Wellenlänge und Frequenz beim Mediumwechsel
Wie Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz über \(c = \lambda \cdot f\) zusammenhängen und was davon sich ändert, wenn Licht von Luft in Glas oder Wasser übertritt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Grundgleichung \(c = \lambda \cdot f\) verknüpft Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz jeder Welle, auch von Licht im Medium.
- Bei fester Geschwindigkeit sind Wellenlänge und Frequenz gegenläufig: Rotes Licht hat eine größere Wellenlänge und eine niedrigere Frequenz als grünes.
- Von Radiowellen bis Gammastrahlung steigt die Frequenz, Licht von 600 nm hat im Vakuum \(f = c_0/\lambda_0 = 5 \cdot 10^{14}\) Hz (Wellenlänge vorher in Meter umrechnen).
- Beim Mediumwechsel bleibt die Frequenz erhalten, die Wellenlänge im Medium sinkt auf \(\lambda = \lambda_0/n = c_0/(n \cdot f)\).
- Die Amplitude wächst beim Eintritt nicht um den Faktor \(n\), und eine optisch aktive Lösung ändert die Frequenz nicht.
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Worum es geht
Licht ist eine elektromagnetische Welle, deren Geschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz fest miteinander verknüpft sind. Mit diesem Zusammenhang rechnet man Wellenlängen in Frequenzen um und versteht, was mit Licht beim Eintritt in Glas oder Wasser passiert. Das braucht man in Spektroskopie, Refraktometrie und Mikroskopie.
Grundgleichung \(c = \lambda \cdot f\)
Eine Welle legt während einer Periode \(T\) genau eine Wellenlänge zurück. Ihre Geschwindigkeit ist also \(\lambda/T\). Die Frequenz ist der Kehrwert der Periode. Daraus folgt die Grundgleichung, die du von den Kenngrößen von Wellen kennst. Sie gilt für jede Welle, für Licht im Vakuum ebenso wie im Medium.
\[c = \lambda \cdot f\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(c\) | Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle | m/s |
| \(\lambda\) | Wellenlänge, Abstand zweier Wellenberge | m |
| \(f\) (oft auch \(\nu\)) | Frequenz, Schwingungen pro Sekunde | Hz = 1/s |
Wellenlänge und Frequenz sind gegenläufig
Im Vakuum ist die Geschwindigkeit für alle Lichtquanten gleich, nämlich \(c_0 \approx 3 \cdot 10^8\) m/s. Das Produkt aus \(\lambda\) und \(f\) ist dort also konstant. Je größer die Frequenz, desto kleiner die Wellenlänge. Doppelte Frequenz heißt halbe Wellenlänge. Man kann sich eine Kolonne vorstellen, die mit fester Geschwindigkeit marschiert: Je kürzer die Schritte, desto schneller folgen sie aufeinander.
So ordnet man Strahlungsarten ein. Rotes Licht um 700 nm hat eine größere Wellenlänge und damit eine niedrigere Frequenz als grünes Licht um 530 nm. Von Radiowellen über Mikrowellen, Infrarot, sichtbares Licht und UV bis zu Röntgen- und Gammastrahlung sinkt die Wellenlänge und die Frequenz steigt. Die Bereiche selbst behandelt das elektromagnetische Spektrum.
Rechenbeispiel: Frequenz aus der Wellenlänge
Die Umrechnung von Wellenlänge in Frequenz wird im Examen gerne gefragt. Achte darauf, \(\lambda\) vorher in Meter umzurechnen. Gesucht ist die Frequenz von orangem Licht mit \(\lambda_0 = 600\) nm im Vakuum.
- Umstellen: \(f = c_0/\lambda_0\).
- Einheit anpassen: 600 nm = \(6 \cdot 10^{-7}\) m.
- Einsetzen: \(f = \frac{3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}}{6 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 5 \cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}\).
Sichtbares Licht liegt immer bei einigen \(10^{14}\) Hz. Grünes Licht von 500 nm hat zum Vergleich etwa \(6 \cdot 10^{14}\) Hz, also mehr als das orange.
Übergang in ein anderes Medium
Tritt Licht aus Luft in Glas oder Wasser, sinkt seine Geschwindigkeit auf \(c = c_0/n\). Was die Brechzahl \(n\) bedeutet, steht bei der Lichtgeschwindigkeit im Medium. Nach der Grundgleichung muss sich dann \(\lambda\) oder \(f\) ändern. Es ist die Wellenlänge.
Die Frequenz bleibt erhalten
Die Frequenz legt die Quelle fest. An der Grenzfläche regt jeder ankommende Wellenberg genau einen Wellenberg im neuen Medium an. Pro Sekunde laufen also so viele Berge weiter, wie ankommen. Sonst müssten sich Berge an der Grenzfläche stauen oder aus dem Nichts entstehen. Deshalb bleibt \(f\) bei jedem Mediumwechsel gleich, ob von Luft in Glas, vom Vakuum in Glas oder von Luft in Wasser. Auch die Photonenenergie bleibt damit unverändert.
Die Wellenlänge schrumpft
Weil die Welle langsamer wird, rücken die Berge zusammen. Setzt man \(c = c_0/n\) in die Grundgleichung ein, erhält man die Wellenlänge im Medium.
Abstand zweier Wellenberge innerhalb eines Stoffes der Brechzahl \(n\). Sie ist um den Faktor \(n\) kleiner als die Vakuumwellenlänge \(\lambda_0\):
\[\lambda = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{c_0}{n \cdot f}\]
In Glas mit \(n = 1{,}5\) ist die Wellenlänge also auf zwei Drittel verkürzt. Verlässt das Licht das Glas wieder, wächst sie auf den alten Wert. Die Frequenz ist auf beiden Seiten dieselbe.
Dauerbrenner im Examen: Beim Übergang in ein anderes Medium bleibt die Frequenz unverändert, nur die Wellenlänge hängt von der Brechzahl ab. Beim Eintritt in ein optisch dichteres Medium wie Glas oder Wasser nimmt sie auf \(\lambda_0/n\) ab.
Rechenbeispiel: Wellenlänge in Wasser
Das Licht aus dem ersten Beispiel mit \(f = 5 \cdot 10^{14}\) Hz tritt in Wasser mit \(n = 1{,}33\) ein.
- Formel wählen: \(\lambda = c_0/(n \cdot f)\). Für die Frequenz steht oft auch \(\nu\).
- Einsetzen: \(\lambda = \frac{3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}}{1{,}33 \cdot 5 \cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}} \approx 4{,}5 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}\).
- Kontrolle: \(600\,\mathrm{nm}/1{,}33 \approx 451\) nm. Das Ergebnis ist kleiner als \(\lambda_0\), wie es sein muss.
Was sich nicht ändert
Anders als die Wellenlänge wächst die Amplitude beim Eintritt in ein Medium nicht um den Faktor \(n\). Die Brechzahl skaliert Geschwindigkeit und Wellenlänge, nicht die Auslenkung. Auch eine Lösung einer optisch aktiven Substanz lässt die Frequenz unverändert. Sie dreht die Schwingungsebene, vergrößert aber die Wellenlänge nicht. Mehr dazu bei der optischen Drehung.
Die häufigsten Rechenfehler sind schnell genannt. Man multipliziert mit \(n\), statt zu dividieren. Man vergisst, Nanometer in Meter umzurechnen. Oder man lässt die Frequenz zusammen mit der Geschwindigkeit sinken. Ein kurzer Check hilft: Im dichteren Medium wird \(\lambda\) kleiner, \(f\) bleibt.
Quiz
Aussage 1
Tritt Licht von Luft in Glas über, verringert sich seine Frequenz um den Faktor der Brechzahl.
Die Frequenz bleibt beim Mediumwechsel erhalten. Um den Faktor \(n\) verkleinert sich die Wellenlänge.
Aussage 2
Licht der Frequenz \(f\) hat in einem Medium der Brechzahl \(n\) die Wellenlänge \(c_0/(n \cdot f)\).
Im Medium gilt \(c = c_0/n\). Eingesetzt in \(\lambda = c/f\) ergibt sich \(\lambda = c_0/(n \cdot f) = \lambda_0/n\).
Aussage 3
Röntgenstrahlung hat eine höhere Frequenz als Infrarotstrahlung.
Röntgenstrahlung hat die viel kürzere Wellenlänge, nach \(c = \lambda \cdot f\) also die höhere Frequenz.
Aussage 4
Licht mit einer Vakuumwellenlänge von 600 nm hat eine Frequenz von \(5 \cdot 10^{14}\) Hz.
\(f = c_0/\lambda_0 = (3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s})/(6 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}) = 5 \cdot 10^{14}\) Hz.
Aussage 5
Dringt eine Lichtwelle in Glas mit \(n = 1{,}5\) ein, wächst ihre Amplitude auf das 1,5-Fache.
Die Brechzahl skaliert Geschwindigkeit und Wellenlänge, nicht die Amplitude. Die Wellenlänge sinkt auf zwei Drittel.
Aussage 6
Weil rotes Licht eine größere Wellenlänge hat als grünes, ist auch seine Frequenz höher.
Bei gleicher Geschwindigkeit sind \(\lambda\) und \(f\) gegenläufig. Rotes Licht hat die größere Wellenlänge und daher die niedrigere Frequenz.
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