Beugung und Interferenz am optischen Gitter
Wie das Huygens’sche Prinzip die Beugung erklärt und wie man mit der Gittergleichung Lage und Abstand der Beugungsmaxima eines Strichgitters berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Huygens’sche Prinzip beschreibt die Wellenausbreitung: Jeder Punkt einer Wellenfläche sendet eine Elementarwelle aus, deren Einhüllende die neue Wellenfläche bildet. Es erklärt die Beugung.
- Beugung tritt bei Transversal- und Longitudinalwellen auf, also bei Licht ebenso wie bei Schall. Licht wird erst an kleinen Öffnungen merklich gebeugt.
- Die Gittergleichung lautet \(g \cdot \sin\alpha_k = k\lambda\). Für das 1. Maximum gilt \(\sin\alpha = \lambda/g\), für kleine Winkel \(\alpha \approx \lambda/g\) in rad.
- Am Gitter wird rotes Licht stärker abgelenkt als violettes. Im Spektrum liegt Violett innen und Rot außen.
- Der Abstand der Maxima auf dem Schirm ist \(\Delta x \approx L\lambda/g\). Er wächst mit Wellenlänge und Schirmabstand und wird mit größerer Gitterkonstante kleiner.
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Worum es geht
Licht und Schall laufen nicht nur geradeaus, sondern auch um Hindernisse herum. Am optischen Gitter wird dieses Verhalten messbar: Weißes Licht zerfällt dort in seine Farben, und aus der Lage der Linien lässt sich die Wellenlänge bestimmen. Darauf beruhen viele spektroskopische Verfahren der Arzneimittelanalytik.
Huygens’sches Prinzip
Wie breitet sich eine Welle von einem Ort zum nächsten aus? Christiaan Huygens gab dafür eine einfache Konstruktionsregel an. Sie gilt für isotrope Medien, in denen die Welle in alle Richtungen gleich schnell läuft.
Jeder Punkt einer Wellenfläche ist Ausgangspunkt einer kugelförmigen Elementarwelle. Die Einhüllende aller Elementarwellen bildet die neue Wellenfläche.
Man kann sich eine Reihe von Steinen vorstellen, die gleichzeitig ins Wasser fallen. Jeder erzeugt kleine Kreiswellen. Weiter draußen verschmelzen sie zu einer gemeinsamen, geraden Front. Bei einer ebenen Welle ist die neue Wellenfläche deshalb wieder eben und nur parallel verschoben.
Das Prinzip beschreibt also die Ausbreitung einer Welle. Mit Lichtabsorption hat es nichts zu tun. Seine eigentliche Stärke zeigt es, sobald ein Teil der Wellenfront blockiert wird.
Beugung
Trifft eine Welle auf eine Öffnung, bleiben nur die Elementarwellen aus der Öffnung übrig. Am Rand fehlen die Nachbarn, die sie seitlich auslöschen würden. Die Welle läuft deshalb auch in den geometrischen Schattenraum hinein. Dieses Abweichen von der geradlinigen Ausbreitung heißt Beugung.
Wie stark sie ausfällt, hängt vom Verhältnis von Öffnungsbreite zu Wellenlänge ab. Ist die Öffnung viel breiter als die Wellenlänge, läuft das Bündel fast geradeaus. Liegt sie in der Größenordnung der Wellenlänge, wirkt sie wie eine einzige Punktquelle: Dahinter breitet sich eine Halbkreiswelle aus.
Licht hat Wellenlängen um 400 bis 750 nm. Es wird daher erst an kleinen Öffnungen merklich gebeugt. Schall hat Wellenlängen im Meterbereich und wird genauso gebeugt. Deshalb hört man Stimmen um eine Hausecke herum.
Beugung ist eine Eigenschaft aller Wellen. Sie tritt bei Transversalwellen wie Licht ebenso auf wie bei Longitudinalwellen wie Schall. Der Unterschied der beiden Wellenarten zeigt sich erst bei der Polarisation.
Gittergleichung
Ein Strichgitter besteht aus sehr vielen parallelen, gleich breiten Spalten in regelmäßigem Abstand. Diesen Abstand zweier benachbarter Spalte nennt man Gitterkonstante \(g\), manche Bücher schreiben \(a\). Jeder Spalt sendet nach Huygens Elementarwellen aus, die sich hinter dem Gitter überlagern.
Unter dem Winkel \(\alpha\) legt die Welle aus einem Spalt einen um \(\Delta s = g \cdot \sin\alpha\) längeren Weg zurück als die aus dem Nachbarspalt. Helles Licht entsteht dort, wo dieser Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist. Dann verstärken sich alle Spalte konstruktiv.
\[g \cdot \sin\alpha_k = k \cdot \lambda\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(g\) | Gitterkonstante (Spaltabstand) | m |
| \(\alpha_k\) | Beugungswinkel des Maximums \(k\)-ter Ordnung | ° oder rad |
| \(k\) | Beugungsordnung: 0, ±1, ±2 … | 1 |
| \(\lambda\) | Wellenlänge | m |
Die ganze Zahl \(k\) heißt Beugungsordnung. Das Maximum nullter Ordnung liegt geradeaus bei \(\alpha = 0\). Für das 1. Maximum gilt \(\sin\alpha = \lambda/g\). Weil \(\sin\alpha\) höchstens 1 ist, gibt es nur Ordnungen mit \(k \le g/\lambda\).
Die Formel zeigt eine Umkehrbeziehung: Bei gleicher Wellenlänge wird der Beugungswinkel mit größerer Gitterkonstante kleiner. Ein feines Gitter mit vielen Strichen pro Millimeter lenkt also stärker ab. Für kleine Winkel gilt \(\sin\alpha \approx \alpha\) im Bogenmaß und damit \(\alpha_1 \approx \lambda/g\).
- Gegeben: Gitter mit 100 Strichen pro mm, Licht mit \(\lambda = 550\) nm.
- Gitterkonstante: \(g = 1\ \text{mm}/100 = 10\ \mu\text{m} = 1{,}0 \cdot 10^{-5}\) m.
- Kleinwinkelnäherung: \(\alpha_1 \approx \lambda/g = 5{,}5 \cdot 10^{-7}\ \text{m} / 1{,}0 \cdot 10^{-5}\ \text{m} = 0{,}055\) rad.
- Umrechnen: \(0{,}055 \cdot 180°/\pi \approx 3{,}2°\).
Zwei Fehler sind typisch. Die Strichzahl pro Millimeter ist der Kehrwert von \(g\) und nicht \(g\) selbst. Und die Näherung \(\alpha \approx \lambda/g\) liefert den Winkel in rad, nicht in Grad.
Wellenlänge und Maximaabstand
In der Gittergleichung steht \(\lambda\) im Zähler. Licht größerer Wellenlänge wird daher stärker gebeugt. Rotes Licht wird am Gitter stärker abgelenkt als blaues oder violettes. Fällt weißes Licht ein, bleibt das Maximum nullter Ordnung weiß, denn dort ist \(\alpha = 0\) für alle Farben. In jeder höheren Ordnung entsteht ein Spektrum mit Violett innen und Rot außen.
Am Prisma ist die Reihenfolge umgekehrt: Violett wird dort am stärksten gebrochen. Am Gitter wird Rot am stärksten abgelenkt.
Steht ein Schirm im Abstand \(L\) hinter dem Gitter, liegt das Maximum \(k\)-ter Ordnung bei \(x_k = L \cdot \tan\alpha_k\). Für kleine Winkel sind Tangens und Sinus fast gleich. Dann gilt \(x_k \approx k L\lambda/g\). Zwei benachbarte Maxima haben den Abstand
\[\Delta x \approx \frac{L \cdot \lambda}{g}\]
Daraus folgen drei Proportionalitäten:
- Größere Wellenlänge, größerer Abstand der Maxima.
- Doppelter Abstand Gitter–Schirm, doppelter Linienabstand.
- Doppelte Gitterkonstante, halber Linienabstand.
Ein gröberes Gitter mit größerem Strichabstand rückt die Linien also zusammen. Die Änderung lässt sich ohne Taschenrechner abschätzen.
- Ausgangslage: \(L = 2\) m, \(\lambda = 600\) nm, \(g = 20\ \mu\)m.
- Linienabstand: \(\Delta x \approx 2\ \text{m} \cdot 6 \cdot 10^{-7}\ \text{m} / 2 \cdot 10^{-5}\ \text{m} = 0{,}06\) m \(= 6\) cm.
- Neues Gitter: \(g = 5\ \mu\)m, also ein Viertel des alten Werts.
- Abschätzung: \(\Delta x\) wächst auf das Vierfache, also auf etwa 24 cm.
Beim feinen Gitter ist der Winkel bereits rund 7°. Die Näherung bleibt dort noch gut, bei großen Winkeln muss man aber mit Sinus und Tangens exakt rechnen. Wie Gitter in Spektrometern eingesetzt werden, zeigt die Einheit zu Spektralapparaten und Monochromatoren.
Quiz
Aussage 1
Halbiert man die Gitterkonstante bei sonst gleicher Anordnung, verdoppelt sich für kleine Winkel der Abstand der Maxima auf dem Schirm.
Es gilt \(\Delta x \approx L\lambda/g\). Der Linienabstand ist umgekehrt proportional zur Gitterkonstante.
Aussage 2
Für das Maximum erster Ordnung am Strichgitter gilt \(\sin\alpha = \lambda/g\).
Das folgt aus \(g \cdot \sin\alpha_k = k\lambda\) mit \(k = 1\).
Aussage 3
Am optischen Gitter wird violettes Licht stärker abgelenkt als rotes Licht.
Am Gitter wird Licht größerer Wellenlänge stärker gebeugt. Rot liegt deshalb im Spektrum außen, Violett innen.
Aussage 4
Beugung ist auf Transversalwellen beschränkt, weshalb Schallwellen in Luft nicht gebeugt werden.
Beugung tritt bei allen Wellen auf, auch bei Longitudinalwellen wie Schall. Deshalb hört man Geräusche um eine Hausecke herum.
Aussage 5
Nach dem Huygens’schen Prinzip ist jeder Punkt einer Wellenfläche Ausgangspunkt einer Elementarwelle, deren Einhüllende die neue Wellenfläche bildet.
Genau so lautet das Prinzip für isotrope Medien. Es beschreibt die Ausbreitung von Wellen.
Aussage 6
Bei gleicher Wellenlänge lenkt ein Gitter mit größerer Gitterkonstante das Licht unter einem größeren Winkel ab.
Wegen \(\sin\alpha = k\lambda/g\) wird der Beugungswinkel mit größerer Gitterkonstante kleiner. Feine Gitter lenken stärker ab.
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