Carnot-Wirkungsgrad: Formel, Berechnung und Grenze
Der Carnot-Wirkungsgrad gibt an, welcher Anteil der zugeführten Wärme zwischen zwei Temperaturen höchstens in Arbeit umgewandelt werden kann.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Carnot-Wirkungsgrad \(\eta_\text{C} = 1 - T_\text{k}/T_\text{w} = (T_\text{w} - T_\text{k})/T_\text{w}\) ist der höchstmögliche Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine zwischen zwei Temperaturen.
- Er hängt nur von den Reservoirtemperaturen ab, im Nenner steht immer die warme Temperatur.
- Temperaturen in °C müssen vor dem Einsetzen in Kelvin umgerechnet werden, etwa 177 °C und 27 °C zu 450 K und 300 K, also \(\eta \approx 33\ \%\).
- Bei festem \(T_\text{w}\) sinkt \(\eta\) linear mit \(T_\text{k}\); bei festem \(T_\text{k}\) steigt es mit \(T_\text{w}\) nicht linear und nähert sich 1.
- Den Carnot-Wirkungsgrad erreicht eine Maschine nur, wenn alle Komponenten reversibel arbeiten.
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Worum es geht
Jede Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem warmen und einem kalten Reservoir. Der Carnot-Wirkungsgrad sagt, wie viel Arbeit dabei bestenfalls herauskommt, und er hängt nur von diesen zwei Temperaturen ab. Wer ihn sicher berechnen kann, beherrscht zugleich den Umgang mit absoluten Temperaturen.
Formel
Den Carnot-Prozess und den thermischen Wirkungsgrad \(\eta = W/Q_\text{zu}\) kennst du aus Kreisprozesse und Carnot-Prozess. Beim Carnot-Prozess lässt sich das Verhältnis der Wärmen durch die Temperaturen der Reservoire ausdrücken. So entsteht der Carnot-Wirkungsgrad:
\[\eta_\text{C} = 1 - \frac{T_\text{k}}{T_\text{w}} = \frac{T_\text{w} - T_\text{k}}{T_\text{w}}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\eta_\text{C}\) | Carnot-Wirkungsgrad | dimensionslos (oder %) |
| \(T_\text{w}\) | absolute Temperatur des warmen Reservoirs | K |
| \(T_\text{k}\) | absolute Temperatur des kalten Reservoirs | K |
Die Maschine nimmt die Wärme \(Q_\text{zu}\) aus dem warmen Reservoir auf. Den Anteil \(T_\text{k}/T_\text{w}\) gibt sie als Abwärme an das kalte Reservoir ab. Nur der Rest wird zu Arbeit.
Im Nenner steht immer die warme Temperatur, nie die kalte. Die Formel enthält nur die beiden Reservoirtemperaturen. Bauart, Arbeitsstoff und Drehzahl der Maschine spielen für \(\eta_\text{C}\) keine Rolle.
Manche Bücher nennen die warme Temperatur \(T_1\), andere die kalte. Verlass dich nicht auf den Index: Im Nenner steht stets die höhere Temperatur, und \(\eta\) liegt zwischen 0 und 1.
Berechnung
Temperaturen sind oft in Grad Celsius angegeben. Die Formel gilt aber nur mit absoluten Temperaturen in Kelvin. Wie man umrechnet, steht unter Kelvin- und Celsius-Skala. Ein Beispiel: Dampf mit 177 °C, Kühlwasser mit 27 °C.
- Umrechnen: \(T_\text{w} = 177 + 273 = 450\ \text{K}\) und \(T_\text{k} = 27 + 273 = 300\ \text{K}\).
- Einsetzen (Differenzform): \(\eta = \frac{450\ \text{K} - 300\ \text{K}}{450\ \text{K}} = \frac{150}{450}\).
- Ausrechnen: \(\eta \approx 0{,}33\), also etwa 33 %.
- Kontrolle mit der anderen Form: \(1 - \frac{300}{450} = 1 - 0{,}67 = 0{,}33\).
Das Berechnen aus zwei Celsius-Temperaturen wird im Examen gerne gefragt. Rechne beide Werte zuerst in Kelvin um und teile durch die warme Temperatur.
Der häufigste Fehler ist das Einsetzen der Celsius-Werte: \(150/177\) ergäbe 85 %, viel zu hoch. Die Differenz \(T_\text{w} - T_\text{k}\) ist zwar in °C und K gleich, der Nenner aber nicht. Ein zweiter Fehler ist der Kehrwert im Nenner. Ein Ergebnis über 1 zeigt sofort, dass etwas nicht stimmt.
Temperaturabhängigkeit
Aus der Form \(\eta = 1 - T_\text{k}/T_\text{w}\) liest man ab, wie der Wirkungsgrad auf jede Temperatur reagiert. Hält man \(T_\text{w}\) fest, ist \(1/T_\text{w}\) eine Konstante. Dann ist \(\eta\) eine Gerade in \(T_\text{k}\) mit der Steigung \(-1/T_\text{w}\). Der Wirkungsgrad sinkt linear mit steigender unterer Temperatur.
Hält man dagegen \(T_\text{k}\) fest, steht die Variable \(T_\text{w}\) im Nenner. Der Wirkungsgrad steigt mit \(T_\text{w}\), aber nicht linear. Jedes weitere Kelvin bringt weniger Gewinn, und die Kurve nähert sich asymptotisch 1. Gleiches gilt für die Temperaturdifferenz: Mit \(T_\text{w} = T_\text{k} + \Delta T\) folgt \(\eta = \Delta T/(T_\text{k} + \Delta T)\), also ebenfalls ein nichtlinearer Anstieg.
Die Grenzfälle zeigen die Abbildung links: Bei \(T_\text{k} = T_\text{w}\) ist \(\eta = 0\), die Maschine leistet keine Arbeit. Den Wert 1 erreicht \(\eta\) nur bei \(T_\text{k} = 0\ \text{K}\), und der absolute Nullpunkt ist unerreichbar.
Maximaler Wirkungsgrad
Der Carnot-Wirkungsgrad ist die Obergrenze für alle Kreisprozesse, die zwischen denselben zwei Temperaturen laufen. Keine Wärmekraftmaschine kann mehr Wärme in Arbeit umsetzen. Das folgt aus dem zweiten Hauptsatz.
Erreicht wird die Grenze nur, wenn alle Komponenten reversibel arbeiten. Reale Maschinen verlieren Energie durch Reibung, Wärmeleitung über endliche Temperaturdifferenzen und schnelle Zustandsänderungen. Ihr Wirkungsgrad liegt daher stets unter \(\eta_\text{C}\). Um ihn zu steigern, bleibt nur der Weg über eine höhere obere oder eine tiefere untere Temperatur.
Quiz
Aussage 1
Eine reale Maschine mit Reibungsverlusten kann zwischen denselben Temperaturen einen höheren Wirkungsgrad als die Carnot-Maschine erreichen.
Der Carnot-Wirkungsgrad ist die Obergrenze aller Kreisprozesse zwischen denselben Temperaturen. Irreversible Maschinen liegen stets darunter.
Aussage 2
Bei konstanter oberer Temperatur nimmt der Carnot-Wirkungsgrad linear ab, wenn die untere Temperatur steigt.
Mit festem \(T_\text{w}\) ist \(\eta = 1 - T_\text{k}/T_\text{w}\) eine fallende Gerade in \(T_\text{k}\) mit der Steigung \(-1/T_\text{w}\).
Aussage 3
Arbeitet eine Carnot-Maschine zwischen 127 °C und 27 °C, beträgt ihr Wirkungsgrad 25 %.
Umgerechnet sind das 400 K und 300 K, also \(\eta = (400 - 300)/400 = 0{,}25\).
Aussage 4
Eine schneller laufende Carnot-Maschine hat bei gleichen Reservoirtemperaturen einen höheren Carnot-Wirkungsgrad.
Der Carnot-Wirkungsgrad hängt nur von \(T_\text{w}\) und \(T_\text{k}\) ab, die Drehzahl spielt keine Rolle.
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