Dicht zusammengefügte Linsen und Brechwertaddition
Wie sich die Brechwerte dicht aneinanderliegender dünner Linsen addieren und wie man damit die Bildlage gezielt verschiebt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Brechwertaddition besagt: Dicht zusammengefügte dünne Linsen haben den Gesamtbrechwert \(D = D_1 + D_2\), also \(\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}\).
- Zwei gleiche Sammellinsen ergeben eine Sammellinse mit halber Brennweite.
- Zerstreuungslinsen gehen mit negativem Brechwert ein; für Linsen im Abstand gilt die Addition nicht.
- Sammel- und Zerstreuungslinse mit betragsgleicher Brennweite ergeben Brechwert null und eine unendliche Brennweite.
- Ein Bild hinter dem Schirm holt man durch Verschieben der Linse zum Schirm oder eine dicht vorgesetzte Sammellinse auf den Schirm.
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Worum es geht
Liegen zwei dünne Linsen dicht aneinander, wirken sie wie eine einzige Linse mit neuem Brechwert. Dieses Prinzip nutzt man bei Brillengläsern, Objektiven und auf der optischen Bank. Wer es beherrscht, berechnet Gesamtbrennweiten in wenigen Schritten.
Brechwertaddition
Der Brechwert eines Systems dicht zusammengefügter dünner Linsen ist die Summe der Einzelbrechwerte. Das nennt man Brechwertaddition.
\[D = D_1 + D_2 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(D\) | Gesamtbrechwert, \(D = 1/f\) | dpt = 1/m |
| \(D_1\), \(D_2\) | Brechwerte der Einzellinsen | dpt |
| \(f\) | Gesamtbrennweite | m |
| \(f_1\), \(f_2\) | Einzelbrennweiten | m |
Jede Linse knickt die Strahlen um ihren Anteil, und dicht hintereinander summieren sich die Knicke. Zwei gleiche Sammellinsen haben deshalb den doppelten Brechwert und die halbe Brennweite. Sie wirken zusammen als Sammellinse und fokussieren ein Parallelbündel bei \(f/2\).
Die Regel gilt nur für dünne Linsen ohne Abstand. Stehen Linsen auseinander, etwa um ein Bündel umzuformen, darf man nicht addieren.
Den Linsentyp erkennt man im Querschnitt. Ist die Mitte dicker als der Rand, ist \(D\) positiv. Ist sie dünner, ist \(D\) negativ. Ein positiver Gesamtbrechwert fokussiert ein Parallelbündel.
So rechnet man ein System aus Sammel- und Zerstreuungslinse:
- Umrechnen: \(f_1 = 25\) cm ergibt \(D_1 = 1/(0{,}25\ \text{m}) = 4\) dpt. \(f_2 = -50\) cm ergibt \(D_2 = -2\) dpt.
- Addieren: \(D = 4\ \text{dpt} - 2\ \text{dpt} = 2\) dpt.
- Zurückrechnen: \(f = 1/D = 0{,}5\) m. Das System sammelt.
Typische Fehler sind: Brennweiten statt Kehrwerte addieren, das Minus der Zerstreuungslinse vergessen, in Zentimetern statt Metern rechnen.
Die Brechwertaddition wird im Examen gerne gefragt. Addiert werden die Kehrwerte der Brennweiten, und Zerstreuungslinsen gehen mit negativem Vorzeichen ein.
System mit Brechwert null
Haben Sammel- und Zerstreuungslinse die Brennweiten \(f\) und \(-f\), heben sich ihre Brechwerte auf: \(D = 1/f - 1/f = 0\). Die Brennweite des Systems ist dann unendlich. Die beiden Linsen kompensieren ihre Wirkung in erster Ordnung, das System hat keine Brennwirkung.
Ein anschauliches Beispiel: Eine plankonvexe und eine plankonkave Linse aus gleichem Material mit gleichem Krümmungsradius passen genau ineinander. Zusammen bilden sie eine planparallele Platte. Ein Parallelbündel tritt parallel wieder aus.
Bildlage durch Zusatzlinse
Liegt das Bild einer Sammellinse hinter dem Schirm, ist die Bildweite \(b\) zu groß. Die Abbildungsgleichung \(\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}\) zeigt zwei Auswege.
Erstens schiebt man die Linse zum Schirm hin. Die Gegenstandsweite \(g\) wächst, dadurch wird \(b\) kürzer. Zweitens setzt man dicht vor die Linse eine zusätzliche Sammellinse. Der Gesamtbrechwert \(1/f\) steigt. Bei gleichem \(g\) muss dann \(1/b\) größer werden, die Bildweite sinkt.
Eine vorgesetzte Zerstreuungslinse bewirkt das Gegenteil. Sie verringert den Gesamtbrechwert, die Bildweite wächst, und das Bild rückt weiter vom Schirm weg.
Quiz
Aussage 1
Eine plankonvexe und eine plankonkave Linse aus gleichem Material mit gleichem Krümmungsradius ergeben zusammen ein System mit unendlicher Brennweite.
Ihre Brechwerte sind betragsgleich mit entgegengesetztem Vorzeichen; die Summe ist null, die Brennweite unendlich.
Aussage 2
Setzt man dicht vor eine Sammellinse eine Zerstreuungslinse, verkürzt sich bei gleicher Gegenstandsweite die Bildweite.
Die Zerstreuungslinse verringert den Gesamtbrechwert, die Bildweite wird größer. Verkürzen lässt sie sich mit einer zusätzlichen Sammellinse.
Aussage 3
Zwei dicht zusammengefügte dünne Sammellinsen mit je \(f = 20\) cm haben zusammen eine Brennweite von 40 cm.
Die Brechwerte addieren sich: \(2 \cdot 5\) dpt \(= 10\) dpt, also \(f = 10\) cm, die halbe Einzelbrennweite.
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