Überlagerung von Geschwindigkeiten als Vektoren
Wie man zwei Geschwindigkeiten als Pfeile addiert und Betrag und Richtung der Resultierenden zeichnerisch und rechnerisch bestimmt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Vektoraddition verknüpft Geschwindigkeiten nach Betrag und Richtung, auch aus verschiedenen Bezugssystemen; die Resultierende ist die Diagonale des Parallelogramms.
- Bei senkrechten Teilgeschwindigkeiten gilt \(v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\), umgekehrt \(v_y = \sqrt{v^2 - v_x^2}\); die Zeit für eine Strecke folgt aus \(t = s/v\).
- Die Richtung folgt aus \(\tan\alpha = v_1/v_2\); die Resultierende liegt näher an der größeren Teilgeschwindigkeit, bei gleichen Beträgen unter \(\pi/4\) zu jeder.
- Ein Boot erreicht das andere Ufer nur mit einer Komponente senkrecht zur Strömung; für Kurs Nord bei Westströmung steuert man Nordost.
- Die Relativgeschwindigkeit ist die Vektordifferenz; Rückenwind wird addiert, Gegenwind abgezogen, und ein Rundflug mit Wind dauert länger als bei Windstille.
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Worum es geht
Ein Boot, das quer über einen Fluss rudert, kommt nicht genau gegenüber an. Seine Bewegung setzt sich aus zwei Geschwindigkeiten zusammen, die man als Pfeile addieren muss. Dieselbe Rechnung steckt später hinter Kräften, Impulsen und Wurfbahnen.
Geschwindigkeit als Vektor
Eine Geschwindigkeit hat einen Betrag und eine Richtung. Sie ist deshalb ein Vektor und wird als Pfeil gezeichnet. Die Grundlagen dazu stehen bei Skalare und vektorielle Größen. Die Pfeillänge steht für den Betrag, die Pfeilspitze für die Richtung.
Jede Geschwindigkeitsangabe gilt gegenüber einem Bezugssystem. Das ist der Körper oder Raum, von dem aus man die Bewegung misst. Ein Boot hat eine Geschwindigkeit gegenüber dem Wasser, das Wasser eine gegenüber dem Ufer. Die Geschwindigkeit des Boots gegenüber dem Ufer erhält man, indem man beide addiert. Das ist erlaubt, obwohl die Teilgeschwindigkeiten aus verschiedenen Bezugssystemen stammen.
Bei dieser Vektoraddition zählen Betrag und Richtung. Das Ergebnis heißt Resultierende. Ihr Betrag ist nur dann die Summe der Einzelbeträge, wenn beide Pfeile in dieselbe Richtung zeigen.
Zeichnerisch gibt es zwei gleichwertige Wege. Bei der Parallelogrammregel setzt man beide Pfeile an denselben Punkt und ergänzt sie zum Parallelogramm. Die Diagonale vom gemeinsamen Anfangspunkt ist die Resultierende. Alternativ hängt man den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten. Die Resultierende führt dann vom Anfang des ersten zur Spitze des zweiten.
Auf einer Geraden schrumpft das auf Plus und Minus, wie bei der gleichförmigen Bewegung. Schräge Richtungen verlangen die Geometrie des Dreiecks. Nach demselben Prinzip addiert man Kräfte und zerlegt den waagerechten Wurf in zwei Bewegungen.
Resultierende senkrechter Geschwindigkeiten
Am häufigsten stehen zwei Teilgeschwindigkeiten senkrecht aufeinander. Dann wird das Parallelogramm zum Rechteck. Die Resultierende ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, die Teilgeschwindigkeiten sind die Katheten. Den Betrag liefert Pythagoras, die Richtung der Tangens (siehe Winkelfunktionen und Bogenmaß).
\[v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \qquad \tan\alpha = \frac{v_1}{v_2}\]
\(v_1\), \(v_2\): senkrechte Teilgeschwindigkeiten in m/s, \(v\): Betrag der Resultierenden in m/s, \(\alpha\): Winkel zwischen \(v\) und \(v_2\).
Rechenbeispiel
Ein Schwimmer bewegt sich mit 1,2 m/s quer zu einem Kanal. Das Wasser fließt mit 0,5 m/s. Gegenüber dem Ufer ist er so schnell:
\[v = \sqrt{(1{,}2\ \text{m/s})^2 + (0{,}5\ \text{m/s})^2} = \sqrt{1{,}69}\ \text{m/s} = 1{,}3\ \text{m/s}\]
Für den Winkel zur Strömung gilt \(\tan\alpha = 1{,}2/0{,}5 = 2{,}4\). Daraus folgt \(\alpha \approx 67{,}4^\circ \approx 1{,}18\) rad. Legt er auf seiner schrägen Bahn 39 m zurück, braucht er \(t = s/v = 39\ \text{m}/1{,}3\ \text{m/s} = 30\) s.
Die Resultierende liegt immer näher an der größeren Teilgeschwindigkeit. Hier überwiegt die Querbewegung, also zeigt die Bahn eher quer als flussabwärts. Sind beide Beträge gleich, wird \(\tan\alpha = 1\) und \(\alpha = \pi/4\). Die Resultierende halbiert dann den rechten Winkel. Gleich schnelle Bewegungen nach Norden und nach Westen ergeben so genau Nordwest.
Die Formel lässt sich umstellen. Kennt man den Betrag und eine Komponente, folgt die andere aus \(v_y = \sqrt{v^2 - v_x^2}\). Mit \(v = 1{,}3\) m/s und \(v_x = 0{,}5\) m/s erhält man wieder \(v_y = 1{,}2\) m/s.
Pythagoras hilft auch, wenn sich zwei Körper senkrecht voneinander entfernen. Zwei Läufer starten am selben Punkt, einer nach Norden, einer nach Osten. Nach 10 s hat der eine 30 m, der andere 40 m zurückgelegt. Ihr Abstand beträgt \(\sqrt{30^2 + 40^2}\) m = 50 m. Sie laufen also mit 5 m/s auseinander.
Boot, Laufband und Wind
Im Fluss hat ein Boot seine Eigengeschwindigkeit gegenüber dem Wasser. Das Wasser trägt es zusätzlich mit der Strömungsgeschwindigkeit mit. Die tatsächliche Geschwindigkeit über Grund ist die Vektorsumme beider. Ein Boot ohne Antrieb treibt deshalb nur parallel zum Ufer und kommt nie hinüber. Ans andere Ufer gelangt es nur, wenn seine Eigengeschwindigkeit eine Komponente senkrecht zur Strömung hat.
Rudert man quer zur Strömung, entsteht eine Abdrift flussabwärts. Die Überfahrt dauert \(t = b/v_\text{B}\), mit \(b\) als Flussbreite. In dieser Zeit verschiebt die Strömung das Boot um \(v_\text{W} \cdot t\). Je größer die Eigengeschwindigkeit, desto kürzer die Überfahrt und desto kleiner die Abdrift.
Steuerrichtung für einen festen Kurs
Wer genau gegenüber ankommen will, muss schräg gegen die Strömung vorhalten. Fließt das Wasser nach Westen, braucht der Bug eine Komponente nach Osten. Für Kurs Nord steuert man also Richtung Nordost.
- Skizze: Strömung nach Westen mit \(v_\text{W} = 1{,}5\) m/s, Eigengeschwindigkeit \(v_\text{B} = 2{,}5\) m/s, gewünschter Kurs Nord.
- Ostkomponente: Sie muss die Strömung genau aufheben. Für den Vorhaltewinkel \(\beta\) gegen Nord gilt \(\sin\beta = v_\text{W}/v_\text{B} = 0{,}6\), also \(\beta \approx 37^\circ\).
- Nordkomponente: Übrig bleibt \(\sqrt{2{,}5^2 - 1{,}5^2}\) m/s = 2,0 m/s.
- Zeit: Einen 100 m breiten Fluss überquert das Boot in 50 s.
Das gelingt nur, wenn das Boot schneller ist als die Strömung. Die Abbildung stellt Querrudern und Vorhalten gegenüber.
Laufband und Relativgeschwindigkeit
Auch auf dem Laufband überlagern sich zwei Bewegungen. Bleibt der Läufer am selben Ort, sind seine Geschwindigkeit gegenüber dem Band und die des Bands gleich groß und entgegengesetzt. Gegenüber dem Boden ist er in Ruhe.
Die Relativgeschwindigkeit zweier Körper ist die Differenz ihrer Geschwindigkeitsvektoren, \(\vec{v}_\text{rel} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2\). Fahren zwei Züge mit 80 km/h und 120 km/h aufeinander zu, nähern sie sich mit 200 km/h. Bei senkrechten Richtungen gilt wieder Pythagoras. Für Flugzeuge heißt das: Rückenwind addiert sich zur Eigengeschwindigkeit, Gegenwind wird abgezogen.
Der Wind gleicht sich auf dem Rundflug nicht aus. Bei 200 km/h Eigengeschwindigkeit, 50 km/h Wind und 300 km je Richtung dauert der Hinflug 1,2 h, der Rückflug 2 h. Das sind 3,2 h statt 3 h bei Windstille, weil man gegen den Wind länger unterwegs ist.
Quiz
Aussage 1
Bleibt ein Läufer auf dem Laufband ortsfest, ist seine Geschwindigkeit gegenüber dem Boden null, weil Band- und Läufergeschwindigkeit gleich groß und entgegengesetzt sind.
Die beiden Vektoren heben sich bei der Überlagerung genau auf.
Aussage 2
Stehen zwei gleich große Geschwindigkeiten senkrecht aufeinander, schließt die Resultierende mit jeder von ihnen den Winkel \(\pi/4\) ein.
Aus \(\tan\alpha = 1\) folgt \(\alpha = \pi/4\) (45°); die Resultierende halbiert den rechten Winkel.
Aussage 3
Ein Hin- und Rückflug bei konstantem Wind dauert insgesamt genauso lange wie bei Windstille, weil sich Rücken- und Gegenwind ausgleichen.
Der Flug dauert länger: Gegen den Wind ist man länger unterwegs, als man mit Rückenwind einspart (im Beispiel 3,2 h statt 3 h).
Aussage 4
Um bei einer nach Westen gerichteten Strömung genau nach Norden zu fahren, muss ein Schiff Richtung Nordost gesteuert werden.
Die Ostkomponente der Eigengeschwindigkeit hebt die Strömung auf, sodass nur die Nordbewegung übrig bleibt.
Aussage 5
Zwei senkrecht zueinander stehende Geschwindigkeiten von 3 m/s und 4 m/s ergeben eine Resultierende von 7 m/s.
Bei senkrechten Vektoren gilt Pythagoras: \(v = \sqrt{3^2 + 4^2}\) m/s = 5 m/s. Die Beträge addieren sich nur bei gleicher Richtung.
Aussage 6
Die Resultierende zweier senkrechter Geschwindigkeiten liegt näher an der Richtung der kleineren Teilgeschwindigkeit.
Sie liegt näher an der größeren Teilgeschwindigkeit, weil diese im Dreieck die längere Kathete bildet.
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