Prisma: Ablenkung und Dispersion
Wie ein Prisma Licht zur Basis hin ablenkt, wovon der Ablenkwinkel abhängt und warum die Dispersion der Brechzahl weißes Licht in Spektralfarben zerlegt.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Prisma ist ein durchsichtiger Körper mit zwei gegeneinander geneigten Flächen, die den brechenden Winkel \(\gamma\) einschließen; ein Glasprisma in Luft lenkt Licht an beiden Flächen zur Basis hin ab.
- Der Ablenkwinkel \(\delta\) hängt vom Einfallswinkel, vom brechenden Winkel und von den Brechzahlen von Prisma und Umgebung ab, nicht von der Weglänge im Glas; ein monochromatisches Parallelbündel bleibt parallel.
- Dispersion ist die Frequenzabhängigkeit der Brechzahl; bei normaler Dispersion (Glas, farblose Flüssigkeiten) steigt \(n\) mit der Frequenz, Blau wird stärker gebrochen als Gelb und Rot.
- Wegen \(c = c_0/n\) ist kurzwelliges Licht in Glas langsamer als langwelliges; die Dispersion verursacht auch die chromatische Aberration.
- Die spektrale Zerlegung beginnt schon an der Eintrittsfläche; Violett wird am stärksten, Rot am schwächsten abgelenkt, und der Ablenkwinkel steigt mit der Frequenz mit zunehmender Steigung.
- Ein Prisma ändert keine Farbe; es sortiert nur, und die Spektralfarben lassen sich wieder zu weißem Licht vereinigen.
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Worum es geht
Ein Prisma lenkt Licht ab und zerlegt weißes Licht in seine Farben. Beides folgt aus dem Brechungsgesetz und daraus, dass die Brechzahl von der Lichtfrequenz abhängt. Dasselbe Prinzip nutzen Prismenmonochromatoren in Spektralphotometern, mit denen in der Arzneistoffanalytik gemessen wird.
Strahlengang durch das Prisma
Ein Prisma ist ein durchsichtiger Körper mit zwei ebenen Flächen, die gegeneinander geneigt sind. Den Winkel zwischen diesen Flächen nennt man brechenden Winkel \(\gamma\). Die Kante, an der sie zusammenstoßen, ist die Prismenspitze. Die gegenüberliegende Seite heißt Basis. Jede der beiden Flächen bricht das Licht nach dem Brechungsgesetz.
Zwei Brechungen, eine Richtung
Ein Glasprisma in Luft ist optisch dichter als seine Umgebung, es gilt \(n_{\mathrm{Prisma}} > n_{\mathrm{Luft}}\). Beim Eintritt knickt der Strahl deshalb zum Lot hin. Beim Austritt wechselt er ins optisch dünnere Medium und knickt vom Lot weg. Weil die Flächen gegeneinander geneigt sind, wirken beide Knicke in dieselbe Richtung. Der Strahl wird zur Basis hin abgelenkt, also von der Spitze weg.
Den Winkel zwischen einfallendem und austretendem Strahl nennt man Ablenkwinkel \(\delta\). Ein Prisma ändert also die Richtung eines Lichtstrahls. Bei der planparallelen Platte heben sich die beiden Richtungsänderungen auf, beim Prisma addieren sie sich. Wäre die Umgebung optisch dichter als das Prisma, etwa bei einem luftgefüllten Hohlprisma in Wasser, kehrte sich das Ergebnis um. Der Strahl würde dann zur Spitze hin abgelenkt.
Wovon der Ablenkwinkel abhängt
Der Ablenkwinkel hängt von drei Größen ab: vom Einfallswinkel an der ersten Fläche, vom brechenden Winkel \(\gamma\) und von den Brechzahlen von Prisma und Umgebung. Ein größerer brechender Winkel lenkt stärker ab. Ebenso lenkt ein Glas stärker ab, dessen Brechzahl sich deutlicher von der Umgebung unterscheidet.
\[\delta = \alpha_1 + \alpha_2 - \gamma\]
Dabei ist \(\alpha_1\) der Einfallswinkel an der ersten Fläche, \(\alpha_2\) der Austrittswinkel an der zweiten Fläche (beide gegen das Lot gemessen) und \(\gamma\) der brechende Winkel. Für kleine Winkel gilt näherungsweise \(\delta \approx (n-1) \cdot \gamma\).
Die Länge des Lichtwegs im Glas taucht in dieser Beziehung nicht auf. Ob ein Strahl nahe der Spitze durch wenig Glas läuft oder nahe der Basis durch viel, ändert an \(\delta\) nichts. Es zählen allein die Winkel an den Flächen. Daraus folgt: Ein monochromatisches Parallelbündel bleibt nach dem Prisma parallel. Alle seine Strahlen treffen unter demselben Winkel auf und werden gleich stark abgelenkt. Das Bündel ist danach nur gekippt, so wie eine Kolonne, die an derselben Kreuzung geschlossen abbiegt.
Skizzen prüfen
Ob ein gezeichneter Strahlengang physikalisch möglich ist, entscheidest du an den Einfallsloten:
- Lote einzeichnen: An Ein- und Austrittspunkt je eine Senkrechte auf die jeweilige Fläche setzen.
- Eintritt prüfen: Im Glas muss der Strahl näher am Lot verlaufen als davor. Bei senkrechtem Einfall läuft er ungeknickt weiter.
- Austritt prüfen: In Luft muss der Strahl weiter vom Lot entfernt sein als im Glas.
- Gesamtrichtung prüfen: Beide Knicke weisen zur Basis. Knickt ein Strahl zur Spitze hin ab oder läuft er schräg ungebrochen durch, ist die Skizze falsch.
Dispersion der Brechzahl
Die Brechzahl \(n\) eines Stoffes ist keine Konstante im strengen Sinn. Misst man sie mit Licht verschiedener Farben, erhält man leicht verschiedene Werte. Wie \(n\) mit der Lichtgeschwindigkeit im Medium verknüpft ist, setzen wir hier voraus.
Dispersion ist die Abhängigkeit der Brechzahl eines Mediums von der Frequenz (bzw. Wellenlänge) des Lichts. Sie bewirkt, dass verschiedene Farben an derselben Grenzfläche verschieden stark gebrochen werden.
Normale Dispersion
In durchsichtigen Stoffen wie Glas, Wasser oder anderen farblosen Flüssigkeiten steigt die Brechzahl mit der Frequenz. Dieses Verhalten heißt normale Dispersion. Hohe Frequenz bedeutet kurze Wellenlänge. Violett und Blau haben daher die größte Brechzahl, Rot die kleinste. Blaues Licht wird in Glas also stärker gebrochen als gelbes, gelbes stärker als rotes.
„Normal“ heißt diese Dispersion, weil sie fern von Absorptionsbanden die Regel ist. Die Abbildung zeigt die Größenordnung für Kronglas. Die Brechzahl steigt von etwa 1,514 bei 656 nm (Rot) auf etwa 1,522 bei 486 nm (Blau). Der Unterschied wirkt klein, reicht aber für eine deutlich sichtbare Farbtrennung.
Dass die Brechzahl bei normaler Dispersion mit steigender Frequenz zunimmt, solltest du sicher können. Die Richtung der Farbtrennung im Prisma folgt direkt daraus, und viele Aussagen über Brechung und Geschwindigkeit lassen sich damit sofort beurteilen.
Folge für die Lichtgeschwindigkeit
Da \(c = c_0/n\) gilt, läuft Licht mit größerer Brechzahl langsamer. Bei normaler Dispersion ist kurzwelliges Licht im Glas also langsamer als langwelliges. Mit \(c_0 = 3{,}00 \cdot 10^8\) m/s ergibt sich für Kronglas:
\[c_{\mathrm{rot}} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}}{1{,}514} \approx 1{,}98 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}\]
\[c_{\mathrm{blau}} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}}{1{,}522} \approx 1{,}97 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}\]
Die Frequenz bleibt beim Eintritt ins Glas erhalten, nur die Wellenlänge im Medium ändert sich. Die Farbe ist deshalb an die Frequenz gebunden.
Auch bei Linsen macht sich die Dispersion bemerkbar. Eine einfache Sammellinse hat für Blau eine kürzere Brennweite als für Rot. Dieser Abbildungsfehler heißt chromatische Aberration und beruht auf der Dispersion der Brechzahl. Davon zu unterscheiden ist die Rotationsdispersion, bei der sich der optische Drehwinkel mit der Wellenlänge ändert.
Spektrale Zerlegung
Weißes Licht ist ein Gemisch aller Spektralfarben. Trifft es schräg auf ein Prisma, gilt für jede Farbe eine eigene Brechzahl. Jede Farbe wird daher unter einem eigenen Winkel gebrochen. So zerlegt das Prisma weißes Licht durch Dispersion der Brechzahl in seine Spektralfarben.
Wo die Farben auseinanderlaufen
Die Aufspaltung beginnt bereits an der Eintrittsfläche. Schon dort knickt Blau stärker zum Lot hin als Rot. Im Glas laufen die Farben als schmaler Fächer auseinander. An der Austrittsfläche wird Blau erneut stärker gebrochen, und der Fächer öffnet sich weiter. Violett wird am stärksten abgelenkt und liegt hinter dem Prisma am weitesten zur Basis hin. Rot wird am schwächsten abgelenkt.
Anders als ein monochromatisches Bündel bleibt ein weißes Parallelbündel hinter dem Prisma nicht als Ganzes parallel. Jede Farbe für sich läuft parallel weiter, die Farben verlassen das Prisma aber in verschiedenen Richtungen.
Die spektrale Zerlegung wird im Examen gerne gefragt. Achte in Strahlengangskizzen darauf, dass sich Rot und Blau schon an der ersten Fläche trennen und der blaue Strahl an beiden Flächen stärker geknickt ist, also näher an der Basis verläuft.
Ablenkwinkel gegen Frequenz
Trägt man den Ablenkwinkel gegen die Frequenz auf, steigt die Kurve von Rot nach Violett monoton an. Sie ist dabei nach oben gekrümmt, ihre Steigung nimmt also mit der Frequenz zu. Das spiegelt die Brechzahl wider, die zum Kurzwelligen hin immer steiler ansteigt. In einem Diagramm mit mehreren Kurven ist deshalb die steigende Kurve richtig, die nach rechts steiler wird. Eine fallende Kurve widerspricht der normalen Dispersion. Eine Gerade oder eine abflachende Kurve gibt die Krümmung falsch wieder.
Sortieren und wieder vereinigen
Das Prisma trennt nur, was im weißen Licht schon enthalten ist. Man kann es sich wie ein Sieb vorstellen, das Farben nach Richtung sortiert.
Ein Prisma kann die Frequenz und damit die Farbe des Lichts nicht ändern. Rotes Licht verlässt es als rotes Licht und lässt sich damit nicht in blaues umwandeln.
Weil das Prisma nur sortiert, lässt sich die Zerlegung umkehren. Eine Sammellinse oder ein zweites, umgekehrt angeordnetes Prisma führt die Spektralfarben wieder zusammen. Es entsteht erneut weißes Licht. Wie man mit einem Prisma gezielt einzelne Wellenlängen auswählt, zeigt die Einheit Spektralapparate und Monochromatoren.
Quiz
Aussage 1
Weißes Licht wird erst beim Austritt aus dem Prisma in seine Spektralfarben aufgespalten.
Die Aufspaltung beginnt bereits an der Eintrittsfläche. An der Austrittsfläche öffnet sich der Farbfächer nur weiter.
Aussage 2
Ein monochromatisches Parallelbündel verlässt ein Prisma wieder als Parallelbündel.
Alle Strahlen treffen unter demselben Winkel auf und werden gleich stark abgelenkt. Das Bündel ist nur gekippt.
Aussage 3
Ein Glasprisma in Luft lenkt einen Lichtstrahl an beiden Flächen zur Prismenspitze hin ab.
Beim Eintritt knickt der Strahl zum Lot hin, beim Austritt vom Lot weg. Beide Knicke weisen zur Basis, nicht zur Spitze.
Aussage 4
In Glas mit normaler Dispersion breitet sich violettes Licht schneller aus als rotes Licht.
Violett hat die größere Brechzahl. Wegen \(c = c_0/n\) ist es im Glas langsamer als Rot.
Aussage 5
Bei normaler Dispersion ist die Brechzahl von Glas für blaues Licht größer als für gelbes Licht.
Bei normaler Dispersion steigt die Brechzahl mit der Frequenz. Blau hat eine höhere Frequenz als Gelb.
Aussage 6
Ein Strahl, der nahe der Basis einen längeren Weg durch das Glas zurücklegt, wird stärker abgelenkt als ein Strahl nahe der Spitze.
Der Ablenkwinkel hängt von Einfallswinkel, brechendem Winkel und Brechzahlen ab. Die Weglänge im Glas spielt keine Rolle.
Aussage 7
Die von einem Prisma erzeugten Spektralfarben lassen sich mit einer Sammellinse wieder zu weißem Licht vereinigen.
Das Prisma sortiert nur die Farben nach Richtung. Diese Zerlegung lässt sich mit Sammellinse oder umgekehrt angeordnetem Prisma rückgängig machen.
Aussage 8
Der Ablenkwinkel eines Glasprismas steigt mit der Lichtfrequenz, und die Kurve wird zu hohen Frequenzen hin immer steiler.
Die Brechzahl steigt zum Kurzwelligen hin immer steiler an. Entsprechend ist die Kurve des Ablenkwinkels monoton steigend und nach oben gekrümmt.
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