Überlagerung von Wellen: Interferenz und stehende Wellen
Wie sich zwei Wellen am selben Ort überlagern und wann sie sich verstärken, auslöschen, eine Schwebung oder eine stehende Welle bilden.
Das Wichtigste in Kürze
- Interferenz ist die Überlagerung von Wellen nach dem Superpositionsprinzip: Die Auslenkungen addieren sich, das Ergebnis hängt von der Phasendifferenz ab.
- Bei \(\Delta\varphi = 2k\pi\) (z. B. \(0\), \(2\pi\)) tritt konstruktive Interferenz ein, bei \((2k+1)\pi\) (z. B. \(\pi\), \(3\pi\)) vollständige Auslöschung, bei \(\pi/2\) keine Auslöschung.
- Vollständige Auslöschung braucht gleiche Amplitude, gleiche Frequenz und bei Licht gleiche Polarisationsebene, aber keine Phasengleichheit.
- Eine Schwebung entsteht aus zwei gleich lauten Tönen minimal verschiedener Frequenz: Die Amplitude schwankt periodisch mit \(f_\text{S} = \lvert f_1 - f_2 \rvert\), die Einzeltöne sind nicht getrennt hörbar.
- Stehende Wellen entstehen aus zwei gegenläufigen Wellen, etwa durch Reflexion, auch bei Schall in Luft; ihre Amplitude ist ortsabhängig.
- Benachbarte Knoten liegen \(\lambda/2\) auseinander, daher gilt \(\lambda = 2d\).
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Treffen zwei Wellen am selben Ort zusammen, addieren sich ihre Auslenkungen. Ob dabei Verstärkung oder Auslöschung entsteht, hängt von der Phasendifferenz ab. Dieses Prinzip steckt hinter dem optischen Gitter, hinter dem Stimmen von Instrumenten und hinter jeder Orgelpfeife.
Superposition
Das Superpositionsprinzip besagt: Überlagern sich zwei Wellen, addieren sich ihre momentanen Auslenkungen an jedem Ort. Die Wellen selbst laufen danach unverändert weiter. Das Ergebnis der Addition nennt man Interferenz.
Entscheidend ist, wie weit die beiden Wellen gegeneinander verschoben sind. Diese Verschiebung misst die Phasendifferenz \(\Delta\varphi\) im Bogenmaß, also als Unterschied der Phasenwinkel. Oft entsteht sie dadurch, dass zwei Wellen unterschiedlich lange Wege zurücklegen. Dieser Wegunterschied heißt Gangunterschied \(\Delta s\). Beide Größen hängen über die Wellenlänge \(\lambda\) zusammen:
\[\Delta\varphi = 2\pi \cdot \frac{\Delta s}{\lambda}\]
Ein Gangunterschied von einer ganzen Wellenlänge entspricht also \(2\pi\), eine halbe Wellenlänge entspricht \(\pi\).
Zwei Wellen sind kohärent, wenn ihre Phasendifferenz über die Zeit konstant bleibt. Nur dann entsteht ein stabiles, beobachtbares Interferenzmuster.
Licht aus einer Glühlampe besteht aus vielen kurzen, unabhängigen Wellenzügen. Es ist deshalb kaum interferenzfähig. Laserlicht dagegen ist hochgradig kohärent.
Konstruktive und destruktive Interferenz
Liegen Wellenberg auf Wellenberg, verstärken sich die Wellen. Das ist konstruktive Interferenz. Trifft Berg auf Tal, schwächen sie sich ab bis zur Auslöschung. Das ist destruktive Interferenz. Welcher Fall eintritt, folgt direkt aus der Phasendifferenz zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude:
| Phasendifferenz \(\Delta\varphi\) | Gangunterschied \(\Delta s\) | Ergebnis |
|---|---|---|
| \(0\), \(2\pi\), allgemein \(2k\pi\) | \(0\), \(\lambda\), \(2\lambda\) … | konstruktiv, doppelte Amplitude |
| \(\pi/2\) | \(\lambda/4\) | teilweise Verstärkung, etwa 1,41-fache Amplitude |
| \(\pi\), \(3\pi\), allgemein \((2k+1)\pi\) | \(\lambda/2\), \(3\lambda/2\) … | vollständige Auslöschung |
Gerade Vielfache von \(\pi\) verstärken also, ungerade löschen aus. Bei \(\pi/2\) liegt der Berg der einen Welle auf dem Nulldurchgang der anderen. Die Summe ist größer als jede Einzelwelle und nur verschoben, eine Auslöschung gibt es hier nicht.
Wird im Examen gerne gefragt: Vollständige Auslöschung tritt bei jedem ungeradzahligen Vielfachen von \(\pi\) ein, also auch bei \(3\pi\). Bei \(0\) oder \(2\pi\) verstärken sich die Wellen, und bei \(\pi/2\) löschen sie sich nicht aus.
Voraussetzungen vollständiger Auslöschung
Damit am Ende wirklich null übrig bleibt, müssen beide Wellen perfekt zueinander passen:
- Gleiche Amplitude, bei Licht gleichbedeutend mit gleicher Intensität. Sonst bleibt ein Rest der stärkeren Welle.
- Gleiche Frequenz. Sonst ändert sich die Phasendifferenz ständig.
- Bei Licht die gleiche Polarisationsebene. Stehen die Schwingungsebenen senkrecht, addieren sich die Auslenkungen als Vektoren in verschiedene Richtungen und heben sich nicht auf. Mehr zur Polarisation.
Anders als man vermuten könnte, müssen die Wellen dafür nicht in der Phase übereinstimmen. Gleiche Phase führt gerade zur Verstärkung. Für die Auslöschung braucht es die Phasendifferenz \((2k+1)\pi\).
Schwebung
Überlagern sich zwei gleich laute Töne, deren Frequenzen sich nur minimal unterscheiden, entsteht eine Schwebung. Die Phasendifferenz wandert dabei langsam. Mal schwingen die Wellen gleichphasig und verstärken sich, mal gegenphasig und löschen sich aus. Die Amplitude schwankt so periodisch mit der Zeit. Die Schwebungsfrequenz ist der Betrag der Frequenzdifferenz, \(f_\text{S} = \lvert f_1 - f_2 \rvert\).
Man hört nicht zwei getrennte Töne. Man hört einen einzigen Ton mit der mittleren Frequenz, der rhythmisch an- und abschwillt. Zwei Stimmgabeln mit 440 Hz und 442 Hz ergeben zum Beispiel zwei Lautstärkemaxima pro Sekunde. Musiker nutzen das beim Stimmen: Verschwindet die Schwebung, sind beide Frequenzen gleich.
Stehende Wellen
Laufen zwei Wellen gleicher Frequenz und Amplitude in entgegengesetzte Richtungen, entsteht eine stehende Welle. Meist geschieht das durch Reflexion. Eine fortschreitende Welle trifft auf ein Hindernis, kehrt um und überlagert sich mit sich selbst. Das gilt für eine eingespannte Saite ebenso wie für Schall in Luft, etwa in einer Orgelpfeife.
Das Muster wandert nicht mehr, und die Amplitude hängt vom Ort ab. An den Knoten löschen sich die beiden Wellen zu jedem Zeitpunkt aus, dort herrscht ständig Ruhe. Dazwischen liegen die Bäuche, an denen das Medium mit maximaler Amplitude schwingt. Man kann sich das wie ein Seil vorstellen, das an festen Punkten festgehalten wird und dazwischen auf und ab schlägt.
Knoten zu Knoten ist \(\lambda/2\), Knoten zu Bauch ist \(\lambda/4\).
Wellenlänge aus dem Knotenabstand
Misst man den Abstand \(d\) zweier benachbarter Knoten, erhält man die Wellenlänge direkt mit \(\lambda = 2d\).
- Messen: In einem Rohr liegen benachbarte Schallknoten \(d = 17\) cm auseinander.
- Verdoppeln: \(\lambda = 2 \cdot 17\ \text{cm} = 34\ \text{cm} = 0{,}34\ \text{m}\).
- Weiterrechnen: Mit \(c = 340\) m/s folgt \(f = c/\lambda = 1000\) Hz, siehe Kenngrößen von Wellen.
Quiz
Aussage 1
Bei einer Schwebung hört man die beiden beteiligten Töne deutlich getrennt voneinander.
Man hört einen einzigen Ton mittlerer Frequenz, dessen Lautstärke periodisch an- und abschwillt.
Aussage 2
Liegen zwei benachbarte Knoten einer stehenden Welle 25 cm auseinander, beträgt die Wellenlänge 50 cm.
Der Knotenabstand ist \(\lambda/2\), also gilt \(\lambda = 2d = 2 \cdot 25\) cm \(= 50\) cm.
Aussage 3
Zwei kohärente Wellen gleicher Frequenz und Amplitude mit der Phasendifferenz \(3\pi\) löschen sich vollständig aus.
\(3\pi\) ist ein ungeradzahliges Vielfaches von \(\pi\). Berg trifft auf Tal, die Summe ist null.
Aussage 4
Zwei Lichtwellen, deren Polarisationsebenen senkrecht aufeinander stehen, können sich nicht vollständig auslöschen.
Ihre Auslenkungen zeigen in verschiedene Richtungen und heben sich nicht auf. Vollständige Auslöschung setzt dieselbe Polarisationsebene voraus.
Aussage 5
Damit sich zwei Lichtwellenzüge vollständig auslöschen, müssen sie in der Phase übereinstimmen.
Gleiche Phase führt zu konstruktiver Interferenz. Für Auslöschung braucht es gleiche Amplitude, Frequenz und Polarisationsebene sowie die Phasendifferenz \((2k+1)\pi\).
Aussage 6
Zwei gleichartige Lichtwellen gleicher Frequenz und Amplitude löschen sich bei einer Phasendifferenz von \(\pi/2\) vollständig aus.
Bei \(\pi/2\) entsteht eine verschobene Summenwelle mit etwa 1,41-facher Amplitude. Auslöschung erfordert \((2k+1)\pi\).
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.