Sinken, Schweben, Steigen und Schwimmen
Wie der Vergleich von Körper- und Flüssigkeitsdichte über Sinken, Schweben und Schwimmen entscheidet und wie man daraus Eintauchvolumen, Waagenanzeigen und Wasserspiegel ableitet.
Das Wichtigste in Kürze
- Ob ein Körper sinkt, schwebt oder schwimmt, entscheidet der Vergleich seiner mittleren Dichte (Gesamtmasse durch Gesamtvolumen) mit der Dichte der Flüssigkeit.
- Ein Körper mit Flüssigkeitsdichte ist nur vollständig eingetaucht im Gleichgewicht, dann aber in jeder Tiefe und auch am Boden.
- Beim Schwimmen gilt Auftrieb gleich Gewichtskraft: Die verdrängte Flüssigkeit hat die Masse des Körpers, \(V_\mathrm{ein} = m/\rho_\mathrm{Fl}\). Ein untergegangener Körper verdrängt nur sein Volumen.
- Der eingetauchte Anteil ist \(V_\mathrm{ein}/V = \rho_\mathrm{K}/\rho_\mathrm{Fl}\), in einer weniger dichten Flüssigkeit taucht der Körper tiefer ein.
- Ein Schwimmkörper erhöht die Waagenanzeige um sein volles Gewicht, beim Überlaufgefäß bleibt sie gleich. Ein Stein über Bord senkt den Wasserspiegel, ein Holzbalken lässt ihn unverändert.
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Worum es geht
Ob ein Körper in einer Flüssigkeit sinkt, schwebt oder schwimmt, entscheidet der Vergleich zweier Dichten. Das Thema baut direkt auf dem archimedischen Prinzip auf. In der Pharmazie steckt es im Aräometer zur Dichtebestimmung und im Sedimentieren und Aufrahmen von Suspensionen und Emulsionen.
Dichtevergleich
Auf einen eingetauchten Körper wirken zwei Kräfte. Die Gewichtskraft \(F_G = \rho_\mathrm{K} V g\) zieht nach unten, die Auftriebskraft \(F_A = \rho_\mathrm{Fl} V_\mathrm{ein} g\) drückt nach oben. Ist der Körper vollständig eingetaucht, gilt \(V_\mathrm{ein} = V\). Volumen und \(g\) kürzen sich dann heraus, und übrig bleibt der Vergleich der Dichten.
| Dichtevergleich | Kräfte (vollständig eingetaucht) | Verhalten |
|---|---|---|
| \(\rho_\mathrm{K} > \rho_\mathrm{Fl}\) | \(F_G > F_A\) | sinkt zu Boden |
| \(\rho_\mathrm{K} = \rho_\mathrm{Fl}\) | \(F_G = F_A\) | schwebt an jeder Stelle |
| \(\rho_\mathrm{K} < \rho_\mathrm{Fl}\) | \(F_A > F_G\) | steigt auf, schwimmt teilweise eingetaucht |
Der Schluss gilt auch rückwärts. Erfährt ein eingetauchter Körper eine resultierende Kraft nach oben, ist seine Dichte kleiner als die der Flüssigkeit. Sinkt er, ist seine Gewichtskraft stets größer als der Auftrieb. Holz mit einer Dichte unter 1 g/cm³ schwimmt deshalb auf Wasser, ein Eisennagel geht unter.
Die mittlere Dichte ist die Gesamtmasse eines Körpers geteilt durch sein Gesamtvolumen, \(\bar{\rho} = m/V\), Hohlräume eingeschlossen. Sie entscheidet über Sinken oder Schwimmen, nicht die Dichte des Materials.
Darum schwimmt ein Schiff aus Stahl. Ein Beispiel: Eine hohle Metallkugel hat die Masse 450 g und das Außenvolumen 600 cm³. Ihre mittlere Dichte beträgt 450 g / 600 cm³ = 0,75 g/cm³. Das ist weniger als bei Wasser, die Kugel schwimmt. Umgekehrt verrät Schweben die Dichte. Schwebt ein Körper in Wasser, beträgt seine mittlere Dichte 1 g/cm³, ganz gleich wie schwer er ist.
Schweben nur vollständig eingetaucht
Schweben setzt voraus, dass der Körper ganz untergetaucht ist. Ein Körper mit Flüssigkeitsdichte, der nur halb eintaucht, verdrängt zu wenig Flüssigkeit. Sein Auftrieb ist kleiner als seine Gewichtskraft, also sinkt er weiter ein. Sitzt er der Oberfläche nur auf, erfährt er ohne Oberflächenspannung gar keinen Auftrieb.
Erst vollständig eingetaucht herrscht Gleichgewicht, und zwar in jeder Tiefe. Der Körper kann daher auch auf dem Gefäßboden liegen bleiben, ohne dass der Boden ihn tragen muss. Diese Lagebeurteilung wird im Examen gerne gefragt: Gleichgewicht herrscht nur in den vollständig eingetauchten Lagen, der Bodenlage eingeschlossen. Bei einer Skizze mit mehreren Lagen vergleichst du für jede Lage die Länge der beiden Kraftpfeile, wie die Abbildung zeigt.
Schwimmbedingung
Ein Körper mit kleinerer Dichte steigt auf, bis er die Oberfläche durchbricht. Dann taucht ein Teil aus, das verdrängte Volumen sinkt und mit ihm der Auftrieb. Der Körper kommt zur Ruhe, wenn der Auftrieb seine Gewichtskraft genau ausgleicht. Diesen Zustand nennt man Schwimmen.
\[\rho_\mathrm{Fl} \cdot V_\mathrm{ein} \cdot g = m \cdot g \quad\Rightarrow\quad V_\mathrm{ein} = \frac{m}{\rho_\mathrm{Fl}}\]
\(V_\mathrm{ein}\): Eintauchvolumen in m³, \(m\): Masse des Körpers in kg, \(\rho_\mathrm{Fl}\): Dichte der Flüssigkeit in kg/m³, \(g\): Fallbeschleunigung in m/s².
In Worten: Die verdrängte Flüssigkeit hat dieselbe Masse und damit dasselbe Gewicht wie der Körper. Eine Eisscholle verdrängt genau ihre eigene Masse an Meerwasser. Ein Aräometer sinkt in jeder Flüssigkeit so tief ein, bis es seine eigene Masse verdrängt hat. Darauf beruht die Dichtemessung mit dem Aräometer.
Ein untergegangener Körper folgt einer anderen Regel. Der Unterschied ist für alle Waagen- und Pegelfragen entscheidend.
Verdrängt Flüssigkeit seiner eigenen Masse. Auftrieb und Gewichtskraft sind gleich groß.
Verdrängt nur Flüssigkeit seines eigenen Volumens. Die Gewichtskraft übersteigt den Auftrieb.
Die Schwimmbedingung ist besonders prüfungsrelevant: Auftrieb gleich Gewichtskraft, also hat die verdrängte Flüssigkeit die Masse des Körpers. Achte darauf, das nicht mit dem Volumen zu verwechseln, denn sein eigenes Volumen verdrängt nur ein untergegangener Körper.
Für Zusatzlasten gilt dasselbe. Steigt eine Person mit 70 kg in ein Ruderboot, verdrängt das Boot zusätzlich 70 kg Wasser. Mit \(\rho_\mathrm{Wasser} = 1\) kg/L sind das \(V = m/\rho_\mathrm{Wasser} = 70\) L. Jedes Kilogramm Last verdrängt also etwa einen Liter Wasser.
Eingetauchter Volumenanteil
Setzt man \(m = \rho_\mathrm{K} V\) in die Schwimmbedingung ein, folgt \(V_\mathrm{ein}/V = \rho_\mathrm{K}/\rho_\mathrm{Fl}\). Der Anteil über der Oberfläche beträgt \(1 - \rho_\mathrm{K}/\rho_\mathrm{Fl}\). Je kleiner die Flüssigkeitsdichte, desto tiefer taucht ein schwimmender Körper ein.
- Dichte bestimmen: Ein Holzquader misst 20 cm × 10 cm × 5 cm, also \(V = 1000\) cm³. Bei \(m = 600\) g ist \(\rho_\mathrm{K} = 0{,}60\) g/cm³.
- Einheiten angleichen: Beide Dichten in dieselbe Einheit bringen, etwa mit 1 g/cm³ = 1000 kg/m³.
- Anteil berechnen: In Wasser taucht der Quader zu 0,60/1,00 = 60 % ein, also 600 cm³. 40 % ragen heraus.
- Flüssigkeit wechseln: In Ethanol mit 0,79 g/cm³ taucht er zu 0,60/0,79 ≈ 76 % ein.
Waage und Wasserspiegel
Mit der Schwimmbedingung lassen sich Waagen- und Pegelfragen ohne Rechnung lösen. Man fragt jeweils: Wie viel Wasser wird verdrängt, und wo bleibt es?
Steht ein nicht randvolles Wasserglas auf einer Waage und legt man einen Korken hinein, steigt die Anzeige um das volle Gewicht des Korkens. Das Wasser steigt im Glas, bleibt aber auf der Waage.
Die Anzeige steigt nicht bloß um die Differenz aus Gewicht und Auftrieb. Nach dem Wechselwirkungsprinzip drückt der Körper mit der Gegenkraft des Auftriebs auf das Wasser, und diese Kraft kommt über den Gefäßboden auf der Waage an.
Anders beim randvollen Überlaufgefäß. Hier fließt das verdrängte Wasser ab. Seine Masse ist nach der Schwimmbedingung genau die Masse des Klotzes. Die Anzeige bleibt deshalb unverändert, egal aus welchem Material der Schwimmkörper besteht und wie tief er eintaucht. Randvolle Behälter mit verschiedenen Schwimmkörpern wiegen also genauso viel wie derselbe Behälter nur mit Wasser.
Genauso beurteilt man den Wasserspiegel eines Teichs mit Boot. Liegt ein Stein im Boot, verdrängt er Wasser seiner Masse, also \(m/\rho_\mathrm{W}\). Am Teichgrund verdrängt er nur sein eigenes Volumen \(m/\rho_\mathrm{Stein}\). Weil der Stein dichter als Wasser ist, ist dieses Volumen kleiner, und der Wasserspiegel sinkt.
Ein Holzbalken schwimmt nach dem Überbordwerfen weiter. Er verdrängt also nach wie vor Wasser seiner eigenen Masse. Der Wasserspiegel bleibt gleich.
Fallen in Medien
Auch beim Fallen durch Luft zählt die Dichte. Zwei Kugeln mit gleichem Durchmesser erfahren bei gleicher Geschwindigkeit dieselbe Luftreibung und denselben Auftrieb. Ihre Gewichtskraft wächst aber mit der Dichte. Eine Goldkugel mit \(\rho \approx 19{,}3\) g/cm³ ist deutlich schwerer als eine gleich große Bleikugel mit \(\rho \approx 11{,}3\) g/cm³. Die bremsenden Kräfte wiegen bei ihr relativ weniger, sie beschleunigt stärker und kommt zuerst am Boden an.
Im Vakuum fehlen Auftrieb und Luftreibung. Dort fallen alle Körper unabhängig von ihrer Dichte gleich schnell, wie beim freien Fall. In einer Flüssigkeit entscheidet zuerst der Dichtevergleich über die Richtung: Eine Holzkugel steigt in Wasser auf, eine gleich große Stahlkugel sinkt. Wie schnell sie sinkt, beschreibt die Stokes’sche Reibung.
Quiz
Aussage 1
Ein schwimmender Körper verdrängt ein Flüssigkeitsvolumen, das seinem gesamten Körpervolumen entspricht.
Ein schwimmender Körper verdrängt Flüssigkeit seiner eigenen Masse. Sein eigenes Volumen verdrängt nur ein untergegangener Körper.
Aussage 2
Schwebt ein Körper in Wasser, beträgt seine mittlere Dichte 1 g/cm³, unabhängig von seiner Masse.
Schweben bedeutet, dass die mittlere Dichte gleich der Flüssigkeitsdichte ist. Die Masse spielt dafür keine Rolle.
Aussage 3
Wirft man einen Stein aus einem schwimmenden Boot in den Teich, sinkt der Wasserspiegel des Teichs.
Im Boot verdrängt der Stein Wasser seiner Masse, am Grund nur sein kleineres eigenes Volumen, weil er dichter als Wasser ist.
Aussage 4
In Ethanol taucht ein schwimmender Körper tiefer ein als in Wasser.
Ethanol hat eine kleinere Dichte als Wasser. Nach \(V_\mathrm{ein} = m/\rho_\mathrm{Fl}\) wächst das Eintauchvolumen, wenn die Flüssigkeitsdichte sinkt.
Aussage 5
Ein Körper mit genau der Dichte der Flüssigkeit ist auch dann im Gleichgewicht, wenn er nur zur Hälfte eintaucht.
Halb eingetaucht verdrängt er zu wenig Flüssigkeit, der Auftrieb ist kleiner als die Gewichtskraft und er sinkt weiter ein. Gleichgewicht herrscht nur vollständig eingetaucht.
Aussage 6
Legt man einen Korken in ein nicht randvolles Wasserglas auf einer Waage, steigt die Anzeige nur um die Differenz aus Gewicht und Auftrieb des Korkens.
Die Anzeige steigt um das volle Gewicht des Korkens, weil die Gegenkraft des Auftriebs über das Wasser auf den Gefäßboden wirkt.
Aussage 7
Ein Holzquader mit der Dichte 0,7 g/cm³ ragt beim Schwimmen in Wasser zu 30 % seines Volumens heraus.
Eingetaucht sind \(\rho_\mathrm{K}/\rho_\mathrm{Fl} = 0{,}7/1{,}0 = 70\) %, also ragen \(1 - 0{,}7 = 30\) % heraus.
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