Erster Hauptsatz, innere Energie und Zustandsgrößen
Wie Systemgrenzen, Zustands- und Prozessgrößen zusammenhängen und wie der 1. Hauptsatz die innere Energie eines idealen Gases mit Wärme und Arbeit verknüpft.
Das Wichtigste in Kürze
- Der 1. Hauptsatz ist der Energieerhaltungssatz der Thermodynamik: Für ein geschlossenes System gilt \(\Delta U = Q + W\), wobei aufgenommene Wärme und Arbeit positiv zählen.
- \(p\), \(V\), \(T\) und \(U\) sind Zustandsgrößen, Wärme und Volumenarbeit sind wegabhängige Prozessgrößen.
- Beim Vereinigen gleicher Gasportionen gleichen Zustands werden \(N\), \(V\) und \(U\) verdoppelt (extensiv), \(p\) und \(T\) bleiben gleich (intensiv).
- Im abgeschlossenen System bleibt die innere Energie konstant, der wärmere Körper gibt so viel Wärme ab, wie der kältere aufnimmt.
- Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von \(T\) ab: \(\mathrm{d}U = C_V\,\mathrm{d}T\), bei isothermen Vorgängen ist \(\Delta U = 0\).
- Eine Temperaturerhöhung ist durch Wärmezufuhr, durch adiabatische Kompression oder durch isobares Heizen mit Expansion möglich.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Der 1. Hauptsatz ist die Energiebilanz der Thermodynamik. Er sagt, wie Wärme und Arbeit die innere Energie eines Systems verändern. Auf ihm bauen alle späteren Prozessbilanzen auf, von der isothermen Expansion bis zur Reaktionsenthalpie einer Arzneistoffsynthese.
Thermodynamische Systeme
Jede thermodynamische Betrachtung beginnt mit einer Grenze. Das System ist der Teil der Welt, den man untersucht, etwa das Gas in einem Zylinder. Alles außerhalb ist die Umgebung. Entscheidend ist, was die Systemgrenze passieren darf.
- Offenes System: Stoff und Energie werden ausgetauscht. Beispiel: ein offener Becher Tee, aus dem Wasser verdunstet.
- Geschlossenes System: Nur Energie in Form von Wärme und Arbeit passiert die Grenze, die Stoffmenge bleibt gleich. Beispiel: Gas in einem dichten Zylinder mit Kolben.
- Abgeschlossenes (isoliertes) System: Es findet kein Austausch mit der Umgebung statt, weder von Stoff noch von Energie. Näherungsweise erfüllt das ein gut verschlossenes Dewar-Gefäß.
Für Energiebilanzen braucht man eine Vorzeichenregel. Hier gilt die in der Chemie übliche Konvention: Was das System aufnimmt, zählt positiv. Zugeführte Wärme hat \(Q > 0\), abgegebene Wärme \(Q < 0\). Wird am System Arbeit verrichtet, etwa beim Komprimieren, ist \(W > 0\). Dehnt sich das Gas aus und verrichtet selbst Arbeit, ist \(W < 0\).
Manche Physikbücher zählen die vom System abgegebene Arbeit positiv und schreiben \(\Delta U = Q - W\). Physikalisch ist das dieselbe Aussage. Prüfe vor dem Einsetzen immer, wie \(W\) definiert ist.
Zustands- und Prozessgrößen
Eine Zustandsgröße hängt nur vom momentanen Zustand ab, nicht davon, wie er erreicht wurde. Für ein Gas sind das Druck \(p\), Volumen \(V\), Temperatur \(T\) und die innere Energie \(U\). Man kann sie sich wie die Höhe eines Gipfels vorstellen. Sie ist gleich, egal über welchen Pfad man aufsteigt.
Wärme \(Q\) und Volumenarbeit \(W\) sind dagegen Prozessgrößen. Sie beschreiben Energie, die während einer Zustandsänderung über die Grenze fließt. Ein Gas besitzt also keine Wärme und keine Arbeit. Ihr Betrag hängt vom Weg der Zustandsänderung ab, wie die Länge des Wanderpfads.
Im p-V-Diagramm sieht man das direkt. Bei konstantem Druck gilt \(W = -p\,\Delta V\), der Betrag entspricht der Fläche unter der Kurve. Weg 1 erhöht von A aus zuerst isochor den Druck und dehnt dann bei hohem Druck aus. Weg 2 dehnt zuerst bei niedrigem Druck aus und erhöht danach den Druck. Auf Weg 1 leistet das Gas mehr Arbeit. Da \(\Delta U\) auf beiden Wegen gleich ist, muss auf Weg 1 auch mehr Wärme zufließen.
Diese Zuordnung wird im Examen gerne gefragt: \(p\), \(V\), \(T\) und \(U\) sind Zustandsgrößen, Wärme und Volumenarbeit sind wegabhängige Prozessgrößen.
Extensive und intensive Größen
Zustandsgrößen lassen sich weiter einteilen. Der einfachste Test: Man vereinigt zwei gleiche Gasportionen im gleichen Zustand, also mit gleichem \(p\), \(V\), \(T\) und gleicher Teilchenzahl \(N\).
Extensive Größen wachsen proportional mit der Stoffmenge und addieren sich beim Vereinigen. Intensive Größen hängen nicht von der Stoffmenge ab und bleiben beim Vereinigen gleicher Portionen unverändert.
So leitet man die Größen des vereinigten Systems ab. Beispiel: zwei Gefäße mit je 1,0 mol Helium bei 300 K und 100 kPa, Volumen je 24,9 L.
- Additive Größen addieren: Die Teilchenzahl wird \(2N\), also 2,0 mol. Das Volumen wird \(2V\), rund 49,9 L.
- Innere Energie addieren: Jede Portion hat \(U = \tfrac{3}{2}nRT = 1{,}5 \cdot 1{,}0\ \text{mol} \cdot 8{,}314\ \text{J/(mol K)} \cdot 300\ \text{K} \approx 3{,}74\ \text{kJ}\). Zusammen sind es \(2U \approx 7{,}48\ \text{kJ}\).
- Intensive Größen prüfen: \(T\) bleibt 300 K. Der Druck bleibt \(p = 2nRT/(2V) = 100\ \text{kPa}\).
- Molare Größe bilden: \(U_m = 2U/(2n) \approx 3{,}74\ \text{kJ/mol}\), also unverändert.
Die innere Energie ist also eine extensive Zustandsgröße. Für ein ideales Gas gilt bei konstanter Temperatur \(U \sim n\). Pumpt man bei gleicher Temperatur weiteres Gas in einen Behälter, steigt \(U\) proportional zur Stoffmenge.
Teilt man eine extensive Größe durch die Stoffmenge, entsteht eine molare Größe wie \(U_m = U/n\). Sie ist intensiv. Die molare innere Energie eines idealen Gases hängt nur von \(T\) ab. Bei Gaszufuhr unter konstanter Temperatur bleibt sie deshalb gleich. Extensiv sind auch die übrigen Energiegrößen, etwa die freie Energie. Sie hängt ebenfalls von der Stoffmenge ab.
Beim Vereinigen zweier gleicher Gasportionen gleichen Zustands werden \(N\), \(V\) und \(U\) zu \(2N\), \(2V\) und \(2U\). Druck und Temperatur bleiben \(p\) und \(T\), weil sie intensiv sind. Das gilt nur, wenn beide Portionen vorher denselben Zustand haben.
Energieerhaltung
Der 1. Hauptsatz ist der Energieerhaltungssatz der Thermodynamik. Energie geht nicht verloren und entsteht nicht aus dem Nichts. Für ein geschlossenes System heißt das: Die innere Energie ändert sich genau um die aufgenommene Wärme plus die aufgenommene Arbeit.
\[\Delta U = Q + W \qquad \text{bzw.} \qquad \mathrm{d}U = \delta Q + \delta W\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\Delta U\) | Änderung der inneren Energie des Systems | J |
| \(Q\) | vom System aufgenommene Wärme, negativ bei Abgabe | J |
| \(W\) | am System verrichtete Arbeit, für Volumenarbeit \(W = -p\,\Delta V\) | J |
Die innere Energie \(U\) ist die gesamte Energie im Inneren des Systems. Dazu zählen Translation, Rotation und Schwingung der Teilchen sowie ihre Wechselwirkungsenergien. Die Bewegung des Systems als Ganzes gehört nicht dazu. In der Gleichung stehen nur Energien. Die Temperatur selbst kommt im 1. Hauptsatz nicht vor.
Der Satz gilt allgemein: für ideale und reale Gase, Flüssigkeiten, feste Stoffe und chemische Reaktionen. Er gilt auch für adiabatische Prozesse. Dort ist \(Q = 0\) und damit \(\Delta U = W\). Energieerhaltung beschränkt sich also nicht auf die Umwandlung mechanischer Arbeit in Wärme. Die Mechanik kennt sie als Spezialfall.
Beispiel: Ein Gas nimmt 800 J Wärme auf und dehnt sich gegen konstant 100 kPa um 3,0 L aus.
- Wärme mit Vorzeichen: Das Gas nimmt Wärme auf, also \(Q = +800\ \text{J}\).
- Volumenarbeit: \(W = -p\,\Delta V = -1{,}0 \cdot 10^{5}\ \text{Pa} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3 = -300\ \text{J}\).
- Bilanz: \(\Delta U = 800\ \text{J} - 300\ \text{J} = +500\ \text{J}\). Die innere Energie steigt.
Typische Fehler sind ein vergessenes Minus bei der Expansionsarbeit und Liter ohne Umrechnung (\(1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3\)). Auch \(Q\) kann negativ sein, wenn das System Wärme abgibt.
Abgeschlossenes System
Ein abgeschlossenes System tauscht keine Wärme und keine Arbeit mit der Umgebung aus. Mit \(Q = 0\) und \(W = 0\) folgt \(\Delta U = 0\). Gesamtenergie und innere Energie bleiben konstant. Innerhalb des Systems darf Energie aber umverteilt werden.
Bringt man in einem isolierten Gefäß einen heißen und einen kalten Körper in Kontakt, fließt Wärme zum kälteren. Der wärmere gibt genau so viel Wärme ab, wie der kältere aufnimmt. Die innere Energie des wärmeren Körpers nimmt ab, die des kälteren zu. Darauf beruht die Kalorimetrie.
Konstant ist die innere Energie nur im abgeschlossenen System. Ein geschlossenes System tauscht Wärme und Arbeit aus, seine innere Energie kann sich also ändern.
Innere Energie idealer Gase
Beim idealen Gas hängt \(U\) nur von der Temperatur ab. Die Teilchen wechselwirken nicht. Es gibt also keine Energie, die vom Teilchenabstand und damit vom Volumen abhängt. \(U\) ist die Summe der Bewegungsenergien, und deren Mittelwert ist proportional zu \(T\) (mittlere kinetische Energie).
Für ein einatomiges Gas wie Helium gilt \(U = \tfrac{3}{2}nRT\). Mit \(pV = nRT\) folgt \(U = \tfrac{3}{2}pV\). Das Produkt \(p \cdot V\) ist also proportional zur inneren Energie.
Totales Differential
Allgemein hängt \(U\) von zwei Zustandsvariablen ab, etwa \(T\) und \(V\). Ändern sich beide ein wenig, setzt sich \(\mathrm{d}U\) aus zwei Beiträgen zusammen. Jeder Beitrag ist die partielle Ableitung nach einer Variablen bei konstanter anderer, multipliziert mit dem Differential genau dieser Variablen:
\[\mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \mathrm{d}V\]
Der Index an der Klammer nennt die konstant gehaltene Größe. Dieses totale Differential existiert, weil \(U\) eine Zustandsgröße ist. Für Prozessgrößen gibt es keins. Deshalb schreibt man \(\mathrm{d}U\), aber \(\delta Q\) und \(\delta W\).
Beim idealen Gas ist \((\partial U/\partial V)_T = 0\). Der erste Faktor ist die Wärmekapazität bei konstantem Volumen \(C_V\) (molare Wärmekapazitäten). Übrig bleibt \(\mathrm{d}U = C_V\,\mathrm{d}T\).
Daraus folgen Standardfälle, die du sicher können solltest: Bei isothermer Kompression, isothermer Expansion und beim isothermen Mischen idealer Gase bleibt \(U\) konstant. Kühlt ein ideales Gas ab, sinkt \(U\), auch wenn es sich gleichzeitig ausdehnt.
Temperaturerhöhung auf verschiedenen Wegen
Da nur \(\Delta T\) über \(\Delta U\) entscheidet, führen verschiedene Wege zur gleichen Erwärmung. Sie verteilen dasselbe \(\Delta U\) unterschiedlich auf \(Q\) und \(W\).
| Weg | Wärme | Arbeit | Bilanz |
|---|---|---|---|
| isochor beheizt, starrer Behälter | \(Q > 0\) | \(W = 0\) | \(\Delta U = Q\) |
| adiabatisch komprimiert, isoliert | \(Q = 0\) | \(W > 0\) | \(\Delta U = W\) |
| isobar beheizt, Kolben steigt | \(Q > 0\) | \(W < 0\) | \(Q\) größer als \(\Delta U\) |
Wärmezufuhr allein reicht also, um die Temperatur zu erhöhen. Nötig ist sie aber nicht, denn Kompression ohne Wärmezufuhr schafft es auch. Ebenso wenig braucht es eine Kompression. Beim isobaren Heizen dehnt sich das Gas sogar aus und wird trotzdem wärmer. Die vollständigen Bilanzen folgen bei den isochoren, isobaren und isothermen Zustandsänderungen.
Quiz
Aussage 1
Die Volumenarbeit ist eine Zustandsgröße, weil sie sich aus Druck und Volumen berechnen lässt.
Die Volumenarbeit ist eine Prozessgröße. Sie hängt vom Weg im p-V-Diagramm ab, nicht nur von Anfangs- und Endzustand.
Aussage 2
Führt man einem idealen Gas bei konstanter Temperatur weitere Stoffmenge zu, steigt seine molare innere Energie.
Die gesamte innere Energie steigt proportional zur Stoffmenge. Die molare innere Energie hängt nur von \(T\) ab und bleibt gleich.
Aussage 3
Der 1. Hauptsatz gilt für ideale Gase, aber nicht für feste Stoffe.
Der 1. Hauptsatz gilt allgemein, also auch für feste Stoffe, Flüssigkeiten und adiabatische Prozesse.
Aussage 4
Bei der isothermen Expansion eines idealen Gases ändert sich seine innere Energie nicht.
Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab. Bei konstantem \(T\) ist \(\Delta U = 0\).
Aussage 5
Berühren sich in einem abgeschlossenen System ein warmer und ein kalter Körper, nimmt die innere Energie des wärmeren Körpers ab.
Der wärmere Körper gibt Wärme ab, genau so viel, wie der kältere aufnimmt. Die Gesamtenergie bleibt konstant.
Aussage 6
Ein ideales Gas lässt sich ohne Wärmezufuhr erwärmen, etwa durch adiabatische Kompression.
Bei adiabatischer Kompression ist \(Q = 0\) und \(\Delta U = W > 0\), die Temperatur steigt.
Aussage 7
In einem geschlossenen System bleibt die innere Energie immer konstant.
Ein geschlossenes System tauscht Wärme und Arbeit mit der Umgebung aus, \(U\) kann sich also ändern. Konstant ist \(U\) nur im abgeschlossenen System.
Aussage 8
Vereinigt man zwei gleiche Heliumportionen gleichen Zustands, hat das Gesamtsystem den Druck \(p\) und die innere Energie \(2U\).
Der Druck ist intensiv und bleibt gleich, die innere Energie ist extensiv und addiert sich.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.