Abbildungsgleichung und Abbildungsmaßstab
Wie man mit der Abbildungsgleichung Bild- und Brennweiten dünner Linsen berechnet und mit dem Abbildungsmaßstab auf Bildgrößen schließt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Abbildungsgleichung \(1/f = 1/g + 1/b = D\) verknüpft Brennweite, Gegenstandsweite und Bildweite einer dünnen Linse.
- Sie gilt auch für Zerstreuungslinsen (negatives \(f\)) und virtuelle Bilder (negatives \(b\)).
- In der Auftragung von \(1/b\) gegen \(1/g\) ist der Achsenabschnitt der Brechwert \(D\), die Steigung ist immer \(-1\).
- Der Abbildungsmaßstab ist \(B/G = b/g\) und hängt nicht vom Linsendurchmesser ab; eine reelle 1:1-Abbildung verlangt \(g = b = 2f\).
- Bei fernen Gegenständen liegt das Bild in der Brennebene (\(b \approx f\)), also \(B = G \cdot f/g\); Flächen skalieren quadratisch.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Die Bildkonstruktion zeigt, wo ein Bild entsteht. Abbildungsgleichung und Abbildungsmaßstab liefern dieselben Antworten als Zahlen: Bildweite, Brennweite und Bildgröße. Damit rechnet man Lupen, Projektoren, Kameras und das Auge durch.
Abbildungsgleichung
Die Abbildungsgleichung verknüpft drei Abstände an einer dünnen Linse: die Gegenstandsweite \(g\), die Bildweite \(b\) und die Brennweite \(f\). Der Kehrwert der Brennweite ist der Brechwert \(D\). Wie man die Bildlage zeichnerisch findet, zeigt die Bildkonstruktion.
\[D = \frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(D\) | Brechwert der Linse | dpt = 1/m |
| \(f\) | Brennweite | m |
| \(g\) | Gegenstandsweite, Abstand von Gegenstand und Linse | m |
| \(b\) | Bildweite, Abstand von Linse und Bild | m |
Die Summe der Kehrwerte ist fest. Rückt der Gegenstand näher an die Linse, wächst \(1/g\). Also muss \(1/b\) kleiner werden, und das Bild wandert nach außen. Steht der Gegenstand im Brennpunkt (\(g = f\)), wird \(1/b = 0\): Das Bild liegt im Unendlichen.
Vorzeichen und Gültigkeit
Die Gleichung gilt für Sammel- und Zerstreuungslinsen und für jede Gegenstandsweite. Entscheidend sind die Vorzeichen. Eine Zerstreuungslinse hat eine negative Brennweite. Ein negatives Ergebnis für \(b\) bedeutet ein virtuelles Bild auf der Gegenstandsseite. Grenzen an die Linse beidseits Medien verschiedener Brechzahl \(n_1\) und \(n_2\), gilt sie in erweiterter Form: \(n_1/g + n_2/b = D\).
- Ansatz: Sammellinse mit \(f = 10\) cm, Gegenstand bei \(g = 15\) cm, gesucht ist \(b\).
- Umstellen: \(\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{g} = \frac{1}{10\ \text{cm}} - \frac{1}{15\ \text{cm}} = \frac{1}{30\ \text{cm}}\)
- Kehrwert bilden: \(b = 30\) cm. Das Vorzeichen ist positiv, also entsteht ein reelles Bild hinter der Linse.
- Virtueller Fall: Mit \(g = 5\) cm folgt \(1/b = 1/10 - 1/5 = -1/10\) in 1/cm. Also ist \(b = -10\) cm, ein virtuelles Bild wie bei der Lupe.
Eine Zerstreuungslinse mit \(f = -20\) cm und \(g = 30\) cm ergibt \(1/b = -1/20 - 1/30 = -1/12\) in 1/cm. Ihr Bild ist mit \(b = -12\) cm virtuell.
Umgekehrt berechnet man die Brennweite aus \(g\) und \(b\). Im Auge entspricht die Bildweite etwa dem Abstand zwischen Linse und Netzhaut, also dem Augapfeldurchmesser von rund 2,4 cm. Für einen Text in 25 cm Abstand braucht das vereinfachte Auge:
\[D = \frac{1}{0{,}25\ \text{m}} + \frac{1}{0{,}024\ \text{m}} \approx 45{,}7\ \text{dpt}\]
Die Rechnung liefert zuerst \(1/b\). Erst der Kehrwert ist die Bildweite. Für Dioptrien müssen alle Weiten in Metern stehen.
Das Rechnen mit \(1/f = 1/g + 1/b\) in beide Richtungen wird im Examen gerne gefragt, auch für Zerstreuungslinsen und virtuelle Bilder. Setze \(f\) bei Zerstreuungslinsen negativ ein und deute ein negatives \(b\) als virtuelles Bild.
Grafische Auswertung
Misst man zu mehreren Gegenstandsweiten die Bildweiten, lässt sich der Brechwert grafisch bestimmen. Dazu stellt man die Abbildungsgleichung nach \(1/b\) um:
\[\frac{1}{b} = -\frac{1}{g} + D\]
Das ist eine Geradengleichung mit der Steigung \(-1\). Trägt man \(1/b\) gegen \(1/g\) auf, ist der Achsenabschnitt auf der \(1/b\)-Achse der Brechwert \(D\). Wegen der Steigung \(-1\) schneidet die Gerade die \(1/g\)-Achse beim selben Wert. Die Ausgleichsgerade mittelt die Messfehler der einzelnen Punkte.
Im Diagramm liegt der Achsenabschnitt bei 8 m⁻¹. Die Linse hat also \(D = 8\) dpt und \(f = 1/D = 0{,}125\) m, also 12,5 cm. Die Steigung trägt keine Information über die Linse, denn sie ist immer \(-1\).
Abbildungsmaßstab
Der Abbildungsmaßstab \(\beta\) sagt, wie groß das Bild im Verhältnis zum Gegenstand ist. Er ist gleich dem Verhältnis von Bildweite zu Gegenstandsweite:
\[\beta = \frac{B}{G} = \frac{b}{g}\]
Dabei ist \(B\) die Bildgröße und \(G\) die Gegenstandsgröße, beide in derselben Längeneinheit. Der Grund ist geometrisch. Der Strahl durch die Linsenmitte läuft ungebrochen und bildet mit der Achse zwei ähnliche Dreiecke. Deren Seiten stehen im gleichen Verhältnis.
Der Linsendurchmesser kommt in der Formel nicht vor. Eine größere Linse sammelt mehr Licht und macht das Bild heller, aber nicht größer. Im Beispiel oben mit \(g = 15\) cm und \(b = 30\) cm folgt \(\beta = 2\): Das Bild ist doppelt so groß wie der Gegenstand.
1:1-Abbildung
Für \(\beta = 1\) muss \(b = g\) gelten. Eingesetzt in die Abbildungsgleichung folgt \(2/g = 1/f\), also \(g = b = 2f\). Gegenstand und reelles Bild stehen dann in doppelter Brennweite beiderseits der Sammellinse.
Maßstab und Linsengleichung kombinieren
Kennt man Bildweite und beide Größen, folgt der Aufnahmeabstand direkt: \(g = b \cdot G/B\). Kennt man \(\beta\) und \(f\), setzt man \(b = \beta g\) in die Abbildungsgleichung ein. Man erhält \(g = f(1+\beta)/\beta\).
- Gegeben: Ein 36 mm breites Dia soll auf einer 5,0 m entfernten Leinwand 1,8 m breit erscheinen.
- Maßstab: \(\beta = 1{,}8\ \text{m} / 0{,}036\ \text{m} = 50\)
- Gegenstandsweite: \(g = b/\beta = 5{,}0\ \text{m} / 50 = 0{,}10\) m
- Brennweite: \(1/f = 1/(0{,}10\ \text{m}) + 1/(5{,}0\ \text{m}) = 10{,}2\) dpt, also \(f \approx 9{,}8\) cm.
Ferne Gegenstände
Ist der Gegenstand sehr weit entfernt (\(g \gg f\)), wird \(1/g\) winzig. Die Abbildungsgleichung liefert dann \(1/b \approx 1/f\). Das Bild entsteht näherungsweise in der Brennebene, es gilt \(b \approx f\). Deshalb erscheint das Sonnenbild eines Brennglases in seinem Brennpunkt. Der Abbildungsmaßstab vereinfacht sich zu:
\[B = G \cdot \frac{f}{g}\]
Das Bild wächst proportional zur Brennweite und schrumpft mit der Entfernung. Doppelte Brennweite heißt doppelte Bildgröße.
| Situation | Gegeben | Ergebnis |
|---|---|---|
| Netzhautbild | Baum \(G = 10\) m in \(g = 100\) m, Auge \(f \approx 2{,}4\) cm | \(B = 10\ \text{m} \cdot 0{,}024\ \text{m} / 100\ \text{m} = 2{,}4\) mm |
| Sonnenbild | \(G = 1{,}4 \cdot 10^9\) m, \(g = 1{,}5 \cdot 10^{11}\) m, \(f = 1{,}0\) m | \(B \approx 9{,}3\) mm |
| Objektiv abschätzen | \(G = 2{,}0\) m in \(g = 20\) m, \(B = 5{,}0\) mm | \(f \approx g \cdot B/G = 50\) mm |
Bei Flächen wirkt der Maßstab quadratisch. Eine Luftbildkamera mit \(f = 50\) mm in 1000 m Höhe hat \(\beta = 5 \cdot 10^{-5}\). Ein Bildformat von 24 mm × 24 mm erfasst dann 480 m × 480 m Boden, rund 0,23 km². Aus doppelter Höhe sieht man die vierfache Fläche.
Quiz
Aussage 1
Trägt man \(1/b\) gegen \(1/g\) auf, entspricht die Steigung der Ausgleichsgeraden dem Brechwert der Linse.
Die Steigung ist immer \(-1\). Der Brechwert ist der Achsenabschnitt der Ausgleichsgeraden.
Aussage 2
Für Zerstreuungslinsen lässt sich die Abbildungsgleichung \(1/f = 1/g + 1/b\) nicht verwenden.
Die Gleichung gilt auch für Zerstreuungslinsen. Man setzt ihre Brennweite negativ ein und erhält ein virtuelles Bild.
Aussage 3
Das Bild eines sehr weit entfernten Gegenstands wie der Sonne entsteht näherungsweise in der Brennebene der Linse.
Für \(g \gg f\) wird \(1/g\) vernachlässigbar, also gilt \(b \approx f\).
Aussage 4
Für eine reelle Abbildung im Maßstab 1:1 mit einer Sammellinse müssen Gegenstands- und Bildweite jeweils der doppelten Brennweite entsprechen.
Aus \(b = g\) und der Abbildungsgleichung folgt \(2/g = 1/f\), also \(g = b = 2f\).
Aussage 5
Eine Linse mit größerem Durchmesser erzeugt bei gleicher Brennweite und Gegenstandsweite ein größeres Bild.
Der Maßstab \(B/G = b/g\) hängt nur von den Weiten ab. Ein größerer Durchmesser macht das Bild heller, nicht größer.
Aussage 6
Liefert die Abbildungsgleichung für eine Sammellinse eine negative Bildweite, entsteht ein virtuelles Bild auf der Gegenstandsseite.
Ein negatives \(b\) kennzeichnet ein virtuelles Bild, etwa wenn der Gegenstand innerhalb der Brennweite steht.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.