Seilkräfte, feste und lose Rollen
Wie Seile Kräfte übertragen, was feste und lose Rollen an Betrag, Richtung und Weg ändern und wie man die Beschleunigung verbundener Massen berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Seilkraft ist eine Zugkraft, die entlang des Seils vom Körper weg zeigt und in einem masselosen Seil überall gleich groß ist.
- Eine reibungsfreie feste Rolle ändert nur die Richtung der Seilkraft, nicht den Betrag; Seilweg und Hubweg sind gleich.
- Laufen beide Seilstücke senkrecht nach unten, trägt die Aufhängung die doppelte Seilkraft \(2F\), bei zwei Gewichten \(G\) also \(2G\).
- Die lose Rolle halbiert die Hubkraft auf \(mg/2\) und verdoppelt den Seilweg auf \(2h\).
- Zwei gleiche, gezogene Massen: Das Verbindungsseil trägt \(F/2\). Über einer festen Rolle gilt \(a = \frac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2}\).
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Worum es geht
Seile und Rollen übertragen Kräfte und lenken sie um. Mit wenigen Regeln bestimmt man Haltekräfte, Kräfte auf Aufhängungen und Beschleunigungen verbundener Massen. Diese Regeln gehören zu den Rechengrundlagen der Mechanik.
Seilkraft und feste Rolle
Eine Seilkraft ist die Zugkraft, die ein gespanntes Seil auf einen Körper ausübt. Sie greift am Befestigungspunkt an und zeigt stets entlang des Seils vom Körper weg. Ein Seil kann nur ziehen, nie drücken. In einem masselosen Seil ist die Seilkraft an jeder Stelle gleich groß.
Eine feste Rolle sitzt ortsfest an Decke oder Gestell. Ist sie reibungsfrei, ändert sie nur die Richtung der Seilkraft, nicht ihren Betrag. Man kann sie sich wie eine Kurve im Seil vorstellen: Die Richtung wechselt, die Kraft bleibt. Deshalb legt das Seilende auch genau den Hubweg der Last zurück.
Gleichgewicht an der mittleren Masse
Für Haltekräfte zeichnet man alle Kräfte an einem ruhenden Körper ein. Hängt \(m_2\) zwischen zwei festen Rollen, ziehen zwei Seile nach oben. Das linke Seil überträgt über seine Rolle das Gewicht von \(m_1\), das rechte das von \(m_3\). Nach unten wirkt die Gewichtskraft \(m_2 g\). Das Kräftegleichgewicht lautet:
\[m_2 g = m_1 g + m_3 g\]
Zieht statt \(m_3\) eine Hand am Seil, gilt für ihre Haltekraft \(F + m_1 g = m_2 g\).
Wird im Examen gerne gefragt: Die feste Rolle lenkt nur um, die Seilkraft bleibt im ganzen Seil gleich. Im Kräftediagramm zeigen alle Seilkräfte vom Körper weg entlang ihres Seils, die Gewichtskraft senkrecht nach unten.
Kraft auf die Aufhängung
Die Rolle selbst spürt beide Seilstücke. Laufen beide senkrecht nach unten, addieren sich ihre Kräfte. Die Aufhängung trägt also die doppelte Seilkraft \(2F\). Hängen an beiden Enden gleiche Gewichte \(G\), wirkt auf die Achse \(2G\) senkrecht nach unten.
Lose Rolle
Eine lose Rolle bewegt sich mit der Last. Ein Seilende ist an der Decke befestigt, am anderen zieht man. Die Last hängt so an zwei Seilstücken, und jedes trägt die Hälfte. Die nötige Zugkraft halbiert sich auf \(mg/2\). Dafür zieht man für den Hubweg \(h\) das Seil um \(2h\).
Beim Vergleich von Hebemethoden rechnet man jede Kraft getrennt aus. Für eine Last mit 200 N Gewichtskraft gilt ohne Reibung:
| Methode | Nötige Kraft |
|---|---|
| Direkt heben oder feste Rolle | 200 N |
| Lose Rolle | 100 N |
| Schiefe Ebene mit 30°, \(F = mg\sin\alpha\) | 100 N |
Beschleunigte verbundene Massen
Bewegt sich ein System verbundener Massen beschleunigt, gilt das Grundgesetz der Dynamik \(F = m \cdot a\). Eine Kraft \(F\) zieht zwei gleiche Blöcke der Masse \(m\), die ein Seil verbindet, reibungsfrei. Beide erfahren \(a = F/(2m)\). Das Seil beschleunigt nur den hinteren Block und trägt deshalb \(F_\text{Seil} = m \cdot a = F/2\). Hält es höchstens 30 N aus, reißt es ab einer Zugkraft von 60 N.
Zwei Massen über einer festen Rolle
Hängen \(m_1\) und \(m_2\) an beiden Seiten einer festen Rolle, sinkt die schwerere Masse \(m_2\). Die Differenz der Gewichtskräfte treibt die Gesamtmasse beider Körper an.
\[a = \frac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2}\]
Ein Beispiel mit \(m_1 = 2\) kg, \(m_2 = 3\) kg und \(g = 10\) m/s² ergibt \(a = 10\ \text{N}/5\ \text{kg} = 2\) m/s². Die Seilkraft folgt aus der leichten Masse: \(F_\text{S} = m_1(g + a) = 24\) N. Die Probe an \(m_2\) stimmt: \(30\ \text{N} - 24\ \text{N} = 3\ \text{kg} \cdot 2\) m/s².
Ruht das System, trägt der Haken der Rolle die Gewichtskraft der Gesamtmasse \((m_1 + m_2)\,g\). Beschleunigt es, trägt er nur \(2F_\text{S}\), im Beispiel 48 N statt 50 N.
Quiz
Aussage 1
Wird eine Last mit einer losen Rolle um 1 m gehoben, muss man 2 m Seil ziehen.
Die Last hängt an zwei Seilstücken, die sich beide um den Hubweg verkürzen. Der Seilweg ist deshalb doppelt so groß.
Aussage 2
Am Angriffspunkt zeigt eine Seilkraft entlang des Seils vom Körper weg.
Seile übertragen nur Zugkräfte, daher zeigt die Seilkraft immer vom Körper weg in Seilrichtung.
Aussage 3
Eine reibungsfreie feste Rolle halbiert die Seilkraft, die zum Halten einer Last nötig ist.
Die feste Rolle lenkt nur um, der Betrag bleibt gleich. Die Halbierung leistet die lose Rolle.
Aussage 4
Zieht eine Kraft \(F\) zwei gleiche, durch ein Seil verbundene Blöcke reibungsfrei, trägt das Verbindungsseil die volle Kraft \(F\).
Das Seil beschleunigt nur einen der beiden Blöcke und trägt daher \(F/2\).
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