Adiabate und Isotherme im Vergleich
Wie sich Druck und Temperatur bei adiabatischer und isothermer Zustandsänderung unterscheiden und woran man Adiabate und Isotherme im p-V-Diagramm erkennt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Adiabate ist die Kurve einer adiabatischen Zustandsänderung im p-V-Diagramm. Sie folgt \(pV^\kappa = \text{const}\) mit dem Adiabatenexponenten \(\kappa = C_{mp}/C_{mV} > 1\).
- Bei adiabatischer Kompression steigt der Druck, bei Halbierung des Volumens auf mehr als das Doppelte, weil auch die Temperatur steigt.
- Bei gleichem Endvolumen ist der Enddruck bei Expansion adiabatisch kleiner und bei Kompression größer als isotherm. Grund ist die Temperatur in \(pV = nRT\).
- Die Adiabate verläuft steiler als die Isotherme. Die Fläche unter der Kurve ist die Volumenarbeit \(W = \int p\,dV\).
- Beim idealen Gas bleibt \(U\) isotherm konstant. Bei adiabatischer Kompression nimmt \(U\) zu, bei isobarer Kompression ab.
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Worum es geht
Ein ideales Gas kann man isotherm oder adiabatisch komprimieren und expandieren. Beide Wege führen zu unterschiedlichen Drücken und Temperaturen. Das sieht man auch im p-V-Diagramm. Wer den Unterschied verstanden hat, deutet auch Kreisprozesse und die Erwärmung beim Aufpumpen sicher.
Druck und Volumen
Bei einer adiabatischen Zustandsänderung tauscht das Gas keine Wärme mit der Umgebung aus. Die Grundlagen stehen unter Adiabatische Prozesse. Wird das Gas adiabatisch komprimiert, sinkt das Volumen und der Druck steigt. Bei adiabatischer Expansion sinkt der Druck. Der Druck ändert sich also bei jeder adiabatischen Zustandsänderung.
Der Vergleich mit dem Gesetz von Boyle-Mariotte zeigt den Unterschied. Isotherm gilt \(pV = \text{const}\). Halbes Volumen bedeutet dort genau doppelten Druck. Adiabatisch landet die Kompressionsarbeit in der inneren Energie, und das Gas wird wärmer. Die schnelleren Teilchen stoßen zusätzlich heftiger gegen die Wand. Der Druck steigt deshalb auf mehr als das Doppelte.
Wird im Examen gerne gefragt: Bei adiabatischer Kompression auf das halbe Volumen steigt der Druck auf mehr als das Doppelte, weil zugleich die Temperatur steigt. Achte darauf, hier nicht mit Boyle-Mariotte zu rechnen, denn das gilt nur bei konstanter Temperatur.
Enddruck und Endtemperatur
Vergleicht man beide Prozesse vom selben Anfangszustand aus bis zum gleichen Endvolumen, entscheidet die Temperatur. Nach der Zustandsgleichung \(pV = nRT\) ist der Druck bei festem \(V\) und \(n\) proportional zu \(T\).
- Expansion: Adiabatisch verrichtet das Gas Arbeit auf Kosten seiner inneren Energie. Die Temperatur sinkt, der Druck fällt steiler ab. Der Enddruck ist kleiner als isotherm.
- Kompression: Adiabatisch steigt die Temperatur. Endtemperatur und Enddruck sind höher als isotherm.
Die Isotherme hält die Temperatur fest, weil sie Wärme mit der Umgebung austauscht. Der adiabatische Prozess kann das nicht, also wandert die Temperatur mit.
Adiabate im p-V-Diagramm
Für die reversible adiabatische Zustandsänderung eines idealen Gases gilt die Adiabatengleichung \(pV^\kappa = \text{const}\). Ihre Kurve im p-V-Diagramm heißt Adiabate.
Der Adiabatenexponent \(\kappa = C_{mp}/C_{mV}\) ist das Verhältnis der molaren Wärmekapazitäten bei konstantem Druck und konstantem Volumen. Da \(C_{mp} > C_{mV}\), gilt stets \(\kappa > 1\): etwa 1,67 für einatomige und 1,4 für zweiatomige Gase wie Luft.
Weil \(\kappa > 1\), verläuft die Adiabate steiler als die Isotherme \(pV = \text{const}\). Halbiert man das Volumen, wächst der Druck adiabatisch um den Faktor \(2^\kappa\). Bei Luft sind das \(2^{1,4} \approx 2{,}64\), isotherm genau 2.
So ordnest du zwei Kurven vom gemeinsamen Anfangszustand zu: Bei Expansion liegt die Adiabate unter der Isotherme, bei Kompression über ihr. Die flachere Kurve ist immer die Isotherme.
Die Fläche unter einer Kurve ist die vom Gas verrichtete Volumenarbeit \(W = \int p\,dV\). Bei Expansion auf dasselbe Endvolumen ist die Fläche unter der Adiabate kleiner. Diese Arbeit bezahlt das Gas allein aus seiner inneren Energie.
Die Fläche unter einem Kurvenzug aus Adiabate und Isotherme ist Arbeit und nicht die abgegebene Wärme. Auf dem adiabatischen Stück wird überhaupt keine Wärme ausgetauscht.
Prozesse im Überblick
Die innere Energie \(U\) eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab, wie der erste Hauptsatz zeigt. Wer weiß, wie sich \(T\) ändert, kennt also das Vorzeichen von \(\Delta U\).
| Prozess | Temperatur | \(\Delta U\) |
|---|---|---|
| isotherm | konstant | \(0\) |
| isobare Wärmezufuhr | steigt | \(> 0\) |
| isochore Wärmezufuhr | steigt | \(> 0\) |
| isobare Kompression | sinkt | \(< 0\) |
| adiabatische Kompression | steigt | \(> 0\) |
Eine isochore Druckerhöhung gelingt nur durch Wärmezufuhr. Ohne Volumenänderung wird keine Arbeit verrichtet, die das Gas sonst erwärmen könnte. Bei isobarer Kompression sinkt das Volumen proportional zur Temperatur, also nimmt \(U\) ab.
Eine Luftblase, die in Wasser konstanter Temperatur aufsteigt, dehnt sich isotherm aus. Ihre innere Energie bleibt daher konstant. Dasselbe gilt für die Enthalpie \(H\), denn beim idealen Gas hängt auch sie nur von \(T\) ab.
Quiz
Aussage 1
Gehen zwei Expansionskurven vom selben Zustand aus, liegt die Isotherme unterhalb der Adiabate.
Die Adiabate ist steiler und liegt bei Expansion unter der Isotherme. Die flachere, obere Kurve ist die Isotherme.
Aussage 2
Expandiert ein ideales Gas auf dasselbe Endvolumen, ist der Enddruck adiabatisch niedriger als isotherm, weil die Endtemperatur niedriger ist.
Bei gleichem \(V\) und \(n\) ist \(p\) nach \(pV = nRT\) proportional zu \(T\). Adiabatisch sinkt die Temperatur, also auch der Enddruck.
Aussage 3
Steigt eine Luftblase in Wasser konstanter Temperatur auf, bleiben innere Energie und Enthalpie des Gases unverändert.
Die Blase expandiert isotherm. Beim idealen Gas hängen \(U\) und \(H\) nur von der Temperatur ab, also ist \(\Delta U = 0\) und \(\Delta H = 0\).
Aussage 4
Komprimiert man ein ideales Gas adiabatisch auf das halbe Volumen, verdoppelt sich der Druck genau.
Genau doppelt wäre der Druck nur isotherm. Adiabatisch steigt zusätzlich die Temperatur, daher steigt der Druck auf mehr als das Doppelte, bei Luft etwa auf das 2,64-Fache.
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