Temperaturabhängigkeit von Dichte und Viskosität
Wie sich die Dichte aus einer Volumenänderung ergibt, warum Wasser dabei aus der Reihe fällt und wie die Viskosität von Flüssigkeiten auf Erwärmung reagiert.
Das Wichtigste in Kürze
- Bei konstanter Masse ist die Dichte umgekehrt proportional zum Volumen (\(\rho = m/V\)); für kleine Änderungen gilt \(\Delta\rho/\rho \approx -\Delta V/V_0\).
- Eine relative Volumenzunahme um wenige Prozent senkt die Dichte um denselben Prozentsatz, eine Volumenabnahme erhöht sie entsprechend.
- Festkörper und Flüssigkeiten, etwa flüssiger Stickstoff, werden beim Erwärmen in der Regel weniger dicht.
- Dichteanomalie des Wassers: Eis (0,917 g/cm³) ist weniger dicht als flüssiges Wasser, das sein Dichtemaximum bei 4 °C hat; beim Schmelzen nimmt das Volumen ab.
- Die Viskosität von Flüssigkeiten wie Honig und Wasser sinkt mit steigender Temperatur, bei Wasser zwischen 0 °C und 100 °C auf etwa ein Sechstel.
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Worum es geht
Erwärmt man einen Stoff, ändern sich mit dem Volumen auch Dichte und Zähigkeit. Das betrifft in der Pharmazie das genaue Abmessen von Flüssigkeiten genauso wie das Fließverhalten von Sirupen. Wasser verhält sich dabei anders als fast alle anderen Stoffe, und genau das erklärt, warum Eis schwimmt.
Dichteänderung bei Volumenänderung
Die Dichte ist Masse pro Volumen. Erwärmt oder komprimiert man eine Probe, bleibt ihre Masse gleich. Nur das Volumen ändert sich. Deshalb ist die Dichte bei konstanter Masse umgekehrt proportional zum Volumen: Wird das Volumen größer, wird die Dichte kleiner.
\[\rho = \frac{m}{V} \qquad \frac{\Delta\rho}{\rho} \approx -\frac{\Delta V}{V_0}\]
\(\rho\) Dichte in kg/m³, \(m\) Masse in kg, \(V_0\) Ausgangsvolumen in m³, \(\Delta V\) Volumenänderung. Die Näherung gilt für kleine relative Änderungen von wenigen Prozent.
Das Minuszeichen trägt die ganze Physik. Eine relative Volumenzunahme liefert eine gleich große relative Dichteabnahme. Eine kleine Volumenabnahme liefert umgekehrt eine betragsgleiche Dichtezunahme. Wie groß \(\Delta V\) beim Erwärmen ist, berechnet man über den Volumenausdehnungskoeffizienten aus der Einheit zur Volumenausdehnung.
- Relative Volumenänderung bestimmen: Eine Flüssigkeit dehnt sich beim Erwärmen um 0,8 % aus, also \(\Delta V/V_0 = +0{,}008\).
- Vorzeichen umkehren: \(\Delta\rho/\rho \approx -0{,}008\).
- In Prozent angeben: Die Dichte sinkt um etwa 0,8 %. Exakt gerechnet ergibt \(1/1{,}008 = 0{,}992\) eine Abnahme um 0,79 %, die Näherung passt also gut.
Umgekehrt gilt: Schrumpft eine Probe beim Abkühlen um 0,5 %, steigt ihre Dichte um etwa 0,5 %.
Diese Umrechnung wird im Examen gerne gefragt: Die relative Dichteänderung ist bei kleinen Änderungen gleich der negativen relativen Volumenänderung. Achte auf das Vorzeichen, denn mehr Volumen bedeutet immer weniger Dichte.
Dichte kondensierter Stoffe
Festkörper und Flüssigkeiten dehnen sich beim Erwärmen fast immer aus. Die Teilchen schwingen stärker und brauchen im Mittel mehr Platz. Mit dem Volumen wächst, nach der Beziehung aus dem vorigen Abschnitt, die Dichte nicht mit, sondern sie sinkt. Als Regel gilt deshalb: Die Dichte kondensierter Stoffe nimmt mit steigender Temperatur ab.
Ein anschauliches Beispiel ist flüssiger Stickstoff. Am Siedepunkt von −196 °C hat er eine Dichte von rund 0,81 g/cm³. Erwärmt man die Flüssigkeit, solange sie noch flüssig bleibt, wird sie weniger dicht. Für Metalle, Glas, Ethanol oder Glycerol gilt dasselbe.
Die Formulierung „in der Regel“ ist wichtig. Es gibt Ausnahmen, und die bekannteste ist ausgerechnet der häufigste Stoff im Labor.
Anomalie des Wassers
Als Dichteanomalie bezeichnet man ein Dichteverhalten gegen die Regel: Ein Stoff ist im festen Zustand weniger dicht als im flüssigen, oder seine Dichte steigt in einem Temperaturbereich beim Erwärmen an. Wasser zeigt beides.
Eis hat bei 0 °C eine Dichte von etwa 0,917 g/cm³, flüssiges Wasser bei derselben Temperatur etwa 0,9998 g/cm³. Im Schmelzgleichgewicht liegen also zwei Phasen mit deutlich unterschiedlicher Dichte nebeneinander. Deshalb schwimmt Eis. Erwärmt man das Schmelzwasser weiter, steigt seine Dichte zunächst noch an. Ihr Maximum von knapp 1,000 g/cm³ erreicht sie bei etwa 4 °C. Erst darüber verhält sich Wasser wie andere Flüssigkeiten.
Die Ursache liegt im Aufbau des Eises. Jedes Wassermolekül bindet dort über Wasserstoffbrücken tetraedrisch an vier Nachbarn. So entsteht ein hexagonales Gitter mit großen Hohlräumen, ähnlich einem Gerüst, das mehr Luft als Stäbe enthält. Beim Schmelzen bricht ein Teil dieser Brücken. Die Moleküle rücken in die Lücken und packen sich dichter.
Daraus folgen zwei Konsequenzen. Beim Schmelzen nimmt das Volumen ab, um gut 8 %. Beim Gefrieren dehnt sich Wasser entsprechend um rund 9 % aus, was Flaschen und Gestein sprengen kann. Taut ein Gemisch aus Eis und Wasser auf, wächst der Anteil der dichteren Phase. Die mittlere Dichte des Systems nimmt also beim Auftauen zu.
Die feste Phase ist demnach nicht automatisch die dichtere. Bei den meisten Stoffen stimmt das zwar, Wasser ist aber das Paradebeispiel für die Ausnahme. Wenige weitere Stoffe wie Bismut, Gallium oder Silicium verhalten sich ähnlich. Wie sich die Anomalie in der Schmelzdruckkurve zeigt, behandelt das Phasendiagramm des Wassers.
Viskosität und Temperatur
Die Viskosität beschreibt die innere Reibung einer Flüssigkeit. Sie ist stark temperaturabhängig und sinkt mit steigender Temperatur. Wärmere Moleküle bewegen sich heftiger. Sie lösen sich leichter aus dem Verbund ihrer Nachbarn und gleiten besser aneinander vorbei.
Jeder kennt das von Honig: Kalt fließt er kaum, im warmen Wasserbad wird er flüssig. Auch bei Wasser ist der Effekt groß. Seine Viskosität fällt von 1,79 mPa·s bei 0 °C auf 0,28 mPa·s bei 100 °C, also auf etwa ein Sechstel. Die Kurve fällt dabei nicht gerade, sondern bei niedrigen Temperaturen besonders steil.
Das gilt auch für Newton’sche Flüssigkeiten wie Wasser, Ethanol oder Glycerol. Bei ihnen hängt die Viskosität nicht von der Schergeschwindigkeit ab, wohl aber von der Temperatur. Anders verhalten sich Gase, denn ihre Viskosität steigt beim Erwärmen leicht an, weil schnellere Teilchen mehr Impuls zwischen den Schichten übertragen. Welche Folgen die Viskosität für Strömungen hat, steht beim Hagen-Poiseuille-Gesetz.
Quiz
Aussage 1
Im Schmelzgleichgewicht bei 0 °C besitzen Eis und flüssiges Wasser dieselbe Dichte.
Eis hat etwa 0,917 g/cm³, Wasser etwa 0,9998 g/cm³; die Dichten unterscheiden sich deutlich.
Aussage 2
Dehnt sich eine Flüssigkeit beim Erwärmen um 2 % aus, sinkt ihre Dichte um etwa 2 %.
Für kleine Änderungen gilt \(\Delta\rho/\rho \approx -\Delta V/V_0\), also rund −2 %.
Aussage 3
Die Viskosität von Honig nimmt beim Erwärmen ab.
Die Viskosität von Flüssigkeiten sinkt mit steigender Temperatur, weil die Moleküle leichter aneinander vorbeigleiten.
Aussage 4
Flüssiger Stickstoff wird bei Erwärmung dichter, solange er flüssig bleibt.
Wie die meisten Flüssigkeiten dehnt sich flüssiger Stickstoff beim Erwärmen aus; seine Dichte nimmt ab.
Aussage 5
Flüssiges Wasser erreicht seine größte Dichte bei etwa 4 °C.
Zwischen 0 °C und 4 °C steigt die Dichte beim Erwärmen an, erst darüber sinkt sie wie bei anderen Flüssigkeiten.
Aussage 6
Schmilzt ein Eiswürfel vollständig, nimmt das Schmelzwasser ein größeres Volumen ein als zuvor das Eis.
Flüssiges Wasser ist dichter als Eis, daher nimmt das Volumen beim Schmelzen um gut 8 % ab.
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