Dynamische Viskosität und Temperaturabhängigkeit
Die dynamische Viskosität beschreibt die innere Reibung von Flüssigkeiten und Gasen, wird in Pa·s gemessen und nimmt bei Flüssigkeiten mit steigender Temperatur exponentiell ab.
Das Wichtigste in Kürze
- Die dynamische Viskosität \(\eta\) misst die innere Reibung, also die Zähigkeit von Flüssigkeiten und Gasen, und verknüpft Scherspannung und Schergefälle: \(\tau = \eta \cdot \mathrm{d}v/\mathrm{d}x\).
- Bei Newton’schen Flüssigkeiten ist \(\eta\) vom Schergefälle unabhängig, bei Nicht-Newton’schen wie strukturviskosen Gelen nicht.
- Die SI-Einheit ist Pa·s, gleichwertig N·s/m².
- Die Viskosität von Flüssigkeiten, etwa Wasser, sinkt mit steigender Temperatur.
- Es gilt \(\ln \eta = a + b/T\): Die Auftragung \(\ln \eta\) gegen \(1/T\) ist eine steigende Gerade mit Steigung \(b\).
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Worum es geht
Honig fließt zäh, Wasser flüssig. Diesen Unterschied fasst die Viskosität in eine Zahl. In der Pharmazie bestimmt sie, wie sich Sirupe dosieren, Salben verstreichen und Injektionslösungen durch eine Kanüle drücken lassen.
Fließen und innere Reibung
Eine strömende Flüssigkeit lässt sich als Stapel dünner Schichten denken. Liegt sie zwischen einer ruhenden und einer bewegten Platte, gleitet jede Schicht etwas schneller als die darunter. Die Moleküle benachbarter Schichten ziehen sich an und bremsen einander. Diese innere Reibung muss die Kraft \(F\) an der oberen Platte ständig überwinden.
Die Kraft pro Plattenfläche heißt Scherspannung \(\tau = F/A\). Wie stark sich die Geschwindigkeit von Schicht zu Schicht ändert, gibt das Schergefälle \(\mathrm{d}v/\mathrm{d}x\) an. Beide verknüpft das Newton’sche Reibungsgesetz.
\[\tau = \frac{F}{A} = \eta \cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\tau\) | Scherspannung | \(\mathrm{Pa}\) |
| \(F\) | Kraft an der Platte | \(\mathrm{N}\) |
| \(A\) | Plattenfläche | \(\mathrm{m^2}\) |
| \(\eta\) | dynamische Viskosität | \(\mathrm{Pa \cdot s}\) |
| \(\mathrm{d}v/\mathrm{d}x\) | Schergefälle | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
Bei einer Newton’schen Flüssigkeit wie Wasser ist \(\eta\) vom Schergefälle unabhängig. Doppeltes Schergefälle erfordert doppelte Scherspannung. Bei einer Nicht-Newton’schen Flüssigkeit ändert sich \(\eta\) mit dem Schergefälle. Strukturviskose Gele und Cremes werden beim Rühren oder Verstreichen dünner. Ihre Fließkurven und die Messverfahren des Arzneibuchs behandelt dieser Kurs nicht.
Begriff und Einheit
Die dynamische Viskosität \(\eta\) ist das quantitative Maß für die Zähigkeit von Flüssigkeiten und Gasen. Sie bestimmt wesentlich, wie eine Flüssigkeit fließt. Der Ausdruck innere Reibung meint genau diese Größe und keine wärmegetriebene Strömung wie die Konvektion.
Die Einheit folgt aus dem Reibungsgesetz:
\[[\eta] = \frac{\mathrm{N/m^2}}{(\mathrm{m/s})/\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{N \cdot s}}{\mathrm{m^2}} = \mathrm{Pa \cdot s}\]
Die SI-Einheit ist also Pa·s, gleichwertig N·s/m². Anders als oft verwechselt steht die Sekunde im Zähler, die Fläche im Nenner. Mit dem Produkt \(p \cdot V\) hat Pa·s nichts zu tun, denn \(p \cdot V\) hat die Einheit \(\mathrm{Pa \cdot m^3} = \mathrm{J}\). Wasser hat bei 20 °C etwa 1 mPa·s.
Temperaturabhängigkeit
Erwärmt man eine Flüssigkeit, bewegen sich die Moleküle heftiger. Sie lösen sich leichter aus den Anziehungen ihrer Nachbarn. Deshalb sinkt die Viskosität von Flüssigkeiten mit steigender Temperatur, auch bei Newton’schen wie Wasser. Bei Gasen steigt sie dagegen leicht an.
Die Abnahme folgt einer Arrhenius-artigen Beziehung mit den positiven Konstanten \(A\) und \(b\):
\[\eta = A \cdot e^{b/T} \qquad \ln \eta = a + \frac{b}{T} \quad (a = \ln A)\]
\(\eta\) wächst also exponentiell mit \(1/T\). Trägt man \(\ln \eta\) gegen \(1/T\) auf, entsteht eine steigende Gerade mit Steigung \(b\) und Achsenabschnitt \(a\). Wie man solche Auftragungen liest, steht bei Exponentialfunktionen im halblogarithmischen Diagramm.
- Zwei Punkte ablesen: \(1/T = 3{,}0 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}\) mit \(\ln \eta = -6{,}0\) und \(3{,}5 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}\) mit \(\ln \eta = -5{,}0\).
- Steigung: \(b = 1{,}0 / (0{,}5 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}) = 2000\ \mathrm{K}\).
- Achsenabschnitt: \(a = -6{,}0 - 2000 \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-3} = -12\).
- Gleichung: \(\ln \eta = -12 + 2000\ \mathrm{K}/T\).
Quiz
Aussage 1
Wird Wasser erwärmt, nimmt seine Viskosität zu, weil die Moleküle sich schneller bewegen.
Die Viskosität von Flüssigkeiten wie Wasser sinkt mit steigender Temperatur, weil die Moleküle sich leichter aus den Anziehungen ihrer Nachbarn lösen.
Aussage 2
Die dynamische Viskosität lässt sich in der Einheit \(\mathrm{N \cdot s / m^2}\) angeben.
Aus \(\eta = \tau/(\mathrm{d}v/\mathrm{d}x)\) folgt \(\mathrm{N \cdot s/m^2}\), was dasselbe ist wie Pa·s.
Aussage 3
Trägt man \(\ln \eta\) einer Flüssigkeit gegen \(1/T\) auf, erhält man eine fallende Gerade.
Wegen \(\ln \eta = a + b/T\) mit positivem \(b\) ergibt sich eine steigende Gerade mit Steigung \(b\).
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