Isotherme Zustandsänderung: Gesetz von Boyle-Mariotte
Wie Druck und Volumen einer abgeschlossenen Gasmenge bei konstanter Temperatur zusammenhängen, wie man damit rechnet und wie die Isotherme im p-V-Diagramm aussieht.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Boyle-Mariotte-Gesetz beschreibt die isotherme Zustandsänderung einer abgeschlossenen Menge eines idealen Gases: \(p_1 V_1 = p_2 V_2\), also \(p \cdot V = \text{const.}\)
- Druck und Volumen sind umgekehrt proportional: halbes Volumen ergibt doppelten Druck, 1 % des Volumens den hundertfachen Druck.
- Bei isothermer Kompression steigt der Druck, bei isothermer Expansion sinkt er. Bei isobarer Kompression ändert sich das Produkt \(p \cdot V\) dagegen.
- Zum Rechnen stellt man um: \(p_2 = p_1 \cdot V_1/V_2\). Gleiche Einheiten und der Absolutdruck sind entscheidend.
- Die Isotherme ist im p-V-Diagramm eine fallende Hyperbel, die sich beiden Achsen asymptotisch nähert und bei höherer Temperatur weiter außen liegt.
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Worum es geht
Drückt man den Kolben einer verschlossenen Spritze langsam hinein, steigt der Druck der eingeschlossenen Luft spürbar an. Das Gesetz von Boyle-Mariotte beschreibt diesen Zusammenhang für Gase bei konstanter Temperatur. Es ist der einfachste Spezialfall der allgemeinen Gasgleichung und die Grundlage für Rechnungen mit Druckgasflaschen, Spritzen und Gasblasen.
Gesetz von Boyle-Mariotte
Das Boyle-Mariotte-Gesetz beschreibt eine abgeschlossene Menge eines idealen Gases, deren Temperatur sich nicht ändert. Eine solche Zustandsänderung heißt isotherm. Das Gesetz folgt direkt aus der allgemeinen Gasgleichung \(pV = nRT\). Sind Stoffmenge \(n\) und Temperatur \(T\) fest, ist die gesamte rechte Seite konstant. Also bleibt auch das Produkt aus Druck und Volumen gleich.
\[p \cdot V = \text{const.} \qquad \Leftrightarrow \qquad p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2\]
Gültig für eine abgeschlossene Gasmenge bei konstanter Temperatur.
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(p_1\), \(p_2\) | Druck vor und nach der Zustandsänderung (Absolutdruck) | Pa, bar |
| \(V_1\), \(V_2\) | Volumen vor und nach der Zustandsänderung | m³, L, mL |
| const. | Produkt \(nRT\), fest bei gleicher Stoffmenge und Temperatur | J |
Streng gilt das Gesetz nur für das ideale Gas. Reale Gase folgen ihm gut bei niedrigem Druck und hoher Temperatur. Die Abweichungen behandelt die Seite zu realen Gasen.
Was im Gas passiert
Der Druck entsteht durch die Stöße der Gasteilchen auf die Gefäßwand. Bei konstanter Temperatur bleibt ihre mittlere Geschwindigkeit gleich, jeder einzelne Stoß ist also gleich heftig. Halbiert man das Volumen, sitzen doppelt so viele Teilchen in jedem Kubikzentimeter. Auf jedes Stück Wand treffen dann pro Sekunde doppelt so viele Stöße, und der Druck verdoppelt sich.
Druck und Volumen sind deshalb umgekehrt proportional: \(p \sim 1/V\). Wird ein Faktor größer, wird der andere im selben Verhältnis kleiner.
Halbes Volumen, doppelter Druck. Doppeltes Volumen, halber Druck. Ein Hundertstel des Volumens, also 1 %, ergibt den hundertfachen Druck.
Bei der isothermen Kompression sinkt das Volumen und der Druck steigt. Bei der isothermen Expansion wächst das Volumen und der Druck sinkt. Damit die Temperatur dabei konstant bleibt, muss das Gas Wärme mit der Umgebung austauschen. Deshalb gelingt das nur bei langsamen Vorgängen. Die Energiebilanz dazu folgt bei den isothermen Prozessen.
Anders verhält sich eine isobare Kompression. Dort bleibt der Druck gleich, während das Volumen sinkt. Das Produkt \(p \cdot V\) wird also kleiner, denn das Gas muss dafür abkühlen. Diesen Fall beschreibt das Gesetz von Gay-Lussac.
Boyle-Mariotte ist ein Examensklassiker: Bei konstanter Temperatur und abgeschlossener Gasmenge gilt \(p_1 V_1 = p_2 V_2\), Druck und Volumen ändern sich also gegenläufig im selben Verhältnis. Prüfe immer zuerst, ob wirklich \(T\) und \(n\) konstant sind.
Rechenbeispiel
In einer Spritze befinden sich 50 mL Luft bei 1,0 bar. Der Auslass wird verschlossen und der Kolben langsam auf 20 mL geschoben. Gesucht ist der Enddruck.
- Bedingungen prüfen: Die Luft kann nicht entweichen, und die langsame Kompression hält die Temperatur konstant. Boyle-Mariotte gilt.
- Nach der Unbekannten umstellen: \(p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2}\)
- Einsetzen: \(p_2 = 1{,}0\ \text{bar} \cdot \frac{50\ \text{mL}}{20\ \text{mL}} = 2{,}5\ \text{bar}\)
- Plausibilität prüfen: Das Volumen sinkt auf das 0,4-Fache, der Druck steigt auf das 2,5-Fache. Das Produkt bleibt bei 50 bar·mL.
Genauso lässt sich ein Volumen aus einer Druckänderung bestimmen. Die Verhältnisform dafür lautet \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{p_2}{p_1}\). Anwendungen auf Druckgasflaschen und aufsteigende Gasblasen folgen in isotherme Anwendungen.
Typische Fehler
- Kehrwert vertauscht: \(p_2 = p_1 \cdot V_2 / V_1\) liefert bei Kompression einen kleineren Druck. Der Plausibilitätscheck deckt das sofort auf.
- Einheiten gemischt: Beide Volumina brauchen dieselbe Einheit, ebenso beide Drücke. Eine Umrechnung in SI-Einheiten ist nicht nötig, weil nur Verhältnisse eingehen.
- Überdruck statt Absolutdruck: Ein Manometer zeigt oft den Überdruck an. Für die Rechnung muss man den Luftdruck addieren.
- Bedingungen übersehen: Ändert sich die Temperatur oder entweicht Gas, gilt das Gesetz nicht. Dann rechnet man mit der allgemeinen Gasgleichung.
Isotherme im p-V-Diagramm
Im p-V-Diagramm trägt man den Druck \(p\) auf der y-Achse gegen das Volumen \(V\) auf der x-Achse auf. Jeder Punkt entspricht einem Zustand des Gases. Eine Kurve, auf der alle Zustände dieselbe Temperatur haben, heißt Isotherme.
Aus \(p = \text{const.}/V\) folgt die Form der Isotherme: eine fallende Hyperbel. Sie nähert sich beiden Achsen asymptotisch, berührt sie aber nie. Bei sehr großem Volumen geht der Druck gegen null, bei sehr kleinem Volumen wächst er unbegrenzt. Wählt man einen beliebigen Punkt der Kurve, hat das Rechteck aus \(p\) und \(V\) immer dieselbe Fläche. Bei höherer Temperatur ist das Produkt \(nRT\) größer, und die Hyperbel rückt nach außen.
Soll man aus mehreren Kurven die Isotherme eines idealen Gases herausfinden, helfen drei Kriterien:
- Die Kurve fällt. Steigende Kurven scheiden aus.
- Sie ist gekrümmt. Eine fallende Gerade würde die Achsen schneiden.
- Sie nähert sich beiden Achsen, ohne sie zu erreichen. Zur Probe liest man zwei Wertepaare ab: Ihr Produkt \(p \cdot V\) muss gleich sein.
Dieselbe Isotherme sieht in anderen Auftragungen anders aus. Gegen \(1/V\) aufgetragen wird der Druck zur Ursprungsgeraden, weil \(p\) proportional zu \(1/V\) ist. Trägt man \(p \cdot V\) gegen \(p\) auf, entsteht eine waagerechte Gerade, denn das Produkt ändert sich nicht. Im p-T-Diagramm ist die Isotherme eine senkrechte Linie, weil \(T\) fest bleibt und nur der Druck variiert.
Auf der räumlichen p-V-T-Fläche des idealen Gases sind die Isothermen die Linien konstanter Temperatur. Wie man auch Isobaren und Isochoren in solchen Diagrammen zuordnet, zeigt die Seite zu Zustandsdiagrammen. Die steiler fallende Adiabate wird im Vergleich von Adiabate und Isotherme behandelt.
Quiz
Aussage 1
Nach Boyle-Mariotte berechnet man den Enddruck mit \(p_2 = p_1 \cdot V_2 / V_1\).
Das ist der Kehrwert. Richtig ist \(p_2 = p_1 \cdot V_1 / V_2\), sodass bei Kompression der Druck steigt.
Aussage 2
Dehnt sich ein ideales Gas bei konstanter Temperatur aus, sinkt sein Druck.
Bei isothermer Expansion bleibt \(p \cdot V\) konstant. Steigt das Volumen, muss der Druck im selben Verhältnis sinken.
Aussage 3
Trägt man für ein ideales Gas bei konstanter Temperatur den Druck gegen \(1/V\) auf, erhält man eine Ursprungsgerade.
Wegen \(p = \text{const.} \cdot 1/V\) ist der Druck proportional zu \(1/V\). Das ergibt eine Gerade durch den Ursprung.
Aussage 4
Verkleinert man das Volumen eines idealen Gases isotherm auf ein Viertel, steigt der Druck auf das Vierfache.
Druck und Volumen sind umgekehrt proportional. Ein Viertel des Volumens ergibt den vierfachen Druck.
Aussage 5
Auch bei einer isobaren Kompression eines idealen Gases bleibt das Produkt \(p \cdot V\) unverändert.
Bei isobarer Kompression bleibt \(p\) gleich und \(V\) sinkt, also wird \(p \cdot V\) kleiner. Konstant ist das Produkt nur bei isothermer Zustandsänderung.
Aussage 6
Im p-V-Diagramm liegt die Isotherme einer höheren Temperatur weiter vom Ursprung entfernt als die einer niedrigeren.
Das Produkt \(p \cdot V = nRT\) wächst mit der Temperatur. Die Hyperbel rückt deshalb nach außen.
Aussage 7
Die Isotherme eines idealen Gases ist im p-V-Diagramm eine fallende Gerade, die beide Achsen schneidet.
Die Isotherme ist eine fallende Hyperbel. Sie nähert sich beiden Achsen asymptotisch und erreicht sie nie.
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