Kugelfall und Stokes’sche Reibung
Welche Kräfte an einer in Flüssigkeit sinkenden Kugel angreifen, wie man die Stokes’sche Reibung berechnet und wie sich die Geschwindigkeit der Endgeschwindigkeit nähert.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Stokes’sche Reibung ist die Reibungskraft \(F_\mathrm{R} = 6\pi\eta r v\) auf eine langsam in einer Newton’schen Flüssigkeit bewegte Kugel.
- Auf die sinkende Kugel wirken die Gewichtskraft nach unten sowie Auftrieb und Reibung nach oben. Die Reibung tritt nur bei Bewegung auf und zeigt gegen die Bewegungsrichtung.
- \(F_\mathrm{R}\) ist proportional zu Viskosität, Radius und Geschwindigkeit, nicht zum Kugelvolumen, und hängt nicht von den Dichten ab.
- Beim stationären Sinken gilt \(F_\mathrm{G} = F_\mathrm{A} + F_\mathrm{R}\). Die Gesamtkraft ist null, die Kugel sinkt mit konstanter Endgeschwindigkeit.
- Die Geschwindigkeit nähert sich \(v_\mathrm{E}\) asymptotisch, die Beschleunigung ist zu Beginn maximal und fällt auf null. Im s-t-Diagramm folgt auf eine gekrümmte Anlaufphase eine Gerade.
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Worum es geht
Eine Kugel, die in einer zähen Flüssigkeit sinkt, wird nicht immer schneller. Sie erreicht eine feste Endgeschwindigkeit, weil die Stokes’sche Reibung mit der Geschwindigkeit wächst. Dieses Prinzip steckt im Kugelfallviskosimeter und erklärt, warum Partikel in Suspensionen langsam sedimentieren.
Kräfte an der sinkenden Kugel
Auf eine Kugel, die in einer Flüssigkeit sinkt, wirken drei Kräfte. Die Gewichtskraft \(F_\mathrm{G} = \rho_\mathrm{K} V g\) zieht sie nach unten. Die Auftriebskraft \(F_\mathrm{A} = \rho_\mathrm{Fl} V g\) entspricht dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit und zeigt nach oben. Dazu kommt die Reibungskraft \(F_\mathrm{R}\) der Flüssigkeit.
Die Reibungskraft hat zwei Besonderheiten. Sie entsteht nur, wenn sich die Kugel relativ zur Flüssigkeit bewegt. Eine ruhende Kugel erfährt also keine Reibung. Außerdem zeigt sie immer entgegen der Bewegungsrichtung. Ein Reibungspfeil nach oben verrät deshalb, dass sich die Kugel nach unten bewegt.
Welche Bewegung entsteht, entscheidet die vektorielle Summe der drei Kräfte. Nach dem Grundgesetz der Dynamik gilt \(F_\mathrm{ges} = m a\). Beim Lesen einer Kraftskizze vergleichst du den Gewichtspfeil mit der Summe der beiden Pfeile nach oben:
- Gewicht länger als Auftrieb plus Reibung: Die Kugel wird nach unten beschleunigt.
- Gewicht genauso lang wie Auftrieb plus Reibung: Die Gesamtkraft ist null, die Kugel sinkt mit konstanter Geschwindigkeit.
- Auftrieb plus Reibung länger, Reibung nach oben: Die Kugel sinkt weiter, wird aber abgebremst.
- Kein Reibungspfeil: Die Kugel ruht gerade, etwa im Moment des Loslassens.
Die Abbildung zeigt drei Phasen nebeneinander. Beim Loslassen fehlt der Reibungspfeil. In der Anlaufphase ist er kurz. Beim stationären Sinken ergeben Auftrieb und Reibung zusammen genau die Länge des Gewichtspfeils.
Stokes’sche Reibungsformel
Für eine Kugel in einer Newton’schen Flüssigkeit hat George Gabriel Stokes die Reibungskraft berechnet. Seine Formel gilt bei langsamer, laminarer Umströmung, also solange sich hinter der Kugel keine Wirbel bilden.
\[F_\mathrm{R} = 6\pi\,\eta\,r\,v\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F_\mathrm{R}\) | Stokes’sche Reibungskraft | N |
| \(\eta\) | dynamische Viskosität der Flüssigkeit | Pa·s |
| \(r\) | Radius der Kugel | m |
| \(v\) | momentane Geschwindigkeit relativ zur Flüssigkeit | m/s |
Die Formel enthält drei einfache Proportionalitäten. Doppelte Geschwindigkeit ergibt doppelte Reibung, doppelte Viskosität ebenso. Auch der Radius geht linear ein. Eine Kugel mit doppeltem Radius erfährt die doppelte Reibung und nicht die achtfache. Die Kraft wächst also mit \(r\) und nicht mit dem Volumen \(V \sim r^3\).
Die Dichten von Kugel und Flüssigkeit kommen in der Formel nicht vor. Sie bestimmen Gewicht und Auftrieb, aber nicht die Reibung. Physikalisch schert die Kugel die umgebenden Flüssigkeitsschichten gegeneinander. Man kann sich das wie einen Löffel vorstellen, den man durch Honig zieht: Je zäher der Honig und je schneller der Zug, desto größer der Widerstand.
Rechenbeispiel
Eine Glaskugel mit 4 mm Durchmesser sinkt mit 3,0 cm/s durch ein Öl mit \(\eta = 50\) mPa·s. Gesucht ist die Reibungskraft.
- Radius bestimmen: \(r = d/2 = 2\) mm \(= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\) m.
- In SI umrechnen: \(\eta = 5{,}0 \cdot 10^{-2}\) Pa·s und \(v = 3{,}0 \cdot 10^{-2}\) m/s.
- Einsetzen: \(F_\mathrm{R} = 6\pi \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{Pa\,s} \cdot 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m/s}\).
- Ausrechnen: \(F_\mathrm{R} = 6\pi \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-6}\) N \(\approx 5{,}7 \cdot 10^{-5}\) N.
Die Einheitenkontrolle bestätigt das Ergebnis: Pa·s mal m mal m/s ergibt Pa·m², und das ist N.
Die Formel enthält den Radius. Wer den Durchmesser einsetzt, erhält die doppelte Kraft. Ebenso oft gehen Vorsilben verloren: 1 mPa·s sind \(10^{-3}\) Pa·s.
Kräftegleichgewicht
Im Moment des Loslassens ist \(v = 0\) und damit auch \(F_\mathrm{R} = 0\). Ist die Kugel dichter als die Flüssigkeit, überwiegt das Gewicht den Auftrieb. Die Kugel wird schneller, und mit \(v\) wächst die Reibung stetig. In dieser Anlaufphase herrscht noch kein Kräftegleichgewicht, denn \(F_\mathrm{A} + F_\mathrm{R}\) ist kleiner als \(F_\mathrm{G}\).
Schließlich ist die Reibung so groß, dass sie zusammen mit dem Auftrieb das Gewicht ausgleicht:
\[F_\mathrm{G} = F_\mathrm{A} + F_\mathrm{R}\]
Die Vektorsumme aller Kräfte ist dann null. Nach dem Trägheitsprinzip wird die Kugel nicht mehr beschleunigt und sinkt gleichförmig weiter. Die Reibung allein bleibt dabei kleiner als das Gewicht, weil der Auftrieb einen Teil trägt.
Die Endgeschwindigkeit \(v_\mathrm{E}\) ist die konstante Geschwindigkeit, mit der eine Kugel sinkt, sobald Gewicht, Auftrieb und Reibung im Gleichgewicht stehen. Diesen Zustand nennt man stationäres Sinken.
Diese Gleichgewichtsbedingung wird im Examen gerne gefragt. Achte darauf, dass sie erst bei konstanter Geschwindigkeit gilt und nicht schon beim Anlaufen. Dasselbe Gleichgewicht steuert die Sedimentation von Partikeln. Der Auftrieb wirkt dem Absinken entgegen, die Reibung bremst zusätzlich. Löst man die Bedingung nach \(v\) auf, erhält man die Stokes’sche Sinkgeschwindigkeit. Sie wird unter Sedimentation und Zentrifugation angewendet.
Das Weg-Zeit-Diagramm
Im s-t-Diagramm ist die Steigung die Momentangeschwindigkeit. Die Anlaufphase erscheint als Kurve, die immer steiler wird. Danach geht sie in eine Gerade über. Deren konstante Steigung ist \(v_\mathrm{E}\).
Mit diesem Bild ordnest du jedem Kurvenstück die passenden Kräfte zu:
Kurve gekrümmt, \(v\) wächst. Es gilt \(F_\mathrm{G} > F_\mathrm{A} + F_\mathrm{R}\). Die resultierende Kraft zeigt nach unten, die Kugel wird beschleunigt.
Kurve linear, \(v = v_\mathrm{E}\) konstant. Es gilt \(F_\mathrm{G} = F_\mathrm{A} + F_\mathrm{R}\). Die Gesamtkraft ist null, die Beschleunigung auch.
Zeitverlauf
Zu Beginn wirkt noch keine Reibung. Die Beschleunigung ist daher am größten. Im ersten Moment beträgt sie \(a_0 = g\,(1 - \rho_\mathrm{Fl}/\rho_\mathrm{K})\) und ist wegen des Auftriebs kleiner als \(g\).
Mit wachsender Geschwindigkeit steigt die Reibung. Die resultierende Kraft schrumpft, und die Beschleunigung nimmt ab. Je näher \(v\) an \(v_\mathrm{E}\) heranrückt, desto langsamer wächst es noch. Die Geschwindigkeit nähert sich \(v_\mathrm{E}\) deshalb asymptotisch. Gleichzeitig fällt die Beschleunigung von ihrem Maximum auf null.
Anders als bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung steigt \(v\) also nicht linear an. Der Grund: Die antreibende Kraft bleibt nicht konstant, sie sinkt mit jeder Zunahme von \(v\).
Taucht die Kugel schneller als \(v_\mathrm{E}\) ein, etwa nach einem Fall durch Luft, ist die Reibung anfangs größer als \(F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A}\). Die resultierende Kraft zeigt nach oben. Die Kugel sinkt weiter, wird aber abgebremst und nähert sich \(v_\mathrm{E}\) von oben. In beiden Fällen bleibt am Ende eine Endgeschwindigkeit größer null.
Beim Auswählen des passenden Diagramms helfen diese Merkmale:
- v-t-Diagramm aus der Ruhe: Start bei null mit der steilsten Steigung, dann zunehmend flacher, waagerechte Asymptote bei \(v_\mathrm{E} > 0\).
- Gerade Linie im v-t-Diagramm: gehört zum reibungsfreien Fall, nicht zur Kugel in Flüssigkeit.
- a-t-Diagramm: Maximum bei \(t = 0\), danach Abfall auf null.
- Schneller Eintritt: Die v-t-Kurve fällt von oben auf \(v_\mathrm{E}\) ab.
Der Geschwindigkeitsverlauf einer sinkenden Kugel wird im Examen gerne gefragt. Richtig ist eine Kurve, die bei null mit größter Steigung beginnt und sich asymptotisch einer Endgeschwindigkeit größer null nähert. Die passende Beschleunigung fällt vom Maximum auf null.
Vertiefung: die Exponentialfunktion
Aus \(m\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}t = F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} - 6\pi\eta r v\) folgt für den Start aus der Ruhe \(v(t) = v_\mathrm{E}\,(1 - e^{-t/\tau})\) mit der Zeitkonstante \(\tau = m/(6\pi\eta r)\). Nach etwa \(5\tau\) ist die Endgeschwindigkeit praktisch erreicht. Die Rechnung vernachlässigt die mitbewegte Flüssigkeit.
Quiz
Aussage 1
Eine Kugel höherer Dichte erfährt bei gleichem Radius und gleicher Geschwindigkeit eine größere Stokes’sche Reibungskraft.
Die Dichte kommt in der Stokes-Formel nicht vor. Die Reibungskraft hängt nur von Viskosität, Radius und Geschwindigkeit ab.
Aussage 2
Bereits in der Anlaufphase gleichen Auftrieb und Reibung zusammen die Gewichtskraft der Kugel aus.
In der Anlaufphase ist \(F_\mathrm{A} + F_\mathrm{R}\) kleiner als \(F_\mathrm{G}\), deshalb wird die Kugel beschleunigt. Gleichgewicht herrscht erst beim stationären Sinken.
Aussage 3
Verdoppelt man bei gleicher Geschwindigkeit den Radius einer Kugel, verdoppelt sich die Stokes’sche Reibungskraft.
Nach \(F_\mathrm{R} = 6\pi\eta r v\) geht der Radius linear ein, nicht mit der dritten Potenz wie das Volumen.
Aussage 4
Im linearen Abschnitt des Weg-Zeit-Diagramms einer sinkenden Kugel ist die resultierende Kraft auf die Kugel null.
Eine Gerade im s-t-Diagramm bedeutet konstante Geschwindigkeit. Dann gilt \(F_\mathrm{G} = F_\mathrm{A} + F_\mathrm{R}\).
Aussage 5
In einer viskosen Flüssigkeit steigt die Geschwindigkeit einer aus der Ruhe sinkenden Kugel linear mit der Zeit an.
Weil die Reibung mit \(v\) wächst, nimmt die Beschleunigung ab. Die Geschwindigkeit nähert sich asymptotisch der Endgeschwindigkeit.
Aussage 6
Unmittelbar nach dem Loslassen ist die Beschleunigung einer in Flüssigkeit sinkenden Kugel am größten.
Zu Beginn ist \(v = 0\), also wirkt keine Reibung. Danach verringert die wachsende Reibung die resultierende Kraft.
Aussage 7
Zeigt in einer Kraftskizze die Reibungskraft auf eine Kugel nach oben, bewegt sich die Kugel nach unten.
Die Reibungskraft ist stets der Bewegungsrichtung entgegengerichtet.
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