Lineare Längenausdehnung fester Körper
Wie stark sich ein fester Stab beim Erwärmen verlängert, wie man den Längenausdehnungskoeffizienten bestimmt und wie man Längenänderung, Endlänge und Dehnfugen berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die lineare Längenausdehnung beschreibt, wie sich die Länge eines festen Körpers mit der Temperatur ändert: \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\).
- Die Längenänderung ist proportional zu Ausgangslänge, Koeffizient und Temperaturdifferenz, der Querschnitt bzw. Drahtdurchmesser geht nicht ein.
- Die relative Längenänderung \(\Delta l / l_0 = \alpha \cdot \Delta T\) ergibt gegen \(\Delta T\) eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(\alpha\).
- Der Längenausdehnungskoeffizient \(\alpha = \Delta l / (l_0 \cdot \Delta T)\) hat die Einheit \(\mathrm{K^{-1}}\), für Stahl liegt er bei etwa \(10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\).
- Die Endlänge ist \(l_T = l_0 (1 + \alpha \Delta T)\), als \(\Delta T\) setzt man die Spanne zwischen tiefster und höchster Temperatur ein.
- Für Dehnfugen teilt man die Gesamtdehnung durch die Fugenbreite und rundet auf.
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Worum es geht
Feste Körper werden beim Erwärmen länger und beim Abkühlen kürzer. Für Stäbe, Drähte und Schienen beschreibt das eine einfache Proportionalität. Sie erklärt Dehnfugen in Brücken ebenso wie das Verhalten von Laborglas und ist die Grundlage für jede Rechnung zur Wärmeausdehnung.
Lineares Ausdehnungsgesetz
Erwärmt man einen festen Körper, schwingen seine Atome stärker um ihre Gitterplätze. Ihr mittlerer Abstand wächst, und der Körper wird größer. Bei Stäben, Drähten oder Schienen interessiert vor allem die Länge. Ihre Änderung beschreibt das lineare Ausdehnungsgesetz.
\[\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\Delta l\) | Längenänderung | m (oft mm) |
| \(\alpha\) | Längenausdehnungskoeffizient | \(\mathrm{K^{-1}}\) |
| \(l_0\) | Ausgangslänge vor der Erwärmung | m |
| \(\Delta T\) | Temperaturdifferenz | K |
Die Längenänderung ist also zu drei Größen proportional. Ein doppelt so langer Stab wird bei gleicher Erwärmung doppelt so viel länger. Doppelte Temperaturdifferenz bedeutet doppelte Längenänderung. Ein Material mit doppeltem \(\alpha\) dehnt sich doppelt so stark. Kühlt der Körper ab, ist \(\Delta T\) negativ und damit auch \(\Delta l\): Der Stab verkürzt sich. Eine Kupferstange hat deshalb im Winter eine messbar andere Länge als im Sommer.
Jedes Stück des Stabs dehnt sich um denselben Bruchteil. Man kann sich den Stab wie eine Kette aus vielen gleichen Gliedern vorstellen. Jedes Glied wächst gleich viel, also zählt nur, wie viele Glieder hintereinander liegen. Deshalb hängt \(\Delta l\) von der Länge ab, aber nicht vom Querschnitt. Ein dicker und ein dünner Kupferdraht gleicher Länge werden bei gleicher Erwärmung um denselben Betrag länger. Der Durchmesser taucht in der Formel nicht auf.
Teilt man beide Seiten durch \(l_0\), erhält man die relative Längenänderung:
\[\frac{\Delta l}{l_0} = \alpha \cdot \Delta T\]
Sie hängt nur noch vom Material und von der Temperaturdifferenz ab. Trägt man \(\Delta l / l_0\) gegen \(\Delta T\) auf, ergibt sich eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(\alpha\). Aluminium hat die steilste Gerade, Kupfer liegt darunter, Stahl noch tiefer.
Das Gesetz \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\) wird im Examen gerne gefragt. Achte darauf: \(\Delta l\) wächst mit Ausgangslänge, Koeffizient und Temperaturdifferenz, der Drahtdurchmesser spielt dagegen keine Rolle.
Warum „lineare Näherung“
Genau genommen ist \(\alpha\) nicht ganz konstant. Er ändert sich leicht mit der Temperatur. Außerdem könnte man die Längenänderung auf die Länge vor oder nach dem Erwärmen beziehen. Bei festen Körpern ist \(\alpha \cdot \Delta T\) aber winzig, meist deutlich unter einem Prozent. Beide Effekte fallen dann nicht ins Gewicht. Man rechnet deshalb mit einer Geraden, konstantem \(\alpha\) und der Ausgangslänge als Bezug. Das ist die lineare Näherung. Bei sehr großen Temperaturspannen wird sie ungenauer.
Längenausdehnungskoeffizient
Der Koeffizient \(\alpha\) fasst zusammen, wie stark ein bestimmtes Material auf Erwärmung reagiert. Man erhält ihn, wenn man das Ausdehnungsgesetz nach \(\alpha\) umstellt.
Der Längenausdehnungskoeffizient ist die relative Längenänderung pro Temperaturdifferenz: \(\alpha = \frac{\Delta l}{l_0 \cdot \Delta T}\). Er ist eine Materialkonstante mit der Einheit \(\mathrm{K^{-1}}\).
Die Einheit ergibt sich direkt aus der Formel. \(\Delta l\) und \(l_0\) sind beide Längen und kürzen sich. Übrig bleibt eins durch Kelvin. Eine Temperaturdifferenz von 1 K ist genau so groß wie 1 °C, das erklärt die Einheit der Temperaturdifferenz. Für Metalle liegt \(\alpha\) in der Größenordnung \(10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\), für Stahl bei etwa \(1{,}2 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\).
| Material | \(\alpha\) in \(10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}}\) | \(\Delta l\) für 1 m und 100 K |
|---|---|---|
| Aluminium | etwa 23 | 2,3 mm |
| Kupfer | etwa 17 | 1,7 mm |
| Stahl | etwa 12 | 1,2 mm |
| Borosilikatglas | etwa 3,3 | 0,33 mm |
Unterschiedliche Koeffizienten nutzt man gezielt. Zwei verbundene Metallstreifen mit verschiedenem \(\alpha\) verbiegen sich beim Erwärmen, das ist das Prinzip des Bimetalls. Borosilikatglas dehnt sich dagegen kaum und verträgt deshalb Temperaturwechsel gut.
Koeffizient aus Messdaten bestimmen
Ein Messingstab von 1,50 m Länge wird um 40 K erwärmt und dabei 1,14 mm länger.
- Einheiten angleichen: \(\Delta l = 1{,}14\,\mathrm{mm} = 1{,}14 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}\).
- Formel umstellen: \(\alpha = \frac{\Delta l}{l_0 \cdot \Delta T}\).
- Einsetzen: \(\alpha = \frac{1{,}14 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}}{1{,}50\,\mathrm{m} \cdot 40\,\mathrm{K}} = 1{,}9 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\).
- Plausibilität prüfen: Die Größenordnung \(10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\) passt zu einem Metall.
Ist die relative Längenänderung in Prozent gegeben, rechnet man sie zuerst in eine Dezimalzahl um. Beispiel: 0,12 % bei \(\Delta T = 50\,\mathrm{K}\). Dann gilt \(\alpha = \frac{0{,}0012}{50\,\mathrm{K}} = 2{,}4 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\).
Rechnen mit Längenausdehnung
Meist sucht man die Längenänderung oder die Länge nach dem Erwärmen. Die Endlänge ist die Ausgangslänge plus Zuwachs. Klammert man \(l_0\) aus, folgt:
\[l_T = l_0 + \Delta l = l_0 \, (1 + \alpha \, \Delta T)\]
Der Faktor in der Klammer liegt bei festen Körpern nur knapp über 1.
Längenänderung und Endlänge eines Stabs
Eine Stahlstange ist 12 m lang, \(\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\). Sie muss Temperaturen von −15 °C bis +35 °C aushalten.
- Temperaturspanne bilden: \(\Delta T = 35\,\mathrm{°C} - (-15\,\mathrm{°C}) = 50\,\mathrm{K}\).
- Längenänderung berechnen: \(\Delta l = 1{,}2 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}} \cdot 12\,\mathrm{m} \cdot 50\,\mathrm{K} = 7{,}2 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m} = 7{,}2\,\mathrm{mm}\).
- Endlänge angeben: \(l_T = 12\,\mathrm{m} \cdot (1 + 6 \cdot 10^{-4}) = 12{,}0072\,\mathrm{m}\).
Liegt der Bereich unter und über 0 °C, ist \(\Delta T\) die Differenz aus höchster und tiefster Temperatur. Von −15 °C bis +35 °C sind das 50 K und nicht 20 K.
Dehnfugen einer Brücke
Lange Bauwerke würden sich ohne Spielraum verbiegen oder reißen. Brücken bekommen deshalb Dehnfugen. Sie sind im Winter weit offen und im Sommer fast geschlossen. Jede Fuge kann nur eine begrenzte Breite aufnehmen. Die gesamte Längenänderung muss sich also auf mehrere Fugen verteilen.
Eine Stahlbrücke ist 400 m lang. Sie erlebt Temperaturen von −25 °C bis +45 °C. Jede Fuge nimmt höchstens 80 mm auf.
- Temperaturspanne: \(\Delta T = 45\,\mathrm{°C} - (-25\,\mathrm{°C}) = 70\,\mathrm{K}\).
- Gesamtdehnung: \(\Delta l = 1{,}2 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}} \cdot 400\,\mathrm{m} \cdot 70\,\mathrm{K} = 0{,}336\,\mathrm{m} = 336\,\mathrm{mm}\).
- Durch die Fugenbreite teilen: \(336\,\mathrm{mm} / 80\,\mathrm{mm} = 4{,}2\).
- Aufrunden: Vier Fugen nähmen nur 320 mm auf, also braucht man mindestens 5 Fugen.
Diese Brückenrechnung wird im Examen gerne gefragt. Entscheidend sind die richtige Temperaturspanne und das Aufrunden auf die nächste ganze Fuge, auch bei 4,1.
Typische Fehler
- Einheiten mischen: \(l_0\) in Metern ergibt \(\Delta l\) in Metern. Erst danach in Millimeter umrechnen.
- Absolute Temperatur einsetzen: Hier zählt nur die Differenz. Sie hat in Kelvin und Grad Celsius denselben Zahlenwert.
- Endlänge mit Zuwachs verwechseln: \(\Delta l\) ist nur der Zuwachs. Die neue Länge ist \(l_0 + \Delta l\).
- Prozent vergessen: 0,12 % sind 0,0012, nicht 0,12.
Quiz
Aussage 1
Für Stahl liegt der Längenausdehnungskoeffizient in der Größenordnung von \(10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\).
Stahl hat etwa \(1{,}2 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\), typisch für Metalle.
Aussage 2
Wird ein Stab doppelt so lang gewählt und gleich stark erwärmt, verdoppelt sich seine Längenänderung.
\(\Delta l\) ist proportional zur Ausgangslänge \(l_0\).
Aussage 3
Muss eine Brücke 250 mm Längenänderung ausgleichen und nimmt jede Fuge höchstens 60 mm auf, braucht sie mindestens fünf Dehnfugen.
\(250 / 60 \approx 4{,}2\). Vier Fugen reichen nur für 240 mm, also wird auf fünf aufgerundet.
Aussage 4
Der Längenausdehnungskoeffizient wird in Meter pro Kelvin angegeben.
Längenänderung und Ausgangslänge kürzen sich. Die Einheit ist \(\mathrm{K^{-1}}\).
Aussage 5
Ein Körper, der sich bei einer Erwärmung um 50 K relativ um 0,1 % verlängert, hat \(\alpha = 2 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\).
\(\alpha = 0{,}001 / 50\,\mathrm{K} = 2 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\).
Aussage 6
Von zwei gleich langen Kupferdrähten dehnt sich bei gleicher Erwärmung der dickere stärker aus.
Der Durchmesser kommt in \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\) nicht vor. Beide Drähte werden um denselben Betrag länger.
Aussage 7
Für einen Temperaturbereich von −10 °C bis +30 °C setzt man \(\Delta T = 20\,\mathrm{K}\) in das Ausdehnungsgesetz ein.
\(\Delta T\) ist die Differenz aus höchster und tiefster Temperatur: \(30\,\mathrm{°C} - (-10\,\mathrm{°C}) = 40\,\mathrm{K}\).
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