscheidend ist deshalb, wie eine Zustandsänderung die Temperatur verändert. Bei isothermer Kompression bleibt \(T\) konstant. Die Teilchen rücken enger zusammen, ihre mittlere Geschwindigkeit bleibt gleich. Der Druck steigt trotzdem, weil pro Zeit mehr Teilchen auf die Wand treffen.
Bei adiabatischer Kompression tauscht das Gas keine Wärme mit der Umgebung aus. Die Kompressionsarbeit erhöht die innere Energie und damit die Temperatur. Mittlere kinetische Energie und mittlere Geschwindigkeit nehmen zu. Die Einzelheiten behandelt die Einheit adiabatische Prozesse.
Bei isochorer Erwärmung bleibt die Teilchendichte gleich, die Teilchen werden aber schneller. Die Zahl der Wandstöße pro Fläche und Zeit ist proportional zu \(n \cdot \bar v\), mit der Teilchendichte \(n\). Sie steigt also. Zusätzlich trifft jedes Teilchen mit mehr Impuls auf, daher wächst der Druck nach dem Gesetz von Amontons.
| Vorgang | \(T\) | Teilchendichte | \(\bar v\) und \(\bar E_\mathrm{kin}\) | Wandstöße pro Zeit und Fläche |
|---|---|---|---|---|
| isotherme Kompression | konstant | steigt | unverändert | steigen |
| adiabatische Kompression | steigt | steigt | steigen | steigen |
| isochore Erwärmung | steigt | konstant | steigen | steigen |
Die Abbildung zeigt die drei Fälle im Teilchenbild. Die Zahl der Punkte steht für die Dichte, die Länge der Pfeile für die Geschwindigkeit.
Vergleich: Schall in Luft
Schall breitet sich in Luft aus, indem Moleküle Druckschwankungen durch Stöße weitergeben. Seine Geschwindigkeit liegt daher in derselben Größenordnung wie die mittlere Molekülgeschwindigkeit. Bei Normbedingungen, also 0 °C und 1013 hPa, beträgt die Schallgeschwindigkeit in Luft etwa 331 m/s, das sind rund 1191 km/h. Die mittlere Geschwindigkeit der Luftmoleküle ist bei 0 °C mit etwa 445 m/s etwas größer. Mehr zur Ausbreitung von Wellen steht bei den Kenngrößen von Wellen.
Licht ist um viele Größenordnungen schneller. In Luft erreicht es knapp die Vakuumlichtgeschwindigkeit, etwa \(3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\). Das sind rund 300 000 km/s und nicht 300 000 m/s. Wer die Einheit verwechselt, liegt um den Faktor 1000 daneben.
Quiz
Aussage 1
Bei 300 K bewegen sich \(\ce{O2}\)-Moleküle im Mittel etwa viermal langsamer als \(\ce{H2}\)-Moleküle.
Das Massenverhältnis ist 32 : 2 = 16, die Wurzel daraus 4. \(\ce{O2}\) erreicht rund 445 m/s, \(\ce{H2}\) rund 1780 m/s.
Aussage 2
Erwärmt man ein ideales Gas von 50 °C auf 100 °C, verdoppelt sich die mittlere kinetische Energie seiner Teilchen.
Maßgeblich ist die absolute Temperatur: von 323 K auf 373 K steigt die Energie nur um den Faktor 1,15.
Aussage 3
Verdoppelt man die absolute Temperatur eines idealen Gases, verdoppelt sich die mittlere Geschwindigkeit seiner Teilchen.
Die Geschwindigkeit wächst mit \(\sqrt{T}\), steigt also nur um den Faktor \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\). Verdoppelt wird die mittlere kinetische Energie.
Aussage 4
Bei gleicher Temperatur besitzen Heliumatome und Xenonatome dieselbe mittlere kinetische Energie.
\(\bar E_\mathrm{kin} = \frac{3}{2}k_\mathrm{B}T\) enthält keine Masse. Sie hängt nur von der absoluten Temperatur ab.
Aussage 5
Ein Gas mit vierfacher molarer Masse muss bei vierfacher absoluter Temperatur vorliegen, damit seine Teilchen im Mittel genauso schnell sind wie die des leichteren Gases.
Gleiche Geschwindigkeit verlangt gleiches \(T/m\). Vierfache Masse wird durch vierfache Temperatur ausgeglichen.
Aussage 6
Die Lichtgeschwindigkeit in Luft beträgt rund 300 000 m/s.
Licht läuft in Luft mit etwa \(3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\), also rund 300 000 km/s.
Aussage 7
Bei isothermer Kompression steigt die mittlere Teilchengeschwindigkeit, weil die Teilchen enger zusammenrücken.
Bei konstanter Temperatur bleibt die mittlere Geschwindigkeit unverändert. Nur die Teilchendichte und damit die Zahl der Wandstöße steigt.
Aussage 8
Bei adiabatischer Kompression eines idealen Gases nimmt die mittlere kinetische Energie der Teilchen zu.
Die Kompressionsarbeit erhöht ohne Wärmeabgabe die Temperatur, damit steigen mittlere kinetische Energie und Geschwindigkeit.
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