Entropie: Definition und Eigenschaften
Die Entropie als extensive Zustandsgröße mit der Einheit J/K und ihre Berechnung aus reversibel zugeführter Wärme und absoluter Temperatur.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Entropie \(S\) ist eine extensive Zustandsgröße; ihre Änderung zwischen zwei Zuständen hängt nur von Anfangs- und Endzustand ab, nicht vom Weg.
- Die Einheit der Entropie ist J/K; \(\mathrm{N \cdot m}\) ist eine Energieeinheit und für die Entropie falsch.
- Die Entropie wächst mit der Stoffmenge: Zwei Portionen desselben Gases im gleichen Zustand haben zusammen 2S, ohne Mischungsentropie.
- Bei reversibler Wärmezufuhr gilt \(\mathrm{d}S = \mathrm{d}Q_{\mathrm{rev}}/T\), isotherm \(\Delta S = Q/T\): proportional zur Wärme, umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur.
- Beim Rechnen mit \(\Delta S \approx Q/T\) wird die Temperatur immer in Kelvin eingesetzt und die Wärme in Joule.
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Worum es geht
Die Entropie ist neben Energie und Temperatur die dritte Grundgröße der Wärmelehre. Sie entscheidet später über die Richtung von Vorgängen und steckt in der freien Enthalpie, mit der man die Freiwilligkeit chemischer Reaktionen beurteilt. Hier geht es um ihre Definition, ihre Einheit und ihre Eigenschaften.
Zustandsgröße und Einheit
Eine Zustandsgröße hängt nur vom momentanen Zustand eines Systems ab, nicht von seiner Vorgeschichte. Den Begriff kennst du aus der Einheit zum ersten Hauptsatz. Die Entropie \(S\) gehört in diese Reihe, genau wie Druck, Volumen, Temperatur und innere Energie.
Die Entropie \(S\) ist eine extensive Zustandsgröße mit der Einheit J/K. Ihre Änderung ergibt sich aus der reversibel ausgetauschten Wärme, geteilt durch die absolute Temperatur.
Aus der Zustandsfunktion folgt direkt die Wegunabhängigkeit. Geht ein System von Zustand 1 in Zustand 2 über, gilt immer \(\Delta S = S_2 - S_1\). Auf welchem Weg das geschieht, spielt keine Rolle. Die Wärme \(Q\) verhält sich anders. Sie ist eine Prozessgröße und hängt vom Weg ab.
Die Abbildung zeigt das im p-V-Diagramm. Zwei verschiedene Wege verbinden dieselben Zustände. Auf jedem Weg fließt eine andere Wärme, die Entropieänderung ist aber gleich. Das ist auch praktisch nützlich: Für einen beliebigen Vorgang kann man \(\Delta S\) über einen bequemen reversiblen Ersatzweg zwischen denselben Zuständen berechnen.
Die Einheit J/K
Die Entropie entsteht rechnerisch aus einer Wärme in Joule, geteilt durch eine Temperatur in Kelvin. Ihre Einheit ist deshalb J/K. Besonders prüfungsrelevant ist die Unterscheidung zur Energieeinheit: \(1\ \mathrm{N \cdot m}\) ist genau \(1\ \mathrm{J}\), also eine Energie. In \(\mathrm{N \cdot m}\) lässt sich die Entropie daher nicht angeben, denn das „pro Kelvin“ fehlt.
Entropie und Energie sind zwei verschiedene physikalische Größen. Erst das Produkt \(T \cdot S\) hat wieder die Einheit einer Energie. So taucht es später in der freien Enthalpie auf.
- Einheit \(\mathrm{J} = \mathrm{N \cdot m}\)
- innere Energie ist Zustandsgröße, Wärme und Arbeit sind Prozessgrößen
- im abgeschlossenen System konstant (1. Hauptsatz)
- Einheit \(\mathrm{J/K}\)
- Zustandsgröße, Änderung wegunabhängig
- im abgeschlossenen System kann sie zunehmen (2. Hauptsatz)
Extensive Größe
Größen lassen sich in intensive und extensive einteilen, wie in der Einheit zur Zustandsgleichung idealer Gase beschrieben. Intensive Größen wie Temperatur und Druck bleiben gleich, wenn man ein System teilt. Extensive Größen wie Masse, Volumen und Stoffmenge teilen sich mit auf.
Die Entropie ist eine extensive Zustandsgröße. Sie hängt von der Stoffmenge ab und wächst mit ihr. Doppelte Stoffmenge im gleichen Zustand bedeutet doppelte Entropie. Das gilt auch, wenn man einem idealen Gas bei konstantem Volumen und konstanter Temperatur weitere Stoffmenge zuführt. Temperatur und Volumen bleiben dann gleich, die Entropie aber steigt, weil mehr Teilchen im Gefäß sind.
Zwei gleiche Gasportionen vereinigen
Zwei gleiche Gefäße enthalten dasselbe Gas im gleichen Zustand, also bei gleichem Druck, gleicher Temperatur und gleicher Stoffmenge. Jede Portion hat die Entropie \(S\). Öffnet man das Ventil zwischen ihnen, besitzt die vereinigte Gasmenge die Entropie 2S.
Eine Mischungsentropie tritt dabei nicht auf. Der Grund: Makroskopisch ändert sich nichts. Druck und Temperatur bleiben gleich, und die Teilchen sind nicht unterscheidbar. Schließt man das Ventil wieder, liegt exakt der Ausgangszustand vor. Man kann sich das wie zwei Gläser mit demselben Leitungswasser vorstellen, die man zusammengießt: Es entsteht nichts Neues, nur mehr vom Gleichen.
Anders ist es bei zwei verschiedenen Gasen. Sie durchmischen sich nach dem Öffnen, und dieser Vorgang lässt sich nicht von selbst umkehren. Die Gesamtentropie wird dann größer als \(2S\). Die Mischungsentropie gehört zum zweiten Hauptsatz.
Wird im Examen gerne gefragt: Zwei Gefäße mit demselben Gas im gleichen Zustand haben nach dem Verbinden zusammen die Entropie \(2S\), ohne Mischungsentropie. Achte darauf, ob wirklich dasselbe Gas im gleichen Zustand vorliegt, denn nur dann addieren sich die Entropien einfach.
Reversibel zugeführte Wärme
Wie groß eine Entropieänderung ist, legt die Definition über die Wärme fest. Nimmt ein System bei der absoluten Temperatur \(T\) reversibel eine kleine Wärme auf, ändert sich seine Entropie um diese Wärme geteilt durch \(T\). Reversibel heißt, dass der Vorgang über lauter Gleichgewichtszustände läuft und sich vollständig umkehren lässt. Mehr dazu steht bei den Kreisprozessen.
\[\mathrm{d}S = \frac{\mathrm{d}Q_{\mathrm{rev}}}{T} \qquad \text{isotherm:} \quad \Delta S = \frac{Q_{\mathrm{rev}}}{T}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\mathrm{d}S\), \(\Delta S\) | Entropieänderung des Systems | J/K |
| \(\mathrm{d}Q_{\mathrm{rev}}\), \(Q_{\mathrm{rev}}\) | reversibel ausgetauschte Wärme, aufgenommen positiv | J |
| \(T\) | absolute Temperatur | K |
Bleibt die Temperatur während der Wärmezufuhr konstant, ist der Vorgang isotherm. Dann darf man die kleinen Beiträge einfach aufsummieren und erhält \(\Delta S = Q/T\). Bei Phasenübergängen ist das der Normalfall, sie behandelt die Einheit zur Entropie bei Phasenübergängen.
Was die Formel aussagt
Nimmt das System Wärme auf, ist \(Q\) positiv und die Entropie steigt. Gibt es Wärme ab, sinkt seine Entropie. Zwei Proportionalitäten lassen sich direkt ablesen:
- Bei fester Temperatur ist \(\Delta S\) proportional zur Wärme: doppelte Wärme, doppelte Entropieänderung.
- Bei fester Wärme ist \(\Delta S\) umgekehrt proportional zu T: doppelte absolute Temperatur, halbe Entropieänderung.
Der zweite Punkt hat eine anschauliche Seite. Dieselbe Wärme verändert ein kaltes System stärker als ein heißes, ähnlich wie zehn Euro für ein knappes Budget mehr bedeuten als für ein großes. Die Abbildung zeigt die Hyperbel für feste Wärme: Bei 600 K ist \(\Delta S\) nur halb so groß wie bei 300 K.
Rechenbeispiel
Ein Liter Wasser im Wasserbad hat 37 °C. Ein Heizstab führt ihm 3,1 kJ Wärme zu. Dabei erwärmt sich das Wasser nur um etwa 0,7 K. Gegenüber rund 310 K ist das vernachlässigbar, die Temperatur gilt also näherungsweise als konstant. Deshalb rechnet man mit \(\Delta S \approx Q/T\).
- Temperatur umrechnen: \(T = 37 + 273{,}15 = 310{,}15\ \mathrm{K}\), wie bei den Temperaturskalen beschrieben.
- Wärme in Joule: \(Q = 3{,}1\ \mathrm{kJ} = 3100\ \mathrm{J}\).
- Einsetzen: \(\Delta S \approx \frac{3100\ \mathrm{J}}{310{,}15\ \mathrm{K}} \approx 10{,}0\ \mathrm{J/K}\).
- Vorzeichen prüfen: Das Wasser nimmt Wärme auf, also ist \(\Delta S\) positiv.
Gibt dasselbe Wasser später 3,1 kJ an die Umgebung ab, ändert sich seine Entropie um etwa \(-10{,}0\ \mathrm{J/K}\).
Setzt man 37 statt 310,15 ein, erhält man etwa 84 J/K, also rund das Achtfache des richtigen Werts. In \(\Delta S = Q/T\) gehört immer die absolute Temperatur in Kelvin.
Weitere typische Fehler sind schnell vermieden. Kilojoule müssen vor dem Teilen in Joule umgerechnet werden, sonst stimmt das Ergebnis um den Faktor 1000 nicht. Wer \(T/Q\) statt \(Q/T\) rechnet, erhält die falsche Einheit K/J. Abgegebene Wärme bekommt ein negatives Vorzeichen. Wie man Entropieänderungen idealer Gase bei Volumen- und Temperaturänderung berechnet, zeigt die Einheit zu Entropieänderungen idealer Gase.
Quiz
Aussage 1
Verbindet man zwei Gefäße, die dasselbe Gas im gleichen Zustand mit jeweils der Entropie \(S\) enthalten, hat die Gesamtmenge die Entropie \(2S\).
Die Entropie ist extensiv. Da sich makroskopisch nichts ändert, entsteht keine Mischungsentropie.
Aussage 2
Für die Entropieänderung von Wasser bei 25 °C darf man in \(\Delta S = Q/T\) direkt \(T = 25\) einsetzen.
In die Formel gehört die absolute Temperatur: \(T = 298{,}15\ \mathrm{K}\). Mit dem Celsius-Wert wird das Ergebnis viel zu groß.
Aussage 3
Weil \(1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N \cdot m}\) gilt, kann man die Entropie auch in \(\mathrm{N \cdot m}\) angeben.
\(\mathrm{N \cdot m}\) ist eine Energieeinheit. Der Entropie fehlt dann das „pro Kelvin“; richtig ist J/K. Entropie und Energie sind verschiedene Größen.
Aussage 4
Führt man einem idealen Gas bei konstantem Volumen und konstanter Temperatur weitere Stoffmenge zu, bleibt seine Entropie unverändert.
Die Entropie hängt als extensive Größe von der Stoffmenge ab und steigt mit ihr, auch wenn V und T gleich bleiben.
Aussage 5
Bei isothermer reversibler Wärmezufuhr ist die Entropieänderung proportional zur zugeführten Wärmemenge.
Aus \(\Delta S = Q/T\) folgt bei konstantem \(T\): doppelte Wärme, doppelte Entropieänderung.
Aussage 6
Wie die Wärme hängt auch die Entropieänderung zwischen zwei Zuständen vom gewählten Weg ab.
Die Entropie ist eine Zustandsgröße, ihre Änderung ist wegunabhängig. Nur die Wärme als Prozessgröße hängt vom Weg ab.
Aussage 7
Dieselbe reversibel zugeführte Wärme bewirkt bei 600 K eine halb so große Entropieänderung wie bei 300 K.
Bei fester Wärme ist \(\Delta S = Q/T\) umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur.
Aussage 8
Die Entropie wird in der Einheit J/K angegeben.
Sie ergibt sich aus Wärme in Joule geteilt durch absolute Temperatur in Kelvin.
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