Isobare Zustandsänderung: Gesetz von Gay-Lussac
Wie sich das Volumen eines idealen Gases bei konstantem Druck mit der Temperatur ändert, wie man damit rechnet und wie die Isobare in Diagrammen aussieht.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Gesetz von Gay-Lussac besagt: Bei konstantem Druck und konstanter Stoffmenge ist das Volumen eines idealen Gases proportional zur absoluten Temperatur, \(V_1/T_1 = V_2/T_2\).
- Mit der Celsius-Temperatur gilt die lineare Form \(V = V_0(1 + \gamma t)\) mit \(\gamma \approx 1/273\ \mathrm{K^{-1}}\).
- Unter einem reibungsfrei beweglichen Kolben bleibt der Druck beim Erwärmen konstant, sein Absolutwert wird für das Volumenverhältnis nicht gebraucht.
- Vor jeder Rechnung werden Temperaturen in Kelvin umgerechnet: Verdopplung des Volumens ab 20 °C erfordert etwa 313 °C.
- Die Isobare ist im V-T-Diagramm eine Ursprungsgerade, im V-t-Diagramm extrapoliert sie bei −273 °C auf null, im p-V-Diagramm ist sie waagerecht.
- Bei isobarer Expansion steigt die Temperatur, bei isobarer Kompression sinkt sie.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Erwärmt man ein Gas bei konstantem Druck, dehnt es sich aus, und zwar proportional zur absoluten Temperatur. Dieses Gasgesetz ergänzt das Gesetz von Boyle-Mariotte für konstante Temperatur. In der Pharmazie braucht man es überall dort, wo Gasvolumina bei unterschiedlichen Temperaturen verglichen werden, etwa bei Gasentwicklung in der Analytik.
Gesetz von Gay-Lussac
Das Gesetz von Gay-Lussac gilt für ein ideales Gas bei konstantem Druck und konstanter Stoffmenge. Dann ist das Volumen proportional zur absoluten Temperatur, der Quotient \(V/T\) bleibt gleich. Das Gesetz folgt direkt aus der allgemeinen Gasgleichung \(pV = nRT\), wenn man \(p\) und \(n\) festhält.
\[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad (p,\ n = \text{const})\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(V_1\), \(V_2\) | Volumen vor und nach der Zustandsänderung | L oder m³ |
| \(T_1\), \(T_2\) | absolute Temperatur vorher und nachher | K |
Die Proportionalität ist streng: doppelte absolute Temperatur, doppeltes Volumen. Jede isobare Erwärmung vergrößert das Volumen, jede isobare Abkühlung verkleinert es. Führt man einem idealen Gas isobar Wärme zu, steigen Temperatur und Volumen also gemeinsam.
Physikalisch sieht das so aus: Das Gas sitzt in einem Zylinder unter einem reibungsfrei beweglichen Kolben. Beim Erwärmen stoßen die Teilchen heftiger gegen den Kolben. Er weicht nach oben aus, bis der Gasdruck wieder Außendruck und Kolbengewicht ausgleicht. Der Druck stellt sich so von selbst konstant ein. Eine verschlossene Spritze mit leicht gleitendem Stempel im warmen Wasserbad verhält sich genauso.
Der Druck taucht in \(V_1/T_1 = V_2/T_2\) gar nicht auf. Für das Volumenverhältnis muss man seinen Absolutwert deshalb nicht kennen. Es genügt, dass er konstant bleibt.
Lineare Form mit der Celsius-Temperatur
Mit der Celsius-Temperatur \(t\) lautet das Gesetz \(V = V_0(1 + \gamma t)\). Dabei ist \(V_0\) das Volumen bei 0 °C und \(\gamma = 1/273{,}15\ \mathrm{K^{-1}} \approx 0{,}00366\ \mathrm{K^{-1}}\) der Volumenausdehnungskoeffizient des idealen Gases. Pro Kelvin Erwärmung wächst das Volumen also um rund 1/273 des Volumens bei 0 °C. Das Volumen steigt linear mit \(t\), proportional ist es aber nur zu \(T\).
Gay-Lussac gehört zum Pflichtprogramm: Bei konstantem Druck gilt \(V/T = \text{const}\), isobare Erwärmung vergrößert das Volumen stets. Achte darauf, dass die Proportionalität nur zur Kelvin-Temperatur besteht. Mit Celsius gilt nur die lineare Form \(V = V_0(1 + \gamma t)\).
Isobaren-Rechnungen
Meist sind drei der vier Größen gegeben. Man löst nach der gesuchten auf: \(V_2 = V_1 \cdot T_2/T_1\) oder \(T_2 = T_1 \cdot V_2/V_1\). Vorher rechnet man alle Temperaturen in Kelvin um.
- Gegeben: 2,0 L Gas bei 27 °C werden bei konstantem Druck auf 87 °C erwärmt.
- In Kelvin umrechnen: \(T_1 = 300{,}15\ \mathrm{K}\), \(T_2 = 360{,}15\ \mathrm{K}\).
- Auflösen: \(V_2 = V_1 \cdot T_2/T_1 = 2{,}0\ \mathrm{L} \cdot 360{,}15/300{,}15\).
- Ergebnis: \(V_2 \approx 2{,}4\ \mathrm{L}\), also rund 20 % mehr.
Die Gegenrichtung funktioniert genauso. Ein Gas bei 20 °C soll sein Volumen isobar verdoppeln. Dann muss sich die absolute Temperatur verdoppeln: \(T_2 = 2 \cdot 293{,}15\ \mathrm{K} = 586{,}3\ \mathrm{K}\). Zurück in Celsius sind das etwa 313 °C, nicht 40 °C.
Setzt man im Beispiel 87 °C und 27 °C direkt ins Verhältnis, käme mehr als das Dreifache heraus statt 20 % mehr. In Gasgesetzen stehen Temperaturen immer in Kelvin.
Ein zweiter häufiger Fehler ist der vertauschte Bruch. Ein schneller Plausibilitätscheck hilft: Bei Erwärmung muss das Volumen größer werden, bei Abkühlung kleiner. Ist die Endtemperatur in °C gefragt, zieht man am Ende 273,15 ab.
Isobare in Diagrammen
Eine Isobare ist die Kurve aller Zustände gleichen Drucks. Im V-T-Diagramm ist sie eine Ursprungsgerade, denn \(V = (nR/p) \cdot T\). Die Steigung \(nR/p\) zeigt: Je höher der Druck, desto flacher die Gerade.
Trägt man das Volumen über der Celsius-Temperatur auf, verschiebt sich die Achse. Die Gerade schneidet die V-Achse bei 0 °C oberhalb von null, dort liegt \(V_0\). Verlängert man sie nach links, erreicht sie bei etwa −273 °C das Volumen null. Alle Isobaren treffen sich dort, beim absoluten Nullpunkt. Reale Gase verflüssigen sich lange vorher, deshalb ist dieser Teil nur extrapoliert.
Soll man unter mehreren Kurven die Isobare über der Celsius-Temperatur finden, sucht man eine steigende Gerade mit positivem Achsenabschnitt bei 0 °C. Ihre Verlängerung trifft die t-Achse bei −273 °C. Eine Ursprungsgerade passt dagegen nur zur Kelvin-Achse.
Im p-V-Diagramm bleibt der Druck auf der Isobare gleich, sie ist eine waagerechte Linie. Erwärmung schiebt den Zustand nach rechts zu größerem Volumen. Anders die Isotherme, die dort als Hyperbel fällt.
Expansion und Kompression
Die Gasgleichung liefert \(T = pV/(nR)\). Bleibt \(p\) konstant, folgt die Temperatur direkt dem Volumen. Bei isobarer Expansion steigt die Temperatur, bei isobarer Kompression sinkt die absolute Temperatur.
Daraus folgt auch, was bei einer Expansion allgemein nicht zwingend ist. Der Druck muss nicht sinken, denn bei isobarer Führung bleibt er konstant. Das gilt auch für reversible Expansionen. Die Temperatur muss ebenfalls nicht steigen. Sie steigt bei isobarer Expansion, bleibt bei isothermer gleich und sinkt bei adiabatischer. Welche Größe sich wie ändert, hängt also immer davon ab, was man festhält. Die Energiebilanz dazu folgt bei den isobaren und isothermen Prozessen.
Quiz
Aussage 1
Erwärmt man ein ideales Gas bei konstantem Druck von 20 °C auf 40 °C, verdoppelt sich sein Volumen.
Das Volumen ist proportional zur Kelvin-Temperatur: 293 K auf 313 K bedeutet nur rund 7 % mehr Volumen. Für eine Verdopplung wären etwa 313 °C nötig.
Aussage 2
Im V-t-Diagramm mit Celsius-Achse trifft die verlängerte Isobare eines idealen Gases bei etwa −273 °C auf das Volumen null.
Die Isobare ist dort eine Gerade mit positivem Achsenabschnitt bei 0 °C. Extrapoliert erreicht sie beim absoluten Nullpunkt das Volumen null.
Aussage 3
Im p-V-Diagramm erscheint eine Isobare als fallende Hyperbel.
Die Isobare ist im p-V-Diagramm waagerecht, weil der Druck gleich bleibt. Die Hyperbel ist die Isotherme.
Aussage 4
Um das Volumenverhältnis bei isobarer Erwärmung zu berechnen, braucht man den Absolutwert des Drucks.
Der Druck kommt in \(V_1/T_1 = V_2/T_2\) nicht vor. Es genügt, dass er konstant bleibt.
Aussage 5
Wird ein ideales Gas unter einem reibungsfrei beweglichen Kolben erwärmt, bleibt der Gasdruck konstant.
Der Kolben weicht aus, bis der Gasdruck wieder Außendruck und Kolbengewicht ausgleicht. Der Prozess ist isobar.
Aussage 6
Wird ein ideales Gas isobar komprimiert, sinkt seine absolute Temperatur.
Bei konstantem Druck gilt \(T = pV/(nR)\). Kleineres Volumen bedeutet niedrigere Temperatur.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.